李林凱，姜瑞忠

(中國石油大學(xué)(華東)石油工程學(xué)院，山東 青島 266555)

魏朋朋

(中石油大港油田分公司勘探開發(fā)研究院，天津 300280)

李 紅

(中海油能源發(fā)展監(jiān)督監(jiān)理技術(shù)公司，天津 300452)

高速非達(dá)西滲流壓力動(dòng)態(tài)分析

李林凱，姜瑞忠

(中國石油大學(xué)(華東)石油工程學(xué)院，山東 青島 266555)

魏朋朋

(中石油大港油田分公司勘探開發(fā)研究院，天津 300280)

李 紅

(中海油能源發(fā)展監(jiān)督監(jiān)理技術(shù)公司，天津 300452)

當(dāng)流體的滲流速度較大時(shí)，呈現(xiàn)出高速非達(dá)西滲流，為準(zhǔn)確地描述其滲流規(guī)律，基于高速非達(dá)西滲流新模型，建立了考慮井筒儲(chǔ)存和表皮系數(shù)的試井模型，并采用有限差分求解。結(jié)果表明，考慮高速非達(dá)西后，壓力曲線上移，壓力導(dǎo)數(shù)曲線駝峰高度增加并后移，水平段出現(xiàn)的時(shí)間延遲。與Forchheimer模型相比，新模型的上升幅度要小。Kmr和τD是影響曲線特征的重要參數(shù)，決定了曲線駝峰的高度和位置。隨著Kmr減小，τD增大，壓力曲線上移幅度增大，壓力導(dǎo)數(shù)曲線駝峰高度增加幅度增大。

新模型；高速非達(dá)西；數(shù)值解；試井；壓力恢復(fù)

室內(nèi)試驗(yàn)和開發(fā)實(shí)踐表明，當(dāng)流體的滲流速度較大時(shí)，呈現(xiàn)出高速非達(dá)西滲流，而達(dá)西定律無法準(zhǔn)確地描述其滲流規(guī)律。為此Forchheimer[1]對(duì)達(dá)西定律進(jìn)行了修正，提出以下模型(簡稱F模型)來描述高速非達(dá)西滲流：

(1)

許多學(xué)者[2-8]基于該模型進(jìn)行了高速非達(dá)西滲流的試井分析。但是，即使在Forchheimer公布的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，也有一些數(shù)據(jù)點(diǎn)不能用速度的二次方程來描述。為此，筆者基于高速非達(dá)西滲流新模型，討論了壓力降落及壓力恢復(fù)試井的情況，為高速非達(dá)西試井提供理論依據(jù)。

1 高速非達(dá)西滲流新模型

Barree等[9]認(rèn)為在流速相當(dāng)高的條件下，流體滲流存在最小滲透率，達(dá)西定律和Forchheimer方程都不能準(zhǔn)確地描述其滲流規(guī)律，在大量試驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出了滲流新模型(簡稱BC模型)：

(2)

式中，Kmr=Kmin/K，Kmin為最小滲透率，μm2；τ為常數(shù)，100/cm;Kmr是最小滲透率與滲透率之比。

當(dāng)Kmr=0時(shí)，該模型簡化為Forchheimer模型。當(dāng)Kmr=0，τ→∞時(shí)，該模型簡化為達(dá)西模型。Kmr、τ可以通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)的非線性擬合獲得。與F模型相比，該模型能更準(zhǔn)確地的描述試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

2 試井模型

假設(shè)油井定量生產(chǎn)，且地層流體符合高速非達(dá)西滲透新模型，其他假設(shè)條件與常規(guī)試井一致。

引入有效井徑的概念，定義如下無因次量：

式中，rD為無因次井徑；r為地層某點(diǎn)離井筒中心的距離，cm；tD為無因次時(shí)間；pD為無因次壓力；pi為原始地層壓力，0.1MPa；p為地層某點(diǎn)的壓力，0.1MPa；CD為無因次存儲(chǔ)系數(shù)；τD為無因次巖性常數(shù)；rw為井筒半徑，cm;q為地面產(chǎn)量；B為體積系數(shù)；t為時(shí)間，s；s為表皮系數(shù)；φ為孔隙度；Ct為裂縫綜合壓縮系數(shù)，10MPa；h為儲(chǔ)層高度，cm；C為存儲(chǔ)量系數(shù),10cm3/MPa。

由高速非達(dá)西滲流新模型、狀態(tài)方程和連續(xù)性方程，得到如下無因次數(shù)學(xué)模型：

(3)

初始條件：

pD(rD,tD=0)=0

(4)

內(nèi)邊界條件：

(5)

封閉外邊界：

(6)

定壓內(nèi)邊界：

pD|rD=reD=0

(7)

式(3)～(7)組成了高速非達(dá)西滲流的試井模型，該模型是非線性偏微分方程，采用有限差分?jǐn)?shù)值求解。

3 數(shù)值求解

3.1 差分離散

空間步長i選取等比數(shù)列，取空間坐標(biāo)變換rD=ex，將不等距徑向坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為等距直角坐標(biāo)，時(shí)間步長n取對(duì)數(shù)數(shù)列[10]。

對(duì)試井模型采用隱式中心差分得：

(8)

內(nèi)邊界處：

(9)

封閉外邊界處(i=m)：

(10)

定壓邊界處(i=m-1)：

(11)

式中，Δx=lnreD/(m-1)，Mi=e2(i-1)Δxe-2sΔx2/ΔtD，m為網(wǎng)格總數(shù)。

式(8)～(11)組成該試井模型的差分格式。

3.2 高速非達(dá)西校正系數(shù)δ的計(jì)算

將BC模型無因次化，得：

(12)

整理得：

(13)

解上述一元二次方程得：

(14)

由此確定δ值。

3.3 試井模型的求解

4 結(jié)果分析

圖1所示為不同模型的高速非達(dá)西校正因子與雷諾數(shù)的曲線。由圖1可知，達(dá)西模型的校正因子是1，F(xiàn)模型和BC模型的校正系數(shù)隨著雷諾數(shù)的增大逐漸減小，但BC模型的校正系數(shù)最終趨于常數(shù)，這主要是因?yàn)榭紤]了最小滲透率的緣故。從圖1可以看出，Re≈0.1可以作為達(dá)西與高速非達(dá)西滲流的分界點(diǎn)，這與文獻(xiàn)[12]的結(jié)論基本一致。

圖2所示為不同模型的試井曲線，其中CDe2x=100。由圖2可以看出，考慮高速非達(dá)西滲流后，壓力曲線上移，在徑向流動(dòng)階段曲線基本保持平行；壓力導(dǎo)數(shù)曲線駝峰高度增加并后移，水平段出現(xiàn)的時(shí)間延遲，即徑向流動(dòng)階段開始的時(shí)間延遲，隨著時(shí)間的增大，壓力導(dǎo)數(shù)曲線趨向0.5水平線。與F模型相比，BC模型的增加幅度要小。

注：達(dá)西模型(Kmr=1)；F模型(Kmr=0，τD=3)；BC模型(Kmr=0.1，τD=3) 圖1 不同模型的高速非達(dá)西校正因子與雷諾數(shù)的曲線 圖2 不同模型的試井曲線

圖3所示為Kmr和τD對(duì)試井曲線的影響，其中，CDe2s=100。從圖3可知，Kmr和τD是影響曲線特征的重要參數(shù)，決定了曲線駝峰的高度和位置。隨著Kmr減小，τD增大，壓力曲線上移幅度增大，壓力導(dǎo)數(shù)曲線駝峰高度增加幅度增大。

圖4所示為定壓邊界對(duì)試井曲線的影響，其中，CDe2s=100，ReD=5000。由圖4可知，當(dāng)壓力波傳到定壓邊界時(shí)，無論參數(shù)Kmr和τD取值如何，壓力曲線趨于水平，壓力導(dǎo)數(shù)曲線下彎。

圖3 Kmr和τD對(duì)試井曲線的影響 圖4 定壓邊界對(duì)試井曲線的影響

圖5所示為封閉邊界對(duì)試井曲線的影響，其中 ，CDe2s=1000,ReD=15000。由圖5可知，當(dāng)壓力波傳到封閉邊界時(shí)，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹，Kmr和τD的取值不影響邊界曲線的形態(tài)。

圖6 所示為BC模型壓力降落和壓力恢復(fù)試井曲線對(duì)比圖，其中，CDe2s=10000，Kmr=0.01，τD=5。由圖6可知，BC模型壓力降落試井和壓力恢復(fù)試井的壓力導(dǎo)數(shù)曲線不像達(dá)西模型那樣重合。所以，不能像達(dá)西模型那樣簡單地用壓力降落試井曲線擬合壓力恢復(fù)試井?dāng)?shù)據(jù)，否則不能取得理想的擬合結(jié)果。

圖5 封閉邊界對(duì)試井曲線的影響 圖6 BC模型壓力降落和壓力恢復(fù)試井曲線對(duì)比圖

BC模型和達(dá)西模型壓力恢復(fù)曲線對(duì)比圖如圖7所示。由圖7可知，BC模型壓力恢復(fù)的壓力曲線與達(dá)西模型基本重合。當(dāng)油井以恒定產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)，BC模型所預(yù)測的壓降比達(dá)西模型要大。但當(dāng)關(guān)井時(shí)，2個(gè)模型的壓力恢復(fù)曲線重合，說明壓力恢復(fù)時(shí)由于流速較低，高速非線性滲流不明顯，呈現(xiàn)出達(dá)西滲流的特點(diǎn)。

圖7 BC模型和達(dá)西模型壓力恢復(fù)曲線對(duì)比圖 圖8 無因次Horner曲線

5 結(jié) 論

基于高速非達(dá)西滲流新模型建立試井解釋模型并采用數(shù)值方法求解，對(duì)比分析了達(dá)西模型、Forchheimer模型和滲流新模型壓力響應(yīng)曲線，討論了非線性特征參數(shù)Kmr，τD以及邊界條件對(duì)試井曲線的影響，闡述了高速非達(dá)西滲流壓力降落試井和壓力恢復(fù)試井的不同。研究發(fā)現(xiàn)，Kmr和τD是影響曲線特征的重要參數(shù)，決定了曲線駝峰的高度和位置。隨著Kmr減小，τD增大，壓力曲線上移幅度增大，壓力導(dǎo)數(shù)曲線駝峰高度增加幅度增大。

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[編輯] 李啟棟

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.10.029

TE312

A

1673-1409(2012)10-N093-05