任全紅

（綿陽師范學院數(shù)學與計算機科學學院，四川 綿陽 621000）

一、概述

數(shù)學新課程標準的一個顯著特點是反復強調(diào)數(shù)學教學要重視揭示獲取知識和運用知識的思維過程。在此過程中，使學生獲得對數(shù)學的理解，并在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步和發(fā)展。高中數(shù)學新課程標準中“過程與方法”目標，強調(diào)以下六個思想的深入探究：函數(shù)與方程的思想、數(shù)與形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、特殊與一般的思想、或然與必然的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，這是對數(shù)學思維過程目標的具體化。對于數(shù)學思維的突出強調(diào)，也是國際范圍內(nèi)新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征。然而，就我國數(shù)學教育的現(xiàn)實而言，上述理念并未得到很好的貫徹，主要表現(xiàn)為：忽視概念形成的過程；忽視問題的發(fā)現(xiàn)以及規(guī)律的揭示過程；排斥結(jié)論的探究和推導過程。其實，數(shù)學學科自身的特點決定了數(shù)學教學就是數(shù)學思維活動的教學，要重視數(shù)學思維過程的呈現(xiàn)，以此作為數(shù)學課堂教學的切入點，實現(xiàn)有效的數(shù)學課堂教學。

有效教學并不是一個新名詞，自教學誕生以來，教育者就在追求有效教學。教育的歷史與實踐表明：任何教育活動要想真正卓有成效，就必須建立在對學習者的充分理解和認識的基礎(chǔ)上，樹立關(guān)注學生的進步或發(fā)展、關(guān)注教學效益、關(guān)注可測性或量化的教學理念。因此，數(shù)學教學更應(yīng)關(guān)注如何設(shè)計教學活動過程?如何充分揭示數(shù)學思維活動？有效地發(fā)展學生數(shù)學思維能力，形成良好思維品質(zhì)和合理數(shù)學知識結(jié)構(gòu)。本文將圍繞著上述方面作進一步的分析研究。

二、數(shù)學教學過程的分析

教育心理學研究表明，教學從根本上來說，是一個師生雙方在認知與情感兩方面進行交互作用的過程。在具體教學中，數(shù)學教學過程存在以下這些特征。

其一，學生的學習過程是一個再創(chuàng)造的過程。學生學習數(shù)學知識主要方式是間接的書本知識和間接經(jīng)驗，但這種間接經(jīng)驗的學習對學生來說仍然是一種探索未知領(lǐng)域新知識的過程，這一點與數(shù)學家發(fā)現(xiàn)數(shù)學新規(guī)律是一致的。要使知識在學生頭腦里生根，就必須把數(shù)學概念、規(guī)律、思想、方法按照原來發(fā)生、形成、發(fā)展的過程和規(guī)律再現(xiàn)出來，知其然還要知其所以然，充分暴露數(shù)學思維的過程，使學生真正理解所學知識。

其二，教學過程的本質(zhì)是學生的認識實踐過程，符合一般認識過程的規(guī)律。這其間要經(jīng)歷由感性認識到理性認識的飛躍，這本身就是一個抽象概括的思維過程。只有積極調(diào)動學生的思維活動，讓學生自己主動地去認知，才能轉(zhuǎn)化成學生頭腦里的新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，這是教師無法替代的。教師要做的是在教學中始終注重數(shù)學思維過程的教學，把獲取知識和運用知識的思維過程充分揭示、展示給學生，教會學生怎樣去思考，促進學生構(gòu)建新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。

其三，數(shù)學教學過程是三種思維活動的不斷演進過程，即數(shù)學家的思維活動（體現(xiàn)在教材中）、數(shù)學教師的思維活動、學生的思維活動。由于數(shù)學教材編寫特點，呈現(xiàn)的是知識的邏輯體系，隱含了知識發(fā)生、形成、發(fā)展的過程以及抽象概括的思維過程，使得教材知識結(jié)構(gòu)與學生認識水平之間存在較大差異，不利于學生學習。教師在教學過程中應(yīng)根據(jù)數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，指導與調(diào)控學生的思維活動，逐步發(fā)展學生數(shù)學思維能力，學會思考與學習，從而達到有效的數(shù)學教學。對此，我們作具體的分析研究，切實促進有效的數(shù)學課堂教學。

三、實現(xiàn)課堂有效教學的途徑

（一）重視剖析知識的形成、發(fā)展過程

教學中要注重數(shù)學概念、公式、定理、法則的提出過程；解題思路的探索過程；解題方法和規(guī)律的概括過程。使學生在這些過程中展開思維，發(fā)展能力。例如，數(shù)學家希爾伯特在任教時，常常在課堂上即興提出一些新的數(shù)學問題，并立即著手解決。雖然他并非每次都能得到圓滿的解答，甚至有時把自己“掛”在黑板上，但他展現(xiàn)的思維過程卻能使學生受益匪淺。華羅庚在自己的教學生涯中，也一向重視概念產(chǎn)生、命題形成及思路獲得的思維過程的教學，并著意回答學生提出的“你是如何想出來的”一類問題。這些事例都說明了教學中充分展示數(shù)學思維過程對于培養(yǎng)學生思維能力的重要作用。在教學過程中，可關(guān)注以下三個方面：①怎樣從實際問題中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題；②怎樣對實際問題和已有知識進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括；③怎樣選取并綜合已有的數(shù)學知識進行判斷、推理、得出規(guī)律的思維過程。上述過程，恰恰就是數(shù)學家發(fā)現(xiàn)數(shù)學新規(guī)律的思維活動，更是當今我們要培養(yǎng)學生的一種獨立獲取新知識的學習能力，一種進行創(chuàng)造性思維的能力。

例如：橢圓定義的教學，可設(shè)計如下的教學環(huán)節(jié)。

（1）復習圓的定義，并用一段無彈性的繩子做幾個圓心位置不同，半徑不同的圓（為下一步的類比做鋪墊）。

（2）設(shè)想定點由一個變?yōu)閮蓚€，且更換命題——到兩定點距離和等于定值，結(jié)果會怎樣?借助手中的繩子和圓規(guī)把命題敘述的這一結(jié)果表達出來。

（3）將一根繩子系在圓規(guī)的兩腳下端，用粉筆套住繩子，在黑板上移動粉筆，可畫出一個封閉的幾何曲線，改變圓規(guī)的位置，再做出幾個這樣的封閉曲線。即得到新曲線——橢圓。

（4）探索繩子長度（定值）與圓規(guī)兩腳末端（定點）之間距離的情況，得出結(jié)論：當定值等于兩定點的距離時，軌跡為以兩點為端點的線段；當定值小于兩定點的距離時，軌跡不存在；當定值大于兩定點的距離時，軌跡為橢圓。

這樣的教學設(shè)計，著眼于從條件的類比變化探求新曲線的產(chǎn)生，包含了數(shù)學學習的發(fā)散性思維，也滲透了數(shù)學研究的漸變式思想，同時站在集合觀點下剖析圓錐曲線是由怎樣的點組成的感知。在教師的引導下，學生已經(jīng)在潛移默化中經(jīng)歷了一個重新認識舊知，創(chuàng)新衍生新知的探索歷程。在橢圓概念的形成過程中，引導學生積極思維，主動探索，強調(diào)學生在學習中的理解，體現(xiàn)了師生思維活動的同頻共振過程，這一切正是充分揭示數(shù)學思維過程的自然結(jié)果。

（二）注重對數(shù)學思維過程的分析能力

首先，我們來分析解決具體數(shù)學問題時的思維過程。解決數(shù)學問題是一個不斷地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，直到歸結(jié)為熟知的問題為止的思維過程。心理學實踐研究表明，人們在創(chuàng)造性解決問題的過程中，總力求逐步縮小探索的范圍。思維進程往往循著基本邏輯水平，基本數(shù)學方法水平，具體方法、技巧和程序這樣三個層次來推進，思維過程表現(xiàn)為檢索、聯(lián)想、想象、評價等環(huán)節(jié)。其次，分析解決一類數(shù)學問題的數(shù)學思維過程。在此層面上的思維，表現(xiàn)為不斷地提高抽象概括的水平，不斷地賦于數(shù)學方法以具體新鮮的意義，這是一個不斷地聚合、發(fā)展的過程。教學中要充分地暴露數(shù)學思維活動過程，不掩蓋數(shù)學思維活動的任何一個環(huán)節(jié)，這是使學生形成良好思維結(jié)構(gòu)的根本保證。如果長期片面地強調(diào)某些思維環(huán)節(jié)，忽視另一些環(huán)節(jié)就會造成思維結(jié)構(gòu)的缺陷，例如，目前學生的創(chuàng)造性思維能力不足，就是長期掩蓋發(fā)現(xiàn)問題環(huán)節(jié)的結(jié)果。

（三）加強教學過程的合理設(shè)計

數(shù)學教材呈現(xiàn)出的是經(jīng)過整理加工過的嚴密、抽象、精練的結(jié)論，在闡述數(shù)學基礎(chǔ)知識時未能暴露數(shù)學思維過程。這種特點決定了我們的教學不能將此教材內(nèi)容直接照搬到課堂上去，否則學生就無法領(lǐng)略到數(shù)學精湛的思維過程，這就要求教師備課時必須加強教學過程的合理設(shè)計。首先，找準知識的生長點，以此作為暴露思維過程的基礎(chǔ)。其次，必須深入鉆研、認真吃透和摸準教材，高度注重知識發(fā)生過程的分析研究，切實把握住知識系統(tǒng)內(nèi)部的關(guān)聯(lián)、差別和轉(zhuǎn)化，促進知識的遷移和思維的遷移。備課時要善于挖掘客觀存在的思維規(guī)律，充分呈現(xiàn)數(shù)學思維過程，設(shè)計出適合學生水平的教學程序，切實保證數(shù)學教學的有效。

例如，對一個不等式問題的認知分析和教學設(shè)計：

問題：設(shè)不等式mx2-2x-m+1＜0對于滿足-2≤m≤2的m值都成立，求x的取值范圍。

解f（m）=（x2-1）m-2x+1，mx2-2x-m+1＜0即f（m）＜0.

又因為f（m）的圖像是一條直線，因此當m∈[-2，2]時，f（m）＜0恒成立，當且僅當

分析：對多數(shù)學生的了解發(fā)現(xiàn)，學生對此題的解法的確不易掌握，大多停留在賞析層面。深入分析解題思路可分成三步：（1）把mx2-2x-m+1看成關(guān)于m的函數(shù)——不等式向函數(shù)的轉(zhuǎn)化；（2）認識到f（m）是一次函數(shù)——將思考對象具體化、直觀化；（3）得到一個關(guān)于x的一元二次不等式組，進而解得x的取值范圍。學生解此題的難點是：m是一個變化的量，把x看成不變的，x與m混在一起，使得許多學生抓不住問題的本質(zhì)。由此，教學過程可設(shè)計如下：

（1）設(shè)計問題，驅(qū)動學生思考，不妨從學生理解的困惑處——x與m的復雜關(guān)系入手來設(shè)計一系列問題；從突破學生思維的關(guān)鍵——化歸法，設(shè)計問題幫助學生建立與原有知識經(jīng)驗的聯(lián)系。

問題1：本題涉及哪幾個量？相對于m的變化，你認為x應(yīng)看成靜止的還是運動的？為什么？

問題2：分析x的取值范圍究竟是哪個條件決定的?

問題3：對于每一個確定的m值，mx2-2x-m+1的值是否唯一確定？與m是什么關(guān)系？

問題4：記f（m）：xm2-2x-m+1，嘗試用函數(shù)的語言重新敘述題目的條件和目標?

（2）深入反思，促進遷移。修改和變換問題情境，切實使學生對原問題及解法重新審視和反思，引導學生領(lǐng)悟思維本質(zhì)，避免認識上的表面化。

問題5：改題目為“不等式mx2-2x-m+1＜0對于滿足-2≤x≤2的x值都成立，求m的取值范圍，你認為應(yīng)該如何思考？

問題6：已知函數(shù)y=f（x）在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，若x∈[a，b]時，f（x）＜k（或f（x）＞k，k是常數(shù)）恒成立，則如何轉(zhuǎn)化？

數(shù)學從靜態(tài)角度看是數(shù)學知識、定理、符號公式的匯集，枯燥乏味。若從動態(tài)角度去審視，數(shù)學是一種實際的研究活動，是數(shù)學思維活動的過程。學生的思維發(fā)展有一個初步感知，逐漸領(lǐng)會，再到靈活運用的過程，教師要多給學生反復實踐和領(lǐng)悟的機會，教學中對此再費時費力也不過分。教學過程設(shè)計中，教師應(yīng)注重引導學生從聯(lián)系的觀點看問題，用轉(zhuǎn)化的手段去處理問題，即化繁為簡，化陌生為熟悉，化未知為已知。注重設(shè)計問題串，一個好的數(shù)學問題，不在于它是簡單還是困難，也不在于具體還是一般，而是能夠引導學生進行思考，培養(yǎng)其一種通用的解決問題的方法。一個好的數(shù)學教師不會只是把數(shù)學作為知識來讓學生記住，而是教學中把一些數(shù)學思想埋進基本的思維過程中。

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