黎延海

(陜西理工學院數(shù)學系，陜西 漢中 723000)

基于最大熵原理的廣義灰色關聯(lián)模型及應用

黎延海

(陜西理工學院數(shù)學系，陜西 漢中 723000)

通過對現(xiàn)有灰色關聯(lián)模型的研究，以序列相鄰采樣點間的面積作為計算關聯(lián)系數(shù)的依據(jù)，并基于離差最大化和最大熵原理，建立了計算關聯(lián)系數(shù)權重的數(shù)學模型，得到加權灰色關聯(lián)度。將該模型應用于工程招標問題中，結果表明該模型有較高的可靠性和應用性。

灰色關聯(lián)分析；離差最大化；最大熵原理；工程招標

灰色關聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論[1-2]的重要組成部分，是研究系統(tǒng)內部因素之間關聯(lián)程度的一種數(shù)學模型?；疑到y(tǒng)理論發(fā)展至今，已有許多成熟的關聯(lián)度模型，如鄧氏關聯(lián)度、廣義灰關聯(lián)度、絕對關聯(lián)度、T型關聯(lián)度、斜率關聯(lián)度等，這些模型分別按照基于距離、基于斜率和基于有向面積的相似度量原理來進行分析。鄧氏關聯(lián)度容易受到數(shù)據(jù)極值和采樣數(shù)據(jù)質量的影響，廣義灰色關聯(lián)度在2曲線上下波動時所得結果與定性分析不一致[3-4]，并且將灰色關聯(lián)系數(shù)做簡單的算術平均來得到灰色關聯(lián)度，會造成信息損失和局部點關聯(lián)測度值控制整個灰色關聯(lián)序[5-6]。為此，筆者采用2曲線相鄰采樣點間的面積作為灰色關聯(lián)系數(shù)的計算依據(jù)，討論了分辨系數(shù)的選取，基于離差最大化和最大熵原理[7-8]，建立加權系數(shù)的數(shù)學模型，得到了加權灰色關聯(lián)度模型，并將改進的關聯(lián)度模型應用于工程招標問題中。

1 基于最大熵原理的廣義灰色關聯(lián)度

1.1 改進的面積灰色關聯(lián)系數(shù)

定義1設系統(tǒng)特征序列X和行為序列Xi分別為：

X={x(t1),x(t2),…,x(tn)}Xi={xi(t1),xi(t2),…,xi(tn)} (i=1,2,…,m)

1.2 關聯(lián)系數(shù)權重的優(yōu)化模型

定義2[10-11]ξi={ξi(1),ξi(2),…,ξi(n-1)}為灰色關聯(lián)系數(shù)序列，就其第k個分量，稱：

為序列ξi與其他序列的離差。稱：

為所有序列與其他序列的總離差。

灰色關聯(lián)系數(shù)反映了比較序列各點對主行為序列的影響。如果關聯(lián)系數(shù)序列的第k個分量對所有序列而言無大的差異，則該分量對關聯(lián)度的影響較小，該分量的權值就應該較小。反之，如果第k個分量使所有序列的關聯(lián)度有較大的差異，則該分量的權值就應該取較大值。同時由于各分量的權重是一個隨機變量，具有不確定性。為得到合理的權重，一方面應使所有序列分量對所有序列的總離差最大化，另一方面盡量消除各分量權重的不確定性，為達到上述2個目標，可建立如下的優(yōu)化模型：

(1)

其中，0<μ<1，用來表示2個目標間的平衡系數(shù)，可根據(jù)實際問題預先給出。

定理1[8]模型(1)有唯一解，其解為：

1.3 加權關聯(lián)度模型的建立

采用2曲線相鄰采樣點間的面積來計算灰色關聯(lián)系數(shù)ξi，基于離差最大化和最大熵原理，求得關聯(lián)系數(shù)的權重ωk，建立加權灰色關聯(lián)度模型，即：

稱為序列X與Xi的改進廣義灰色關聯(lián)度。

1.4 改進關聯(lián)度的性質

顯然，改進的關聯(lián)度模型可以很好的度量曲線的相似性，并滿足灰色關聯(lián)4公理，即規(guī)范性、整體性、偶對稱性和接近性。

2 應 用

某市一建筑工程采用工程量清單計價模式進行招標，有4家投標單位通過了資格預審。各投標單位的評價指標值見表1。其中工程質量保證體系、近5年工程質量情況和施工組織設計這3項指標值是通過專家打分得到。

表1 投標單位標書評價指標值

設X={892.52,80,167,87,80,90,17.2}作為參考序列，取平衡系數(shù)μ=0.5，得到關聯(lián)系數(shù)權重向量ω=(0.154952,0.123027,0.041297,0.110691,0.458945)，最后得到4個方案與理想方案的灰色關聯(lián)度為r1=0.79007，r2=0.502046,r3=0.57794，r4=0.669945，則方案排序為：方案1、方案4、方案3和方案2，所得結果與文獻[12]結果一致，證明了方法的可靠性。

3 結 語

以改進的廣義灰色關聯(lián)度為基礎，利用優(yōu)化理論和最大熵原理，對關聯(lián)系數(shù)加權平均計算灰色關聯(lián)度，綜合考慮了整體性對灰色關聯(lián)度的影響，討論了分辨系數(shù)的選取，能夠有效控制關聯(lián)系數(shù)的波動性，解決了局部點控制關聯(lián)序的問題，并在序列波動和存在極值干擾時仍具有較高可靠性。將該模型應用于工程招標問題中，通過比較分析，所得評價結果合理，與定性分析相一致，證明了該模型的實用性和有效性。

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[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.10.003

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A

1673-1409(2012)10-N008-02