楊 菲，白 婕

淺議高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)定量分析中的應(yīng)用

楊 菲，白 婕

（天津市河西區(qū)職工大學(xué)，天津市 300203）

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，高等數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)的關(guān)系越來越密切，本文主要從微積分、無窮等比級數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法三個(gè)方面闡述了高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)定量分析中的重要應(yīng)用。

高等數(shù)學(xué)；經(jīng)濟(jì)；定量分析

目前在社會(huì)科學(xué)諸多領(lǐng)域中，運(yùn)用數(shù)學(xué)最早、最成功的就是經(jīng)濟(jì)學(xué)。經(jīng)濟(jì)學(xué)主要研究商品的價(jià)格、市場供求、利潤等范疇，所有的這些都以量的形式表現(xiàn)出來，因此經(jīng)濟(jì)學(xué)最先想到需要采取定量的方法。由于現(xiàn)代化生產(chǎn)發(fā)展的需要，高等數(shù)學(xué)中的微積分、級數(shù)、微分方程、數(shù)學(xué)歸納法等已進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)，并發(fā)揮了越來越重要的作用。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家康托羅維奇在1975年獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，原因就在于他出色的數(shù)學(xué)成就－線性規(guī)劃理論在經(jīng)濟(jì)中的重要貢獻(xiàn)。經(jīng)濟(jì)定量分析研究客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的關(guān)鍵就是要把所考察的對象描述成能夠用數(shù)學(xué)方法來解答的數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型，下面筆者從三個(gè)方面介紹高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用。

一、微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

1．復(fù)利問題

所謂復(fù)利計(jì)息，就是將第一期的利息與本金之和作為第二期的本金，然后反復(fù)計(jì)息。

設(shè)本金為s0，年利率為r，

一年后的本利和s1＝s0（1＋r）

二年后的本利和s1＋s1r＝s1（1＋r）＝s0（1＋r）2

類推，n年末的本利和sn＝s0（1＋r）n（1）

若把一年均分成t期計(jì)算利息，這時(shí)，每期利率可以認(rèn)為是r，于是推得t

公式（1）和（2）是離散情況（計(jì)息的“期”是確定的時(shí)間間隔，因而計(jì)息次數(shù)有限）推得的復(fù)利公式。

公式（1）和（2）是離散情況（計(jì)息的“期”是確定的時(shí)間間隔，因而計(jì)息次數(shù)有限）推得的復(fù)利公式。

若計(jì)息的“期”的時(shí)間間隔無限縮短，則期數(shù)t→!，于是

公式（3）是連續(xù)情況（計(jì)息次數(shù)無限）推得的復(fù)利公式。

2．貼現(xiàn)問題

若稱s0為現(xiàn)在值，sn為未來值，已知現(xiàn)在值求未來值是復(fù)利問題，反之，若已知未來值sn求現(xiàn)在值s0是貼現(xiàn)問題，這時(shí)利率r稱為貼現(xiàn)率。

由復(fù)利公式（1）、（2）、（3），容易逆推得：

離散的貼現(xiàn)公式離散的貼現(xiàn)公式s0＝sn（1＋r）－n

（1′）

連續(xù)的貼現(xiàn)公式s0＝sne－rn（3′）

3．增長率

為函數(shù)y＝f（t）在時(shí)間點(diǎn)t的瞬時(shí)增長率。

若設(shè)f（t）＝s0ern，則

因此，f（t）＝s0ern在任何時(shí)間點(diǎn)t上都以比率r增長。

公式（3）不僅可作為復(fù)利公式，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有廣泛的應(yīng)用。經(jīng)濟(jì)學(xué)中指數(shù)函數(shù)s0ern中r的一般解釋為在任意時(shí)刻點(diǎn)t的增長率。r取負(fù)值時(shí)，表明負(fù)增長，這時(shí)稱r為衰減率。企業(yè)的投資、人口、勞動(dòng)力、國民收入等這些變量都是時(shí)間的函數(shù)，并且這些變量在一個(gè)較長的時(shí)間內(nèi)通常以常數(shù)比率增長，我們可以用公式（3）來預(yù)測這些變量的未來值，這種預(yù)測對于經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的進(jìn)行具有良好的指導(dǎo)作用。

例1 某國現(xiàn)有勞動(dòng)力五千萬，預(yù)計(jì)在今后的20年內(nèi)勞動(dòng)力每年增長2%，問按預(yù)計(jì)在2031年將有多少勞動(dòng)力？

由于s0＝500，r＝0．02，t＝20所以，20年后預(yù)計(jì)有勞動(dòng)力

s20＝5000e0．02×20＝5000×1．49182＝7459．12（萬）例2 若我國的cpi指數(shù)每年均為5%，問多少年后，人民幣貶值為現(xiàn)在的一半？

若原價(jià)值為s0，經(jīng)n年后，價(jià)值為，這里r＝－0．05。由，若取ln2＝0．6931，易算出n＝13．86（年），即大約經(jīng)過13．86年，人民幣的價(jià)值貶值為原價(jià)值的一半。

二、無窮等比級數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)生活中的投資費(fèi)用包括初期投資和后期投資（每隔一定時(shí)期就要重復(fù)一系列服務(wù)或購進(jìn)設(shè)備），如果將每次后期投資費(fèi)用化為現(xiàn)值，然后與初期投資相加，可以用來比較間隔時(shí)間不同的服務(wù)項(xiàng)目或具有不同使用壽命的設(shè)備的投資費(fèi)用，為選擇投資費(fèi)用最省的服務(wù)項(xiàng)目或設(shè)備發(fā)揮指導(dǎo)作用。

設(shè)初期投資為s0e－n，年利率為r，t年重復(fù)一次投資仍為s0。這樣，根據(jù)公式（3′）推得

第一次重復(fù)投資費(fèi)用的現(xiàn)值為s0e－n，第二次重復(fù)投資費(fèi)用的現(xiàn)值為s0e－2n，類推得

（4）式是一個(gè)無窮等比數(shù)列的和。據(jù)無窮等比級數(shù)的性質(zhì)：如果公比。

假設(shè)每年的物價(jià)膨脹百分率為，年利率為，若某種服務(wù)或項(xiàng)目的現(xiàn)在費(fèi)用為s0時(shí)，則t年后的費(fèi)用為

因此在通貨膨脹情況下，計(jì)算總費(fèi)用

例3 某廠需要一批設(shè)備，若引進(jìn)進(jìn)口設(shè)備需要初期投資200000元，每隔5年需要更換一次零件，每次更換的費(fèi)用為50000元，使用壽命40年；若引進(jìn)國產(chǎn)設(shè)備需要初期投資80000元，每隔2年需要更換一次零件，每次更換的費(fèi)用為20000元，使用壽命20年，若年利率為10%，通貨膨脹率5%，問引進(jìn)哪種設(shè)備更合適？

投資設(shè)備費(fèi)用包括兩部分：引進(jìn)設(shè)備的系列費(fèi)用和更換零件的系列費(fèi)用。

對引進(jìn)進(jìn)口設(shè)備，s0＝200000，r＝0．1，m＝0．05，t＝40，則引進(jìn)設(shè)備系列費(fèi)用根據(jù)公式（7）計(jì)算得

故使用進(jìn)口設(shè)備的總費(fèi)用現(xiàn)值為

D＝D1＋D2＝231303．53＋226040．58＝457344．11（元）

對引進(jìn)國產(chǎn)設(shè)備，s0＝80000，r＝0．1，m＝0．05，t＝20，則引進(jìn)設(shè)備系列費(fèi)用根據(jù)公式（7）計(jì)算得D1′＝

故使用國產(chǎn)設(shè)備的總費(fèi)用現(xiàn)值為

D′＝D1′＋D2′＝126558．14＋210166．64＝336724．78（元）

因?yàn)镈＞D′，引進(jìn)進(jìn)口設(shè)備的總費(fèi)用要大于國產(chǎn)設(shè)備的總費(fèi)用，所以可以得出引進(jìn)國產(chǎn)設(shè)備更合適。

三、數(shù)學(xué)歸納法在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

對于一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，可以利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。當(dāng)n＝1時(shí)成立（將n＝1代入檢驗(yàn)），我們就可以假設(shè)n＝k（k1）時(shí)命題也成立，如果能證明n＝k＋1時(shí)命題也成立的話（這一步通常使用第二步的假設(shè)證明的），從而命題對于n1的自然數(shù)都成立。數(shù)學(xué)歸納法可以用來證明通項(xiàng)公式的成立，這在經(jīng)濟(jì)定量分析有很重要的應(yīng)用。下面以貸款還款為例介紹一下數(shù)學(xué)歸納法在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用。

假設(shè)還款方式為月等額還款，貸款金額S，貸款年限為N個(gè)月，年利率為R，月利率為，第n個(gè)

0月還款后尚欠銀行的貸款為Sn，本月的還款為x，第（n－1）個(gè)月還款后尚欠銀行的貸款為Sn－1，則可以推得如下結(jié)論：

例4 目前五年以上貸款年利率為6．80%，若貸款額為800000，貸款年限為240個(gè)月，按照月等額還款，每月應(yīng)還多少錢？

四、結(jié)束語

上述高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用舉例，表明了經(jīng)濟(jì)工作與高等數(shù)學(xué)緊密相連。數(shù)學(xué)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)，并不意味著簡單地將數(shù)學(xué)中的公式、定理和結(jié)論照搬，而是需要進(jìn)行創(chuàng)造性的研究。實(shí)際上，現(xiàn)今的經(jīng)濟(jì)學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的許多方法，比如線性規(guī)劃、最優(yōu)化理論等都是新創(chuàng)造的高等數(shù)學(xué)理論。國內(nèi)外越來越多的經(jīng)濟(jì)研究者將高等數(shù)學(xué)作為經(jīng)濟(jì)分析的工具，使經(jīng)濟(jì)定量分析越來越精密化、準(zhǔn)確化，特別是對經(jīng)濟(jì)預(yù)測提供了客觀、準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，為經(jīng)濟(jì)政策的制定提供了可靠的依據(jù)。因此，對于經(jīng)濟(jì)工作者而言，掌握一定的數(shù)學(xué)分析方法顯得日益重要。

［1］丁石孫，張祖貴．?dāng)?shù)學(xué)與教育［M］．大連：大連理工大學(xué)出版社，2009．

The Application of Higher Mathe matics in Econo mic Quantitative Analysis

YANG Fei，BAI Jie

（Tianjin Hexi District Staf f and Wor kers University，Tianjin 300203 China）

With the economic develop ment，higher mathematics and economy are more closely related to each other．This article mainly demonstrates the application of higher mathematics in economic quantitative analysis in ter ms of calculus，infinite geometric series and mathematical induction．

higher mathematics；economy；quantitative analysis

O13

A

1673－582X（2012）02－0083－04

2011－06－09

楊菲（1982－），女，山東淄博人，天津市河西區(qū)職工大學(xué)教師，碩士，講師，主要研究方向高等數(shù)學(xué)教學(xué)；白婕（1981－），女，山西太原人，天津市河西區(qū)職工大學(xué)教師，講師，碩士學(xué)位，主要從事學(xué)?？蒲泄芾砗徒虒W(xué)工作，主要研究方向?yàn)榉衫碚撆c實(shí)踐。