王玉民

(北京天文館古觀象臺(tái)，北京 100005)

研究中國古代歷法時(shí)，我們時(shí)常為古人計(jì)算動(dòng)輒精確到小數(shù)點(diǎn)后6、7位，或使用巨大分子分母構(gòu)成的精確數(shù)而驚嘆，按說，用如此精密算法修成的歷法，其可靠性也應(yīng)該同樣令人驚嘆，然而，縱觀各朝各代，一部歷法經(jīng)常使用幾十年就因不合天而被廢棄，使用壽命超過百年的屈指可數(shù)，這與歷法推算中的表現(xiàn)精度完全不成比例。

在現(xiàn)代科學(xué)研究中，對(duì)精度的追求是一項(xiàng)系統(tǒng)活動(dòng)，具體在對(duì)天體運(yùn)行規(guī)律的把握中，需要觀測(cè)精度、模型精度、計(jì)算精度的高度統(tǒng)一才能達(dá)到理想狀態(tài)。古代歷法家由于缺少誤差思想的指導(dǎo)，在對(duì)觀測(cè)精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到、對(duì)天體運(yùn)行的規(guī)律掌握尚有限的情況下，經(jīng)常單純追求計(jì)算的高精度，以求修成的歷法“止于至善”。但實(shí)際上，古人在這方面付出的努力多為事倍功半，因?yàn)橛?jì)算結(jié)果比計(jì)算本身更重要，沒有意義的數(shù)字位數(shù)參與運(yùn)算是一種資源的浪費(fèi)。

本文以現(xiàn)代誤差和近似計(jì)算思想為指導(dǎo)，對(duì)古代歷法的誤差思想空缺現(xiàn)象做初步的梳理和探討，以期從這一不引人注意的角度進(jìn)一步來加深我們對(duì)古代歷法的了解和認(rèn)識(shí)。

1 中歷對(duì)“完美”天行的追求

中國歷史上各朝頻頻改歷，小部分是政治因素，大部分是“驗(yàn)天不合”或“不精”造成的。

在“天不變，道亦不變”思想的指導(dǎo)下，古人存在一種能夠?qū)μ煨小敖K極把握”的理想，認(rèn)為天體的運(yùn)行周期可以通約(至少在中古前是這樣認(rèn)為的)。戰(zhàn)國秦漢時(shí)代的“四分歷”，認(rèn)為一回歸年為365天，閏周為19年7閏，于是現(xiàn)代人根據(jù)這兩個(gè)數(shù)值替古人推

在追求對(duì)天行終極把握理想的推動(dòng)下，各朝歷法都設(shè)法使其精度在前人的基礎(chǔ)上有所提高，這種提高是符合科學(xué)精神的，但也由此形成了一種觀念，認(rèn)為歷法就應(yīng)該是一種不斷改變的東西。甚至直到清初，引進(jìn)西學(xué)，歷法精度大幅提高時(shí)，著名歷法家王錫闡仍說:“歷之道主革，故無百年不改之歷”［1］，把改變歷法當(dāng)成了常態(tài)?？墒?，由于天體運(yùn)行的復(fù)雜性，使其運(yùn)行周期找到通約的理想永遠(yuǎn)無法實(shí)現(xiàn)。中歷是陰陽歷，即使僅僅單純考慮日、月兩天體的運(yùn)動(dòng)，也無法找到一個(gè)理想的會(huì)合周期(如朔望月的發(fā)生原理非常簡(jiǎn)單，但每月的長度都各自不同，而且找不出這種長度變化的周期)，更何況其他天體運(yùn)行周期的通約了。

于是古人試圖尋找另外的途徑作為補(bǔ)充，以輔助實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。我們的先輩很早就發(fā)現(xiàn)，樂律是有明顯周期的，既然日長、年長都有周期，于是他們認(rèn)為天體運(yùn)行也會(huì)像樂律一樣遵守簡(jiǎn)明的數(shù)理關(guān)系，因此從很早開始，歷法就和樂律聯(lián)系在一起，稱“律歷”，歷法的某些參數(shù)需要符合黃鐘、律呂之?dāng)?shù);另外，根據(jù)古代根深蒂固的數(shù)字神秘觀念，古人還認(rèn)為，某些數(shù)字存在萬能的功用，包含著萬物之理，所以人們經(jīng)常讓歷法的某些參數(shù)與一些神秘?cái)?shù)字相合(如乾象、大衍之?dāng)?shù)等)。綜合這些因素，古人認(rèn)為一部完美的歷法應(yīng)該是既合天，又相合與樂律和神秘?cái)?shù)字的。

隨著時(shí)代的發(fā)展，觀測(cè)精度逐漸提高，人們發(fā)現(xiàn)那種簡(jiǎn)單的通約關(guān)系(如“19年7閏”)并不能合天，但多數(shù)人仍相信天體運(yùn)行周期是有通約關(guān)系的，只是更復(fù)雜而已。于是古人使用了一些更為“精密”的參數(shù)，如西漢《太初歷》取一個(gè)朔望月為29日，東漢劉洪(約公元129～約210)的《乾象歷》定回歸年長為365日，南朝祖沖之(公元429～500)取閏周為392年144閏等等。這些數(shù)據(jù)包含有實(shí)測(cè)的成分，但也包含有靠樂律、神秘?cái)?shù)來制造高精度的愿望，帶有力求“完全精密”的理想主義的觀念。

上元積年的使用是古人追求對(duì)完美天行把握的最典型體現(xiàn)。上元是古代歷法家尋找的一個(gè)理想推算起點(diǎn)，他們相信，按照他們觀測(cè)獲知的日、月、五星的運(yùn)行周期，疊加回推，最后總能找到一個(gè)理想時(shí)刻:這一刻是一個(gè)甲子日的夜半，又是日月合朔的時(shí)刻，又恰是太陽過冬至點(diǎn)，同時(shí)在冬至點(diǎn)發(fā)生罕見的“五星聯(lián)珠”(即五大行星在視線聚集于冬至點(diǎn)準(zhǔn)備出發(fā))。正式推算上元積年的工作是從西漢的劉歆開始，他在《三統(tǒng)歷》中一直推到143，127年前，才找到這個(gè)理想時(shí)刻。［2］后來隨著交點(diǎn)月、近點(diǎn)月等周期的發(fā)現(xiàn)，這些參數(shù)也常被加入到歷法的上元推算中去，隨著各種參數(shù)的精密化，理想推算起點(diǎn)變得越來越難找，只好繼續(xù)向遠(yuǎn)古推去，求出的上元積年的數(shù)字也越來越龐大，到唐代的《大衍歷》達(dá)到96，661，740年(［2］，623 頁)，金代的《重修大明歷》更達(dá)到了 383，768，657 年(［2］，1266頁)。

古人這么孜孜以求龐大的上元積年，除了基于天行完美的假設(shè)外，還有這樣一種觀念:想為歷法推算、天體位置和天象的推算找到一個(gè)通用程序，真正達(dá)到孟子說的“千歲之日至，可坐而致也”［3］的隨心所欲不逾矩境界。古代通常的演算方法是“籌算”，用擺放和移動(dòng)算籌(小竹棍)來排列算式，非常費(fèi)時(shí)費(fèi)力，這樣，太大的計(jì)算量就會(huì)成為歷法家沉重的負(fù)擔(dān)。

在對(duì)中國古代歷法的研究中，推算上元積年的方法因?yàn)樯婕敖庖淮瓮嗍?，是?shù)學(xué)史上的一大貢獻(xiàn)，被大加贊賞，但因其推算的思想不甚“科學(xué)”而經(jīng)常被忽略或淡化。實(shí)際上，推算上元積年從方法和思想上都是古代歷法最核心的內(nèi)容，它可以解開歷法中的很多謎團(tuán)。陳遵媯曾說:“一部中國歷法史，幾乎可以說是上元的演算史。”［4］上元積年的確定需要同時(shí)考慮許多長短不齊的周期，尤其是這些周期達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后許多位的精度時(shí)，回推上去想找到一個(gè)共同的“起跑線”，具有非常高的難度，精確的位置恐怕永遠(yuǎn)也找不到，今人研究發(fā)現(xiàn)，古人設(shè)定上元時(shí)并不完全是客觀運(yùn)作的。

曲安京經(jīng)過研究證實(shí)，古代圍繞著上元積年的計(jì)算，存在著一個(gè)天文常數(shù)系統(tǒng)，推導(dǎo)上元積年時(shí)只用60干支周期、朔望月和回歸年長度進(jìn)行推導(dǎo)。如果布列的同余式組無解，或求出的上元積年超過1億年，說明取的朔望月和回歸年長度“不合用”，需要用何承天調(diào)日法“設(shè)計(jì)”新的朔望月和回歸年長度，再重新計(jì)算，若所得結(jié)果小于1億年，說明該上元符合要求，于是定出上元和上元積年。至于恒星年、近點(diǎn)月、交點(diǎn)月、五行星會(huì)合周期等數(shù)值，按這億年數(shù)量級(jí)的尺度作出調(diào)整，總是能找到一個(gè)既滿足上元起點(diǎn)、又非常符合今日位置的長度周期的。［5］①這是關(guān)于中國古代歷法的一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)，關(guān)系到歷法制定和推算本質(zhì)的全局問題，也是關(guān)系到歷法精度的重要問題，是涉及整個(gè)“森林”生態(tài)而不是只考察某棵樹木的問題，但一直沒有在學(xué)界得到廣泛的重視。且不說取朔望月和回歸年長度也靠改換數(shù)字、閉門造車來遷就理想上元，就說恒星年、近點(diǎn)月、交點(diǎn)月、五行星會(huì)合周期等數(shù)據(jù)在上億年的漫漫歷史長河中一分配，雖然得到一個(gè)與當(dāng)時(shí)觀測(cè)長度相近的值，但有沒有誤差，誤差究竟是多少，就無法再去考慮了，結(jié)果這些參數(shù)僅符合了當(dāng)時(shí)和較近的過去，行用日久必然會(huì)不合天。

古人確定上元積年時(shí)，還常求出理想上元的“總周期”，即上一次上元完美天象到下一次重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)間間隔，其數(shù)字更為龐大，據(jù)高平子研究，后漢四分歷的總周期年數(shù)有18位，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過今日“大爆炸宇宙學(xué)”設(shè)定的宇宙年齡，故這種周期大數(shù)，根本沒有任何實(shí)際意義。有人認(rèn)為上元的確立說明古人有宇宙學(xué)的“開辟”思想，高平子曾尖銳指出:即使真有一個(gè)氣、朔、日月五星的“上元起點(diǎn)”，也不過是視象的會(huì)合，與一個(gè)原始的出發(fā)點(diǎn)是兩回事，所以這種“開辟”思想離科學(xué)很遠(yuǎn)。［6］

上元積年本來是一種良好設(shè)想，但后來在歷法推算中，歷算家們常過分執(zhí)著于這種設(shè)想，就成了一種對(duì)理想精度不切實(shí)際的追求，在這種追求過程中，歷法家不惜削足適履，將那些本該完全靠實(shí)測(cè)求出的天體運(yùn)行周期安排成“導(dǎo)出常數(shù)”，但其實(shí)際意義與現(xiàn)代天文學(xué)中的“導(dǎo)出常數(shù)”完全不同。由于古人不了解誤差出現(xiàn)的必然性和使用近似計(jì)算的必要性，所以這種追求完美的結(jié)果反而更不完美——?dú)v法幾十年一換。

元代的李謙(1233～1311)在《授時(shí)歷議》中曾對(duì)上元積年，以及其中的人為運(yùn)作有過這樣中肯的判斷:“昔人立法，必推求往古生數(shù)之始，謂之演紀(jì)上元。當(dāng)斯之際，日月五星同度，如合璧連珠然。惟其世代綿遠(yuǎn)，馴積其數(shù)至逾億萬，后人厭其布算繁多，互相推考，斷截其數(shù)而增損日法，以為得改憲之術(shù)，此歷代積年日法所以不能相同者也。然行之未遠(yuǎn)，浸復(fù)差失，蓋天道自然，豈人為附會(huì)所能茍合哉?！?［2］，1360頁)

由于后世歷法家的質(zhì)疑，到中、近古，經(jīng)唐宋時(shí)代的曹士蔿、楊忠輔等作了嘗試性的改革以后，元代郭守敬(1231～1316)在創(chuàng)制《授時(shí)歷》中徹底廢除了上元積年。

清代學(xué)者王錫闡(1628～1682)在評(píng)價(jià)一部歷法的優(yōu)劣時(shí)，曾提出這樣的原則:“合則審其偶合與確合，違則求其理違與數(shù)違，不敢茍焉以自欺而已”。(［1］，607頁)上元積年的湊數(shù)字，就有一種求偶合的傾向，用這種方法產(chǎn)生的歷法，也難以達(dá)到真正的確合，結(jié)果造成理不違而數(shù)違。

2 中歷里觀測(cè)精度、模型精度、計(jì)算精度的不統(tǒng)一問題

在追求對(duì)天行完美把握觀念的指導(dǎo)下，古代歷法家對(duì)誤差觀念十分模糊，特別是唐代以前，只用絕對(duì)精確的數(shù)字——整數(shù)和分?jǐn)?shù)來表示天體運(yùn)行的各種周期及其關(guān)系，計(jì)算時(shí)也盡可能追求絕對(duì)的精度。實(shí)際上，計(jì)算只是歷法編制的一個(gè)方面，從科學(xué)的角度講，只有做到觀測(cè)精度、模型精度、計(jì)算精度的統(tǒng)一，才能編制出一部好的歷法來。

按現(xiàn)代誤差理論，在科學(xué)研究中，定量的誤差主要有3種:

(1)觀測(cè)誤差。就天文觀測(cè)來說，測(cè)量儀器、測(cè)量方法、測(cè)量人員的因素，都會(huì)產(chǎn)生誤差。儀器的安裝準(zhǔn)確程度、刻度盤(尺)的調(diào)準(zhǔn)程度、刻度精密程度，瞄準(zhǔn)的精確程度、讀數(shù)的精確程度對(duì)誤差的產(chǎn)生都有重要影響，我們只能將其控制在一定范圍內(nèi)而不可能將其徹底消除。

(2)模型誤差。就天體運(yùn)行模型來說，古人對(duì)日、月、五星的運(yùn)動(dòng)描述時(shí)總是進(jìn)行抽象簡(jiǎn)化，往往沒發(fā)現(xiàn)或忽略掉次要因素，如對(duì)行星的南北向運(yùn)動(dòng)、早期對(duì)天體的不均勻運(yùn)動(dòng)等，這樣得到的數(shù)學(xué)模型只是近似描述。

(3)截?cái)嗪蜕崛胝`差。在作天體位置推算的過程中，用數(shù)值方法求的總是近似解，比如用有限過程逼近無限過程只能取有限項(xiàng)，計(jì)算過程的四舍五入、取不足或過剩近似值等。這些誤差積累起來也是很驚人的，這是計(jì)算方法造成的誤差，又稱方法誤差。

我國古代，對(duì)天體位置、運(yùn)行以及相應(yīng)時(shí)間的測(cè)量精度如何呢?隨著測(cè)量儀器的出現(xiàn)、完善，以及測(cè)量方法的不斷改進(jìn)，測(cè)量的精度也在隨著歷史的演變逐漸提高，但其精度與同時(shí)代的“計(jì)算精度”相比，總是非常低的。

最早出現(xiàn)的天文儀器是圭表和渾儀。圭表由直立的表(用來生成日影)和水平放置、朝向正北的圭組成，圭上標(biāo)有刻度，當(dāng)正午時(shí)，表的影子恰好完全落在圭上，通過圭上的刻度可以直接讀出影子的長度。開始人們是尋找正午影子最短的一天，這天即為夏至，兩次夏至的間隔即為一年［7］。

冬至是一年中正午影子最長的一天，測(cè)量冬至表影同樣可以確定年長。后來人們改為主要測(cè)、甚至專測(cè)冬至表的影子長度來確定回歸年長了。測(cè)量冬至日影就需要把圭的長度大大增加，至少在漢代，圭表已經(jīng)定型為“圭”長于“表”的制式?！度o黃圖》中記載:“長安靈臺(tái)……有銅表，高八尺，長一丈三尺”［8］，測(cè)量冬至影長也成為定規(guī)。對(duì)這種改變的原因，典籍中沒有記載，按現(xiàn)代誤差理論，用同一方法測(cè)量長的樣本時(shí)，比測(cè)量短的樣本會(huì)獲得更高的精度，因?yàn)闃颖驹介L，讀數(shù)的相對(duì)誤差就越小。古人可能也是這么想的，這是古人改進(jìn)測(cè)量精度的良好愿望，被后代認(rèn)可，所以沿用下來，直到清末。

但實(shí)際上，這種改進(jìn)不但沒有提高測(cè)量精度，而且適得其反，降低了測(cè)量精度。日影長是一種特殊的樣本，并不遵循“樣本越長，讀數(shù)的相對(duì)誤差就越小”這一規(guī)律。具體地說，一個(gè)物體的影子越長，其影端由于太陽圓面造成的半影帶就變得越寬，模糊的區(qū)域會(huì)按比例增加，所以與測(cè)量短影相比，測(cè)量長影并不會(huì)改善測(cè)量的相對(duì)誤差。而對(duì)于圭表來說，由于冬至投影的傾斜角相對(duì)于夏至來說大大減小，會(huì)進(jìn)一步加劇影子的彌散，使半影帶在圭面上變得更寬，測(cè)量的相對(duì)誤差精度不但不會(huì)維持在短影的水平，相反會(huì)降得更低。例如在北京，太陽冬至投射角約為26.5°，夏至為73.5°，取二者余弦的倒數(shù)之比，可知圭面上冬至半影的彌散度是夏至半影彌散度的3.2倍。據(jù)筆者對(duì)北京古觀象臺(tái)復(fù)原的郭守敬八尺銅圭表的多年觀察，冬至前后，中午投射在圭面上的表影非常模糊，從正上方拍得的照片看，影緣若有若無，很難確定其位置，而夏至的表影則要清晰得多。后世長圭的圭表除了用于冬至測(cè)影外，當(dāng)然還可以測(cè)量各節(jié)氣的日影長度，這是非常必要的，但就利用圭表專門測(cè)量冬至影長求回歸年這一點(diǎn)來說，這種技術(shù)“改進(jìn)”實(shí)際上是一種倒退。

鑒于這種測(cè)冬至影長的傳統(tǒng)，直到元代以前，圭表測(cè)影的精度一直很低，直到郭守敬發(fā)明景符后，利用針孔成像原理獲得清晰的影端，測(cè)影長的精確度才明顯提高。北京古觀象臺(tái)在1985～1986年，利用復(fù)原的郭守敬八尺銅表，加上景符進(jìn)行不間斷的仿古模擬觀測(cè)，測(cè)得夏至前后影長誤差值為0.1～0.2厘米，冬至前后誤差為0.4～0.7厘米。［9］這也證明了我們上文的分析:使用景符，冬至日半影模糊帶成比例增加的難題被克服了，但不同投射角造成的彌散度問題依然存在，因?yàn)楣缑嫔隙涟胗暗膹浬⒍仁窍闹涟胗皬浬⒍鹊?.2倍，所以才有仿古模擬測(cè)影的上述冬、夏至誤差值的差別。

據(jù)郭盛熾等人利用元代高表加景符的模擬觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)其誤差平均也在0.47厘米左右，［10］與北京古觀象臺(tái)的模擬測(cè)影精度相仿，看來使用景符可以獲得一個(gè)較高、較穩(wěn)定的絕對(duì)精度，但不知古人是否意識(shí)到，即使采用景符，測(cè)量冬至影長的誤差仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于測(cè)夏至?xí)r的誤差。

在有可以實(shí)際測(cè)量的圭表以前，年長的數(shù)據(jù)精度非常之低，《尚書·堯典》中提到一年的長度為“期三百有六旬有六日”，［11］這不僅是舉成數(shù)，也是測(cè)的不準(zhǔn)，日下余分是未定之?dāng)?shù)(［6］，90頁)，等于只準(zhǔn)確到“天”。由于圭表的觀測(cè)目的是求出冬至?xí)r刻，進(jìn)而求出回歸年長，前者難以達(dá)到較高精度，因?yàn)槎敛灰欢ㄇ『迷谡?，即使發(fā)生在正午前后，也不易判定其細(xì)小的偏差，但古人掌握了用多年測(cè)量求平均數(shù)的辦法來改進(jìn)年長數(shù)值，以求達(dá)到較高精度〔劉宋時(shí)代何承天曾“立八尺之表，連測(cè)十余年”(［2］，1083頁)〕?！八姆謿v”的回歸年長為365日，精度相對(duì)提高了很多，應(yīng)是由圭表多年連續(xù)觀測(cè)獲得。東漢劉洪的《乾象歷》，取年長為365日，更接近了我們現(xiàn)在知道的回歸年長度。以后各朝一直到元明，回歸年長的精度逐漸在提高，但比起同時(shí)代算術(shù)的發(fā)展水平和計(jì)算精度，仍然是很低的。至于測(cè)冬至的時(shí)刻，精度則一直很低，南朝宋何承天測(cè)冬至的誤差在50刻左右，隨后祖沖之采用在冬至前后若干天測(cè)影長，再用比例歸算的科學(xué)方法，測(cè)冬至的誤差仍有20刻，宋代誤差為10刻，元代郭守敬發(fā)明高表、景符，才使冬至測(cè)定的誤差降到1 刻。［12］

東漢四分歷中對(duì)五星會(huì)合周期的測(cè)定，木星誤差為55分，土星47分，水星6分，火星則達(dá)到581分，數(shù)據(jù)內(nèi)部這么大的差別，已經(jīng)失去了統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。到中古時(shí)代，五星恒星周期的測(cè)定誤差比較穩(wěn)定，也僅是在1刻上下。(［12］，398～399頁)

渾儀是按照渾天說宇宙體系，將地平、子午、赤道、黃道、四游等圈環(huán)嵌套組成的“法象為器”式的天文儀器，觀測(cè)者通過照準(zhǔn)天體，可以利用環(huán)圈上的刻度來測(cè)量天體的坐標(biāo)位置。在讀數(shù)上，清以前渾儀的精度一直處在一個(gè)很低的水平。唐和唐以前的儀器都以“度”為最小單位，觀測(cè)時(shí)僅可精確到半度，［13］北宋期間才出現(xiàn)了度以下的單位“少”(1/4度)、“半”(1/2 度)、“太”(3/4度)，［14］元代郭守敬的簡(jiǎn)儀，刻度刻到 1/10 度，可以估量到1/20度。(［14］，86頁)由此可見，大多數(shù)朝代，還是停留在“一度少弱，一度少強(qiáng)”的水平上，據(jù)研究，宋及宋以前的儀器觀測(cè)精度在某種意義上甚至不如目視直接估測(cè)的精度。［15］

古代已經(jīng)有人意識(shí)到了儀器的測(cè)量誤差問題，明代禮部尚書范謙曾說:“歷家以周天三百六十五度四分度之一，紀(jì)七政之行，又析度為百分，分為百秒，可謂密矣。然渾象之體，徑僅數(shù)尺，布周天度，每度不及指許，安所置分秒哉?至于臬表之樹，不過數(shù)尺，刻漏之籌，不越數(shù)寸，以天之高且廣也，而以尺寸之物求之，欲其纖微不爽，不亦難乎?”(［2］，1468頁)表明當(dāng)時(shí)人對(duì)儀器測(cè)量精度的懷疑?？上]有人把它與天體運(yùn)行模型，以及計(jì)算程序的精度聯(lián)系起來考慮。

至于漏刻測(cè)時(shí)，誤差也很可觀。漢代漏刻至少有1/3刻的誤差，到元代《授時(shí)歷》才提高到1/20刻。(［12］，205～210頁)時(shí)間的測(cè)量是“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的事，其誤差對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)、計(jì)算結(jié)果都會(huì)有重要甚至層層放大的影響。陳美東曾指出:漏壺測(cè)時(shí)如果差一刻，那么測(cè)量太陽行度的誤差就會(huì)有3.6度。(［12］，90頁)現(xiàn)代誤差理論證明，起始數(shù)據(jù)冬至?xí)r間的測(cè)定誤差如果是一刻，那么無論用什么精密方法進(jìn)行的歷法推算，其預(yù)報(bào)結(jié)果的平均精度也不會(huì)比一刻更高。

而且，今人研究有時(shí)得出的古人觀測(cè)精度也是虛假的。如唐梁令瓚在公元732年測(cè)的黃赤交角為24度，只精確到“度”，但被今人換算成現(xiàn)代度數(shù)，就成了23°39'57″，仿佛精確到了秒，然后與現(xiàn)代推算的當(dāng)時(shí)黃赤交角理論值23°36'20″比，只差3'30″，于是虛假的精度就出來了。(［12］，99頁)其實(shí)“24度”這值說明其精度不會(huì)好于1/2古度。

《后漢書·律歷志》引《石氏星經(jīng)》的話，提到黃道軌“去極百一十五度”，這也不過是個(gè)精確“度”的值，但經(jīng)今人手里點(diǎn)化:一個(gè)象限弧為365度÷4=91度，115度 -91度=23度，化成小數(shù)，就成了23.6875度，［16］“去極百一十五度”成了精確到小數(shù)點(diǎn)后4位的數(shù)。實(shí)際上古代是到唐中葉才有十進(jìn)小數(shù)的(以前只是偶見用十進(jìn)制度量衡單位表示的類似小數(shù)的數(shù)目)，古人很可能以為他們那“去極百一十五度”是完全精確的，不知什么是“精確度”，更談不上精確到“小數(shù)點(diǎn)后4位”。

古人的歷法活動(dòng)被后人贊為“先以密測(cè)”，“繼以數(shù)推”。(［12］，30頁)模型精度是與觀測(cè)精度緊密關(guān)聯(lián)的，沒有精密的觀測(cè)結(jié)果，就沒有建立精確模型的基礎(chǔ)，也發(fā)現(xiàn)不了舊有模型的偏差。中國描述天體運(yùn)行的模型是“代數(shù)體系”——這個(gè)所謂“代數(shù)”，實(shí)際方法是根據(jù)一定間隔的天文觀測(cè)，將觀測(cè)數(shù)據(jù)列表，在了解了天體的運(yùn)行周期和盈縮后，據(jù)此輔之以內(nèi)插等代數(shù)方法來預(yù)測(cè)天體的位置，其模型多是直接來自觀測(cè)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)外推，只考慮視運(yùn)動(dòng)，并不究其幾何關(guān)系。何況，較低的后續(xù)觀測(cè)精度至多也只是改良一下過去的方法而已，難以發(fā)現(xiàn)舊模型的問題，因此這樣的“繼以數(shù)推”就大為可疑了。由于中國古典數(shù)學(xué)體系的非邏輯思維特性(主要通過直覺、想象、類比、靈感等思維方式解決數(shù)學(xué)問題)，影響到歷法模型上，就少有改進(jìn)和證偽的潛力，雖然有一次、二次內(nèi)插法等創(chuàng)造，但總的來說，古人更重視推算的準(zhǔn)確性而非天文模型的合理性，不重視對(duì)對(duì)象的解釋，結(jié)果嚴(yán)重影響了模型的精度。比如，用“寫子換母”方法修改數(shù)據(jù)，定好上元再確定一些天文周期，這都會(huì)嚴(yán)重影響對(duì)天文模型的思考，也會(huì)大大降低模型的精確性。

隋代劉焯(公元544～610)首次把太陽的不均勻運(yùn)動(dòng)引入歷法推算，這在歷法史上是一個(gè)創(chuàng)舉，值得高度肯定，因?yàn)檫@樣做會(huì)使歷法的精度大大提高，也為深入了解天體的運(yùn)動(dòng)打下基礎(chǔ)?？墒牵瑒㈧淘O(shè)立的太陽不均勻運(yùn)動(dòng)的模型有些不可思議:冬至?xí)r太陽運(yùn)行最快，然后減慢，又加快，到春分點(diǎn)前的開區(qū)間達(dá)到最快，過了春分點(diǎn)又突然改成最慢，然后又波動(dòng)到了秋分……(圖1)，即便考慮到古人不懂得動(dòng)力學(xué)上加速必須是一個(gè)漸進(jìn)過程這一原理，我們也難以接受這樣大起大落的跳躍式“無級(jí)變速”模型。這種模型不像是觀測(cè)所得，而更像是主觀臆測(cè)，即使是觀測(cè)所得，也說明觀測(cè)精度太低，觀測(cè)者把觀測(cè)的“噪音”、誤差都當(dāng)成真實(shí)的太陽運(yùn)動(dòng)了。且不說它與今天觀測(cè)到的太陽不均勻運(yùn)動(dòng)符合多少，只說這樣一個(gè)丑陋的模型，劉焯還在用他發(fā)明的插值法精確地計(jì)算，結(jié)果只能是南轅北轍，從實(shí)用的角度來說，這種計(jì)算還不如不算。

圖1 劉焯的太陽不均勻運(yùn)動(dòng)模型(引自文獻(xiàn)［17］)

歷代天文觀測(cè)、天體運(yùn)行模型的精度在以很有限的速度提高。與此相比，古人在歷法的計(jì)算過程上一開始就追求高精度，而且越古，這種追求高精度的欲望就越強(qiáng)。唐及唐以前，天文歷算一直使用分?jǐn)?shù)，今天的歷法史家經(jīng)常把這些分?jǐn)?shù)展成小數(shù)，然后把古人追求的精度隨心所欲地定位在小數(shù)點(diǎn)后4位或7位上，實(shí)際上今人這樣做還是低估了古人的理想主義，古人對(duì)天體推算的目標(biāo)很可能是“絕對(duì)精確”，所以才使用分?jǐn)?shù)，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)是實(shí)現(xiàn)這一目地的最好手段——用今天的術(shù)語說，分?jǐn)?shù)的有效數(shù)字是無窮多位，有真正理想的精確度。

問題是，計(jì)算只是歷法制定過程中的一個(gè)手段，它不是目的，計(jì)算的精確度應(yīng)與所給數(shù)據(jù)的精確度相當(dāng)，而算得數(shù)據(jù)的精確度應(yīng)與結(jié)果的實(shí)際需要、或?qū)嶋H能觀測(cè)到的精確度相當(dāng)，否則，其精確度再高也是無效的。古人沒有這些觀念，所以常把他們計(jì)算數(shù)據(jù)的精度搞得與觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度非常不成比例。比如古代歷法中有些數(shù)據(jù)，在計(jì)算中精度高的我們可以把它展到7位數(shù)，而觀測(cè)得來的原始數(shù)據(jù)卻是“加一度少弱，減一度少強(qiáng)”，這樣計(jì)算得到的結(jié)果貌似極為精確，其實(shí)早被不精確的原始數(shù)據(jù)吞沒淡化了，至于后續(xù)的觀測(cè)驗(yàn)證，由于古代漏刻、渾儀的精度都十分有限，這些虛假結(jié)果的精度也很難用儀器“證實(shí)”或“證偽”。

所以說，古人用分?jǐn)?shù)計(jì)算歷法并不是一種單純的求簡(jiǎn)心理(希望有個(gè)簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)，比十進(jìn)小數(shù)省力)，而是有一種對(duì)絕對(duì)精確和完美的追求趨向。這是古人的理想，但是用今天的眼光來看，這實(shí)際是陷入了一個(gè)不注重誤差的“誤區(qū)”。

保存到現(xiàn)在最早的真正傳世歷法(不光歷譜，也包括“七政”的推算)，是明欽天監(jiān)大統(tǒng)歷科編的《大明嘉靖十年歲次辛卯七政躔度》，其中所有的表格中，推算天體位置是宿度只精確到“度”，時(shí)間則精確到“刻”——這是真正可用的推算結(jié)果，至于計(jì)算過程中那么高的精度到此全部抹平了，又回到觀測(cè)時(shí)的“一度少弱，一度少強(qiáng)”水平。明代尚且如此，再古的歷法就更可想而知了。［18］明代禮部尚書范謙對(duì)此曾說:“其差在分秒之間，無可驗(yàn)者，至逾一度，乃可以管窺耳，此所以窮古今之智巧，不能盡其變與?”(［2］，1468頁)

可以拿我們今日的科學(xué)活動(dòng)與古代比較:現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)在誤差和近似理論的指導(dǎo)下，測(cè)量、模型和計(jì)算三者的精度可以在很高的水平上合理匹配。現(xiàn)在，衛(wèi)星導(dǎo)航的時(shí)間準(zhǔn)確度要求在±10納秒之內(nèi)，而原子鐘完全可以做到這一點(diǎn);對(duì)天體軌道的確定需要天文觀測(cè)的精度達(dá)到10-3角秒，現(xiàn)代大型的專業(yè)望遠(yuǎn)鏡也完全可以做到這一點(diǎn)。當(dāng)然，現(xiàn)代的巨型電子計(jì)算機(jī)的運(yùn)算可以達(dá)到極高的精確度，比如可以把圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后超過60萬億位(2011年IBM藍(lán)色基因/P超級(jí)計(jì)算機(jī)計(jì)算結(jié)果)，但天文學(xué)家不可能用這樣的圓周率去進(jìn)行天體軌道的計(jì)算，因?yàn)榫同F(xiàn)有的觀測(cè)、模型精確度來說，圓周率超出小數(shù)點(diǎn)后十幾位的計(jì)算，對(duì)精度的提高已經(jīng)沒有任何幫助了。

到了清代，受西方歷法體系、數(shù)學(xué)思想的沖擊，加上對(duì)過去制定歷法經(jīng)驗(yàn)的積累、對(duì)歷法思想的反思，歷法家們對(duì)歷法誤差問題開始有了比較清晰的認(rèn)識(shí)。比較有代表性的是王錫闡，他曾對(duì)歷法誤差問題做過較為系統(tǒng)的分析，他認(rèn)為導(dǎo)致歷法誤差的主要原因，是制定歷法的基本指導(dǎo)思想的失誤，“當(dāng)時(shí)亦各自謂度越前人，而行之未久，差天已遠(yuǎn)，往往廢不可用，何也?是在創(chuàng)法之人，不能深推理數(shù)，而附和于蓍卦、鐘律以為奇，增損于積年、日法以為定?！?［1］，592頁)

同時(shí)，王錫闡提出誤差分三方面:數(shù)差、法差和理差。其中數(shù)差是在“以人驗(yàn)天”過程中產(chǎn)生的，相當(dāng)于測(cè)量誤差;法差是在歷法推算過程中因數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的，相當(dāng)于計(jì)算誤差;理差是由于對(duì)天體運(yùn)行的固有規(guī)律未能窮究而產(chǎn)生的，相當(dāng)于模型誤差。不過，王錫闡只強(qiáng)調(diào)了測(cè)量誤差，稱“人明于理而不習(xí)于測(cè)”“器精于制而不善于用”“一器而使兩人測(cè)之，所見必殊”“一人而用兩器測(cè)之，所見必殊”“所測(cè)之時(shí)，瞬息必有遲早也”等，對(duì)理差只泛泛說“數(shù)非理也，而因理生數(shù)，即因數(shù)可以悟理”，(［1］，615、593頁)而對(duì)法差基本沒解釋。事實(shí)上，法差，也即推算中的誤差是古代歷法推算中的很關(guān)鍵因素，也一直是被古今學(xué)者在相當(dāng)程度上忽略的因素。當(dāng)代學(xué)者在研究古代歷法時(shí)，曾對(duì)歷代冬至太陽所在宿度的測(cè)算作了詳盡的誤差分析，總結(jié)出了九種可能的誤差，但主要考慮的是觀測(cè)誤差和模型誤差，幾乎沒有考慮計(jì)算方法誤差。(［12］，90～92頁)

3 中歷里理想化而不實(shí)用的高精度問題

由于古人缺乏近似值的科學(xué)概念和對(duì)誤差思想的空缺，對(duì)觀測(cè)精度、模型精度、計(jì)算精度的不統(tǒng)一認(rèn)識(shí)不足，所以在歷法計(jì)算安排上對(duì)高精度的追求經(jīng)常只流于表面和一廂情愿。近、現(xiàn)代學(xué)者們對(duì)古代歷法的研究，對(duì)古人觀測(cè)、模型、參數(shù)制定的精度作了很多有益的探討，證明歷代以來，歷法的精度越來越高，(其綜合成果見文獻(xiàn)［12］，180～184頁)但很少有人從理論上分析歷法計(jì)算過程中的精度、誤差問題。本節(jié)主要以《授時(shí)歷》為案例，以古代其他歷法的部分事例為補(bǔ)充，通過歷法中的某些具體計(jì)算過程來對(duì)此問題作一初步分析。

對(duì)誤差問題的理性思考來源于在計(jì)算過程中對(duì)計(jì)算結(jié)果和原始數(shù)據(jù)比較的深刻認(rèn)識(shí)，按說中國古代歷法推算的“代數(shù)體系”本應(yīng)及時(shí)發(fā)展出對(duì)誤差問題的觀念，但實(shí)際上，直到明末西法傳入以前，古代歷算家一直沒有對(duì)誤差問題有明確認(rèn)識(shí)，包括元代郭守敬的《授時(shí)歷》及其改換名稱后明代沿用的《大統(tǒng)歷》也是如此。日本學(xué)者中山茂曾對(duì)此現(xiàn)象說過一句意味深長的話:《授時(shí)歷》是數(shù)值至上主義。［19］其意思很明了:授時(shí)歷過分依賴數(shù)值方法，不關(guān)心天體的真實(shí)運(yùn)動(dòng)模型，也忽略了可能的觀測(cè)誤差，只沉浸在數(shù)值的精度中。其實(shí)不光《授時(shí)歷》如此，以前的歷法基本都如此。

在實(shí)用計(jì)算中，不掌握近似計(jì)算的規(guī)律會(huì)嚴(yán)重加大計(jì)算量，在手工計(jì)算的時(shí)代此問題尤其突出。對(duì)天體位置的推算，人們總是希望精度越高越好，但是時(shí)刻、天體位置度數(shù)的初始觀測(cè)精度都很低，模型也遠(yuǎn)不能精確反映天體運(yùn)行狀況的條件下，不掌握近似計(jì)算就不止是“事倍功半”了，按筆者模擬推算的經(jīng)驗(yàn)，不考慮近似計(jì)算時(shí)，計(jì)算量會(huì)多10倍甚至幾十倍，而精確度毫無提高。古代的計(jì)算工具是算籌，運(yùn)用算籌計(jì)算的速度很慢，想必很多時(shí)間都耗費(fèi)在無意義的計(jì)算中了。

舉例來看，北宋《儀天歷》中的漏刻計(jì)算冬至后損益差:

將 n=93.7412 代入，得 G2=91.5844。(［12］，195 頁)

其實(shí)只要保留二位小數(shù)=93.74，就可達(dá)到測(cè)得精度91.6，也就是說，沒有必要用精確到4位的小數(shù)作數(shù)據(jù)，n取二位小數(shù)，就可得到精確至0.1度的結(jié)果，而計(jì)算量只有原來的幾十分之一。

我們可以舉一個(gè)普通的計(jì)算過程來說明這個(gè)問題:

例:求測(cè)量數(shù)據(jù)11.66的平方、立方。

查平方表11.662=135.9556;查立方表11.663=1585.242296

如果測(cè)得誤差為0.01，測(cè)得數(shù)據(jù)為11.67，

那么11.672=136.1889;11.673=1589.324463

兩相比較，測(cè)得誤差僅為0.01時(shí)，求出結(jié)果的小數(shù)位就根本無用了。

追求絕對(duì)精確、又不懂誤差原理時(shí)，經(jīng)常會(huì)對(duì)計(jì)算過程中誤差過大的數(shù)值渾然不覺。雖然古人在很早就有了類似“舍入”的計(jì)算記載，［20］但歷法推算時(shí)對(duì)此常常認(rèn)識(shí)不足，如南朝祖沖之在根據(jù)觀測(cè)值計(jì)算冬至?xí)r刻的過程中，對(duì)時(shí)間值的31.86刻，計(jì)算的下一步就成了31刻，取了不足近似值，(［16］，90頁)這樣算出的結(jié)果必然無形中加劇了誤差。

觀測(cè)誤差和模型誤差在一系列的計(jì)算程序中可能會(huì)被傳遞、放大。如果數(shù)據(jù)的初始誤差小、模型合理，某一步運(yùn)算對(duì)后一步的影響較小，隨著計(jì)算的繼續(xù)進(jìn)行，可使結(jié)果偏離真實(shí)位置的時(shí)刻來得較晚或很晚，較長久的計(jì)算結(jié)果仍是合天的。反之，如果初始數(shù)據(jù)誤差本來就突出、模型偏差較明顯，再加上計(jì)算程序中對(duì)誤差過大的步驟渾然不覺(如不合理的舍入等)，一些步驟會(huì)對(duì)后一步的影響加大，會(huì)導(dǎo)致誤差逐步積累，計(jì)算結(jié)果就遠(yuǎn)離了應(yīng)有的答案，不是“先天”就是“后天”了。對(duì)此，曲安京曾一針見血地指出:“古代歷算誤差太高，很多殫思極慮、苦心孤詣的東西，都被淹沒在誤差中，使歷法幾十年一換?！保?1］

《授時(shí)歷》是中國古代歷法的頂峰，下面我們就通過對(duì)《授時(shí)歷》有關(guān)內(nèi)容的分析，看一看在中國古代歷法的頂峰時(shí)期，天文歷法家對(duì)誤差思想和近似計(jì)算認(rèn)識(shí)到了什么程度。

《授時(shí)歷》的確是中國古代最好的一部歷法，清代歷法家梅文鼎曾對(duì)《授時(shí)歷》作出這樣的贊嘆:“《授時(shí)歷》不用積年，一憑實(shí)測(cè)，故自元迄明，承用三四百年無大差，以視漢、晉、唐、宋之屢差屢改，不啻霄壤。故曰:《授時(shí)》集諸家之大成，蓋自西歷以前，未有精于《授時(shí)歷》者也?！保?2］《授時(shí)歷》從元朝至元十八年到至正二十八年(1281～1368)，共用了88年;明代沿用《授時(shí)歷》，改名《大統(tǒng)歷》，從洪武元年(1368)到南明小朝廷1662年，元、明共用382年，是歷代歷法中使用時(shí)間最長的一部。

但是，即使是在這樣一部優(yōu)秀、自覺擯棄了完美主義上元積年觀念的歷法中，對(duì)誤差思想和近似計(jì)算也是相當(dāng)忽視的。試舉幾例來看:

載于《元史·歷志》的《授時(shí)歷》以365.2425日為回歸年，每百年減少0.0001日(明《大統(tǒng)歷》廢棄了歲實(shí)消長，即每百年減少的部分)，以365.2575度為周天(相當(dāng)于恒星年)，以上的精度都是萬分之一日。

而朔望月(朔策)是29.530593日，精度提高成百萬分之一日，交點(diǎn)月(交終)27.212224日，精度也是百萬分之一日，近點(diǎn)月(轉(zhuǎn)終)27.5546日，又降回萬分之一日，精度各不相同。這樣在計(jì)算過程中，實(shí)際上精度高于萬分之一日的部分根本無效，一般情況下僅起到加大計(jì)算量的作用。

對(duì)回歸年的分割更能說明問題。《授時(shí)歷》中一年的節(jié)氣長是這樣確定的:氣策==15.2184375日，精度居然高到千萬分之一日，這是在回歸年(歲實(shí))=365.2425000日的假設(shè)下得出的，而那時(shí)對(duì)回歸年的測(cè)定不可能會(huì)到這樣高的精度，所以節(jié)氣長(氣策)這樣的高精度只有“數(shù)值至上”的意義而沒有實(shí)用意義。

還有，在對(duì)太陽不均勻運(yùn)動(dòng)的校正計(jì)算中，取“縮初盈末限”春正至夏至為93.712025日，冬至至春正為88.909225日，也都比“基本常數(shù)”歲實(shí)的精度毫無必要地高了100倍。

在步日躔具體計(jì)算中有這樣的算式:

每日定行度=四正后每日行度±日差

計(jì)算時(shí)，原有的基數(shù)(行積度)取小數(shù)點(diǎn)后4位，“每日行度”取小數(shù)點(diǎn)后6位，“日差”則取小數(shù)后7位，精度不一，前后差了1000倍，相加時(shí)后者的高精度完全被前面的低精度吞沒。(［22］，656、660 頁)

計(jì)算月行疾遲時(shí)有同樣的問題:

初限損益分=定差0.1111-平差0.000281-立差0.00000325

=0.11081575

三項(xiàng)的精度也差了1000倍，如果第一項(xiàng)稍有誤差，后兩項(xiàng)，尤其是第三項(xiàng)就會(huì)變得毫無意義。(［22］，673頁)

對(duì)于月平行度(每天運(yùn)行的度數(shù))，《授時(shí)歷》取的是13.36875度，比周天度365.2575的精度也高了10倍。在“步交食”的推算中，月平行度取13.36875度，而交終度取363.7934度，正交度又取357.64度，日食陽歷限取6度，精度愈來愈低，如果一個(gè)算式以上幾個(gè)值同時(shí)出現(xiàn)，其結(jié)果只能準(zhǔn)確到“度”，可謂極度的不精確了。(［22］，663頁)

“步五星”中也有類似的問題，如木星動(dòng)態(tài)，“平度”數(shù)據(jù)有精確到小數(shù)點(diǎn)后2位的，有小數(shù)點(diǎn)后5位的，限于篇幅，不再詳細(xì)列舉。(［22］，684頁)

這些事例都說明，在中國傳統(tǒng)歷法中，即使最頂尖水平的歷法家，對(duì)誤差和近似計(jì)算觀念也是混亂的，古代一以貫之的“絕對(duì)精確”觀念仍然占主導(dǎo)地位，否則這么多參差不齊的精確度無法用理性解釋。

最后，我們?cè)倏匆豢粗摹盎∈父顖A術(shù)”問題。

弧矢割圓術(shù)是中國特有的一種球面三角理論，是繼先人的相似勾股術(shù)、沈括會(huì)圓術(shù)后郭守敬的一項(xiàng)杰出創(chuàng)造?；∈父顖A術(shù)在中國傳統(tǒng)歷算上的貢獻(xiàn)和影響，史界早有定論，本文不再贅述，只在這里分析一下使用弧矢割圓術(shù)時(shí)郭守敬在誤差思想上的一些空缺。

郭守敬在推演弧矢割圓術(shù)時(shí)，采用的一周天度數(shù)為365.2575度，周天半徑為60.875度(弧矢割圓術(shù)中，線長度也用“度”)，后者是怎么來的呢?原來，他取圓周率π為3，這樣365.2575÷3=121.7525，原文為“徑121度七十五分少”，將“少”略去，近似為121.75，取其半就成了60.875度。(［2］，1479頁)

在南北朝時(shí)，祖沖之已經(jīng)把圓周率π的值計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后7位，雖然這個(gè)結(jié)果幾乎被后人忘記，但人們?cè)谶M(jìn)行有關(guān)圓周與直徑關(guān)系的運(yùn)算時(shí)還是經(jīng)常使用比3更精確的3.14或3.1416。過去歷法較少使用圓周率，而郭守敬不用則已，一用就用了最粗疏的古率3，這實(shí)在讓我們感到不安，因?yàn)橛?或用3.1416，此一項(xiàng)誤差就達(dá)4.7%。圓周率的有效數(shù)字只有1位時(shí)，其他的數(shù)據(jù)再精確，有效數(shù)字再多，計(jì)算起來也是只增加計(jì)算量，計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)位還是1位。求周天半徑時(shí)，求出的121.7525已經(jīng)偏差很大了，接著又把0.0025略去，只保留兩位，除以2時(shí)又得60.875，保留3位——對(duì)精度的這些設(shè)定，實(shí)在是過于隨心所欲了。

在隨后的演算中，郭守敬又取黃赤大距為24度，與周天半徑為60.875度相比，精度又陡降為“度”，按這不甚準(zhǔn)確的周天半徑和精度極低的黃赤大距推算，如圖2，求出了OK即黃赤大股q=56.0268度，DK即黃赤大勾p=23.8070度。(［2］，1479頁)

而郭守敬實(shí)測(cè)的黃赤大距本為23.90度，如利用此值，同時(shí)求周天半徑時(shí)π取3.1416，經(jīng)計(jì)算可得 q=53.2880度，p=23.2328度，郭守敬的值與之相比，誤差太大。再用他求出的值算黃道各度下赤道度，亦即用勾、股，從弧度求弦、矢，會(huì)導(dǎo)致更大的誤差。

在和白道有關(guān)的常數(shù)中，郭守敬又取黃白交角為6度，精度也降到了“度”。當(dāng)白道降交點(diǎn)與春分點(diǎn)重合時(shí)，得出“半交”(最低點(diǎn))在黃道外6度，在赤道內(nèi)18度——郭守敬甚至不顧實(shí)測(cè)的數(shù)，無意中又把前人“通約”的理想搬到了黃赤、黃白交角上。(［2］，1346頁)

有學(xué)者認(rèn)為，郭守敬弧矢割圓術(shù)中的古率3是“會(huì)圓術(shù)”這個(gè)統(tǒng)一的單位系里獨(dú)特的比率，而不是圓周率，因?yàn)闊o論是弧矢割圓術(shù)，還是更古的會(huì)圓術(shù)，都是近似公式，但其最后結(jié)果與用現(xiàn)代三角學(xué)方法求出的相近，在特殊點(diǎn)甚至與現(xiàn)代值完全相等。［23］那么，是否那些近似公式包含了π的修正值?近似公式抵消了3為“圓周率”的部分誤差?但據(jù)筆者使用部分值驗(yàn)算，使用古率3是次要的，主要是會(huì)圓術(shù)、弧矢割圓術(shù)本身是近似公式，如果用現(xiàn)代三角法算，即使圓周率用3，其結(jié)果的誤差仍小于授時(shí)歷的方法;相反，弧矢割圓術(shù)用更精確的π值時(shí)，得到的值精度更高，可見古率3并沒有起到修正作用。

郭守敬在弧矢割圓術(shù)中圓周率用3，一直為后人詬病。潘鼐也認(rèn)為，授時(shí)歷的誤差不是弧矢割圓術(shù)方法的問題，是黃赤交角、圓周率欠準(zhǔn)確［24］。在處理天體運(yùn)行不均勻的盈縮問題時(shí)，對(duì)周期性變化的數(shù)值，其誤差尚可能抵消，但對(duì)于很多運(yùn)算，誤差是會(huì)積累的，所以這么優(yōu)秀的一部歷法，用了三百余年后，在明末清初終于變得不可收拾，最后讓位于西法。

細(xì)分析《授時(shí)歷》中推算過程的缺憾，都不是“瑕不掩瑜”所能開脫的，本來是孜孜以求精密的天文歷法計(jì)算上居然率意使用3為圓周率，不顧實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)把天體運(yùn)行軌道交角定成“通約”式的理想狀態(tài)，在同一算式中不同項(xiàng)的精度居然相差達(dá)1000倍，都說明歷法制定者在對(duì)算法的認(rèn)識(shí)上有著嚴(yán)重缺陷。

本文僅對(duì)古代歷法在誤差思想方面的空缺作一初步而粗陋的分析，難免掛一漏萬。以往學(xué)者對(duì)歷法的研究，多集中于重建歷法的推算結(jié)構(gòu)，而對(duì)其運(yùn)算過程的誤差、特別是誤差思想重視不夠，甚至在復(fù)原計(jì)算時(shí)也常不考慮誤差和近似結(jié)果，無意中在繼續(xù)重演古人的虛幻精度。重建古人的工作是必要的，但在重建的同時(shí)，利用現(xiàn)代科學(xué)理論為指導(dǎo)，高屋建瓴地了解古人的成就，則更為必要，就誤差分析來說，如果我們?cè)谥亟ü糯徊繗v法的演算結(jié)構(gòu)時(shí)，同時(shí)對(duì)之作比較詳盡的誤差分析，想必我們會(huì)得到許多新的認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)，這應(yīng)引起歷法研究者的關(guān)注。

圖2 弧矢割圓術(shù)的求黃赤道差和內(nèi)外度圖(引自文獻(xiàn)［22］，629頁)

1 薄樹人.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·天文卷［M］.第6冊(cè).鄭州:河南教育出版社，1993.592.

2 薄樹人.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·天文卷［M］.第3冊(cè).鄭州:河南教育出版社，1993.77.

3 孟子［M］∥四部叢刊初編.經(jīng)部.第10冊(cè).卷8.上海:商務(wù)印書館(縮印宋刊本)，1936.68.

4 陳遵媯.中國天文學(xué)史［M］.第3冊(cè).上海:上海人民出版社，1984.1391.

5 曲安京:中國數(shù)理天文學(xué)［M］.北京:科學(xué)出版社，2008.56.

6 高平子.高平子天文歷學(xué)論著選［M］.臺(tái)北:中央研究院數(shù)學(xué)研究所，1987.165.

7 伊世同.元代圭表復(fù)原探索［J］.自然科學(xué)史研究.1984，3(2):128.

8 何清谷.三輔黃圖校釋［M］.北京:中華書局，2005.279.

9 崔石竹，李東生.仿古測(cè)影探索［J］.自然科學(xué)史研究.1987，6(4):335.

10 郭盛熾.元代高表測(cè)景數(shù)據(jù)之精度［J］.自然科學(xué)史研究.1992，11(2):151.

11 尚書［M］∥四部叢刊初編.經(jīng)部.第1冊(cè).卷1.上海:商務(wù)印書館(縮印宋刊本)，1936.7.

12 陳美東.古歷新探［M］.沈陽:遼寧教育出版社，1995.61～64.

13 潘鼐.中國恒星觀測(cè)史［M］.上海:學(xué)林出版社，1989.140.

14 張柏春.明清測(cè)天儀器之歐化［M］.沈陽:遼寧教育出版社，2000.80.

15 王玉民.以尺量天——中國古代目視尺度天象記錄的量化與歸算［M］.濟(jì)南:山東教育出版社.2008.46.

16 中國天文學(xué)史整理研究小組.中國天文學(xué)史［M］.北京:科學(xué)出版社，1981.96.

17 王榮彬.劉焯《皇極歷》插值法的構(gòu)建原理［J］.自然科學(xué)史研究，1994，13(4):295.

18 薄樹人.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·天文卷［M］.第1冊(cè).鄭州:河南教育出版社，1993.709～715.

19 曲安京.一部撰寫了40年的著作終于出版了［M］.中國科技史雜志，2006，27(3):270.

20 李儼，錢寶琮.李儼錢寶琮科學(xué)史全集［M］.第4卷.沈陽:遼寧教育出版社，1998.142.

21 曲安京.中國歷法與數(shù)學(xué)［M］.北京:科學(xué)出版社，2005.178.

22 張培瑜，陳美東，薄樹人，胡鐵珠.中國天文學(xué)史大系·中國古代歷法［M］.北京:中國科學(xué)技術(shù)出版社，2008.615.

23 鄧可卉.授時(shí)歷中的弧矢割圓術(shù)再探［J］.自然科學(xué)史研究，2007，26(2):162.

24 潘鼐，向英.郭守敬［M］.上海:上海人民出版社，1981.156～157.