● (成功中學(xué) 安徽馬鞍山 243000)

陳題新變活力四射——由一道祖沖之杯賽題變式引發(fā)的思考

●汪宗興(成功中學(xué) 安徽馬鞍山 243000)

在教師的教學(xué)中，遇到不會(huì)做的題是常有的事．筆者對(duì)于同事或?qū)W生提出的問(wèn)題，都會(huì)極力思考.凡認(rèn)為有價(jià)值的問(wèn)題都將其詳細(xì)記錄下來(lái)，其中不乏值得玩味的“好題”，現(xiàn)擷取一題，共賞之！

例1如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，∠D=80°，∠BCD=30°，求證：AC=CD．

圖1

圖2

1 反復(fù)嘗試，均告失敗

題目表述簡(jiǎn)潔，圖形簡(jiǎn)單，憑直覺(jué)應(yīng)該容易做，但經(jīng)過(guò)一番嘗試，均以失敗告終，不過(guò)倒是有一個(gè)新發(fā)現(xiàn)！

嘗試1如圖2，作△ABC關(guān)于AC的軸對(duì)稱圖形△AB′C，聯(lián)結(jié)DB′，采用倒推法，知：△ACB′≌△DCB′，△ADB′是等邊三角形．順推時(shí)，由于AC=CD未知，相關(guān)角度未知，探索失??！

嘗試2圖3與圖2類似，作△ACD關(guān)于AC的軸對(duì)稱圖形△ACD′，聯(lián)結(jié)D′B，探索失??！

圖3

圖4

圖5

圖6

嘗試3平移腰是梯形中常見的輔助線，如圖4、圖5，也沒(méi)有成功！

嘗試4觀察圖5，抽象出圖6，此圖與一道“祖沖之杯”賽題的圖形相似，詳見例2，能否將例2的證明方法遷移到例1上呢？嘗試仍宣告失?。?/p>

例2已知：如圖6，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，D是AB上一點(diǎn)，且AD=BC，聯(lián)結(jié)CD，求∠BDC的度數(shù)．

(第6屆祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)

這里∠BDC=30°，事實(shí)上例1等價(jià)于例3，如下．

例3已知：如圖6，在△ABC中，∠B=80°，D是AB上一點(diǎn)，∠BDC=30°，聯(lián)結(jié)CD，AD=BC，求證：AB=AC．

對(duì)比例3和例2，可以發(fā)現(xiàn)：例3就是將例2部分條件與結(jié)論互換而得．

前面的嘗試雖然沒(méi)有成功，但筆者發(fā)現(xiàn)可以將原圖形改造成與之“等價(jià)圖形”，將原題改造成與之“等價(jià)試題”．這里所說(shuō)的“等價(jià)圖形”是指可以將圖形整體或是部分經(jīng)過(guò)全等變換復(fù)原成原題圖形；“等價(jià)試題”是指它們可以相互證明其正確性，這是筆者這一番嘗試帶來(lái)的最大收獲！

2“風(fēng)雨”之后，終現(xiàn)“彩虹”

在圖6的基礎(chǔ)上，筆者重新構(gòu)圖，分離△AED、△AEC，以另類方式組合成圖7，再抽象出圖8．受對(duì)稱思想指引，筆者又構(gòu)造出圖9，使圖形整體上具有“對(duì)稱美”．研究發(fā)現(xiàn)將結(jié)論當(dāng)作條件，逆推，四邊形AFCG是一個(gè)上底等于腰的等腰梯形．反之若能證明上底等于腰，就能順利證明例1，功夫不負(fù)有心人，探究成功，因?yàn)檩o助線GA,GE,GC實(shí)質(zhì)并未用到，筆者又將圖9簡(jiǎn)化，過(guò)程詳見證法1．

圖7

圖8

圖9

圖10

視角1利用30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半及角平分線性質(zhì)證明

證法1如圖10，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC交CD于點(diǎn)E，則CE=AB=AD，以AE為邊構(gòu)造△AEF≌△EAD(AAS)，從而

AD=EF=AB=EC，∠AEF=∠EAD=70°，

即

∠AED=30°，

因此 ∠DEF=∠AEF-∠AED=70°-30°=40°，

即

∠FEC=140°，

故

下面證：AF=FC．作EG⊥FC于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AE于點(diǎn)H，從而

由角平分線性質(zhì)定理，得FH=FG，從而

AF=2FH=2FG=FC.

又因?yàn)椤螦FC=∠AFE+∠EFC=80°+20°=100°，所以

∠FAC=∠FCA=40°，

從而 ∠ACD=∠ACF-∠FCE=40°-20°=20°,

即

∠CAD=80°，

故

AC=CD．

視角2構(gòu)造含30°三角形的外接圓，利用等邊三角形的性質(zhì)證明

根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的想法很多時(shí)候超過(guò)教師的智慧.筆者試著將此題讓學(xué)生自己做，學(xué)生通過(guò)平移腰，構(gòu)造輔助圓輕松解決，見證法2．

證法2如圖11，作AE∥BC交DC于點(diǎn)E，作△ADE的外接圓O，從而

OA=OD=OE，∠AED=∠BCD=30°，

即

∠AOD=60°，

故△AOD為等邊三角形.聯(lián)結(jié)OC.因?yàn)樗倪呅蜛BCE是平行四邊形，所以

EC=AB=AD=OA=OD=OE，

即

∠COD=150°，

亦即

∠COA=150°，

因此

△COA≌△COD(SAS)，

故

AC=CD．

看到學(xué)生提供的證法2，筆者真是自慚形穢，“平移腰”到學(xué)生那里變成了“成功之路”！既然可以平移腰BC，那么平移腰AD能否證明呢？見證法3．

圖11

圖12

證法3如圖12，作BE∥AD交DC于點(diǎn)E，作△BEC的外接圓，O為△BEC的外心，則

OB=OE=OC，∠BOE=2∠BCD=60°，

從而△BOE為等邊三角形，即

OC=OE=OB=BE=AD=AB，

得

∠OEC=∠BEC-∠BEO=80°-60°=20°，

于是

∠DOE=10°，∠DOC=150°，OC=AB，

從而

△BOC≌△DOE，

則

BC=OD，△DOC≌△CBA(SAS)，

故

AC=CD．

異中求同，證法2和證法3的共同特點(diǎn)是構(gòu)造含30°的三角形的外接圓，均出現(xiàn)等邊三角形.根據(jù)這一構(gòu)想，筆者作了多次嘗試，又獲新解．

圖13

證法4如圖13，聯(lián)結(jié)DB，作△DBC的外接圓，圓心為E，聯(lián)結(jié)EB,ED,EC，EB交CD于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AF，則

∠BED=2∠BCD=60°，

故△BDE為等邊三角形．

因?yàn)?/p>

AB=AD，AB∥CD，

所以

∠ADB=∠ABD=∠BDC=40°，

從而∠ABF=∠ABD+∠DBE=40°+60°=100°=

∠BAD，

故四邊形ABFD為等腰梯形，從而

AF=BD=ED，∠AFD=∠BDF=40°，

即

∠AFC=140°，

∠DEC=∠DEB+∠BEC=60°+2∠BDC=

60°+2×40°=140°．

又因?yàn)椤螩FE=∠BFD=80°=∠BEC，所以

CF=CE,

從而

△AFC≌△DEC(SAS),

故

AC=DC．

圖14

證法5如圖14，在CD上取一點(diǎn)E，使∠BED=∠D=80°，聯(lián)結(jié)BE，則四邊形ABED是等腰梯形，從而

AB=AD=BE，

∠ABE=∠BAD=100°.

作△BCE的外接圓⊙O，聯(lián)結(jié)OB,OC,OE,EA，則

OB=OC=OE，∠BOE=2∠BCE=60°，

則△BOE是等邊三角形，從而

OB=OE=BE=AD=AB,

從而

△ABE≌△EOC(SAS)，

即

AE=EC，

故

AC=CD．

視角3利用軸對(duì)稱變換，直接構(gòu)造等邊三角形

證法6如圖15，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD交BC于點(diǎn)E，將△BEC沿BC翻折，得到△BFC，從而

∠FBE=2∠CBE=140°，

即

∠FBA=140°.

聯(lián)結(jié)FE,FA，則△EFC是等邊三角形，△FBA≌△FBE，從而

FA=FC，∠AFC=100°，

即

∠FAC=40°，∠BAC=20°，∠CAD=80°，

故

CA=CD．

圖15 圖16

證法7如圖16，在CD上取一點(diǎn)E，使∠BED=∠D=80°，聯(lián)結(jié)BE，則四邊形ABED是等腰梯形，從而

AB=AD=BE，∠ABE=∠BAD=100°.

作△BCE關(guān)于BC對(duì)稱的△BCF，聯(lián)結(jié)EF,EA，從而

FB=EB，F(xiàn)C=EC，∠ECF=2∠BCD=60°，

∠FBC=∠EBC，

故△ECF是等邊三角形．

又因?yàn)?/p>

∠ABC=180°-∠BCD=150°，

所以

∠FBC=∠EBC=∠ABC-∠ABE=50°，

從而

∠FBE=100°=∠ABE,

故

△ABE≌△EBF(SAS),

即

AE=EF.

因?yàn)?/p>

EF=EC，

所以

AE=EC，

圖17

故

AC=CD．

視角4構(gòu)造等腰三角形，再證明△ACD與之相似，利用三角形相似解決

證法8如圖17，以B為圓心，作圓切DC，并作C關(guān)于該圓的切線交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)FB交DC于點(diǎn)E.因?yàn)锳B=AD，所以

∠ADB=∠ABD=(180°-100°)÷2=40°=

故點(diǎn)B是△CDF的內(nèi)心，BE=AB=AD,∠BED=∠ADE=80°,從而

∠DBE=180°-∠BDE=∠BED=

180°-40°-80°=60°．

又因?yàn)锽C平分∠FCD(內(nèi)心性質(zhì))，所以

∠FCD=2∠BCD=60°,

從而

∠DFC=180°-∠FCD-∠FDC=

180°-60°-80°=40°,

故

△DEB∽△FDC,

即

因?yàn)?/p>

∠DFE=∠DFC=20°，∠FDE=80°,

所以

∠FED=80°=∠ADE，F(xiàn)D=FE.

又因?yàn)?/p>

所以

∠ADC=∠DEF,

從而

△ADC∽△DEF,

故

AC=CD．

回首證法1～8，筆者不禁感慨，數(shù)學(xué)題真是魅力無(wú)限，試題形式的簡(jiǎn)單與證法的多樣形成鮮明的對(duì)比，巧用特殊角，構(gòu)造輔助圓，利用等邊三角形、全等三角形、相似三角形，順利解決！回顧反思此題的解決歷程，道路雖曲折，但一路風(fēng)景無(wú)限好，同時(shí)也深感陳題時(shí)間雖久，但內(nèi)涵豐富，陳題新變，又散發(fā)出新的“活力”！

3 構(gòu)造“新”題

受前面構(gòu)圖的影響，筆者將例1中圖形的2個(gè)部分重組，又產(chǎn)生如下變式題：

圖18

圖19

例4已知：如圖18，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，D在△ABC的內(nèi)部，∠ADC=80°，∠BDC=130°，求證：AC=CD.

例5已知：如圖19，在四邊形ABCD中，∠B=150°，聯(lián)結(jié)AC，AD=BC，∠ACB=∠ACD，∠D=80°，求證：AC=CD．

[1] 孫維剛．孫維剛談立志成才[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2009：127-129.