卜愛(ài)英

（徐州技師學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇徐州 221151）

函數(shù)思想在高等數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

卜愛(ài)英

（徐州技師學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇徐州 221151）

高等數(shù)學(xué)是一種變量數(shù)學(xué)，這種變量數(shù)學(xué)主要體現(xiàn)在對(duì)函數(shù)的教學(xué)上，函數(shù)教學(xué)中又主要體現(xiàn)在函數(shù)思想的應(yīng)用上，如何利用函數(shù)思想解決問(wèn)題是高等數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，利用函數(shù)思想進(jìn)行建模解決常見(jiàn)的一些問(wèn)題，如不等式的證明、近似計(jì)算、方程的解的問(wèn)題、恒等式的證明等。

函數(shù)思想；數(shù)學(xué)建模；單調(diào)性；凹凸性；證明

函數(shù)思想，是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的思想，是數(shù)學(xué)知識(shí)達(dá)到一定境界后的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的體現(xiàn)，在小學(xué)時(shí)期，對(duì)于數(shù)學(xué)，只是了解數(shù)量的大小，及數(shù)量之間的加、減、乘、除等等。小學(xué)后期及中學(xué)就形成了兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)式子、圖形、表格來(lái)研究?jī)蓚€(gè)量之間的關(guān)系和性質(zhì)，高中及大學(xué)以后是對(duì)這種關(guān)系的進(jìn)一步演化，進(jìn)而利用這種關(guān)系來(lái)解決一些問(wèn)題，使數(shù)學(xué)這門工具，達(dá)到它應(yīng)有的作用。所謂函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。所以函數(shù)思想體現(xiàn)了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種解題策略。具體來(lái)說(shuō)，函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題。經(jīng)常利用的性質(zhì)是：?jiǎn)握{(diào)性、凹凸性、連續(xù)性、可微性、奇偶性、周期性、最大值和最小值等性質(zhì)。初等數(shù)學(xué)是一種常量數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)是一種變量數(shù)學(xué)，因此，高等數(shù)學(xué)中利用函數(shù)思想解決問(wèn)題是一種比較重要的常見(jiàn)的方法。下面就高等數(shù)學(xué)中如何利用函數(shù)思想來(lái)構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題的一些方法來(lái)介紹一些，望能對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、利用函數(shù)思想證明一些不等式

不等式的證明是數(shù)學(xué)中一種常見(jiàn)的題型，它的證明方法多種多樣，根據(jù)題目的不同，證法也千差萬(wàn)別，下面我們舉例簡(jiǎn)單說(shuō)明一下。

1.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一。一旦我們弄清了一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，就能刻畫出這個(gè)函數(shù)圖形的基本形狀，以及這個(gè)函數(shù)變化的基本狀況。高中時(shí)判定函數(shù)的單調(diào)性，是利用作差法，高等數(shù)學(xué)中是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定，其判定定理如下：設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)在（a，b）的任一子區(qū)間內(nèi)不恒等于零，則

（1）f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)增加的充分必要條件是f′（x）0；

（2）f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)減少的充分必要條件是f′（x）!0。

例1 證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x＞ln（1＋x）

證明：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝x－ln（1＋x）

所以當(dāng)x＞0時(shí)f（x）是單調(diào)增加的函數(shù)

（4）求端點(diǎn)處函數(shù)值，利用單調(diào)性的性質(zhì)指明不等式成立：

因?yàn)閒（0）＝0，所以當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞f（0）＝0

即x－ln（1＋x）＞0，得當(dāng)x＞0時(shí)，x＞ln（1＋x），不等式成立。

2.利用凹凸性證明不等式

所謂凹凸性是指函數(shù)曲線的彎曲方向，有上凹有下凹，同樣是上升曲線，有可能彎曲方向不同，要想對(duì)函數(shù)曲線描述更精確，不僅要了解函數(shù)的增減性，還要掌握函數(shù)的凹凸性，凹凸性的定義是：

設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，如果對(duì)（a，b）內(nèi)任意兩點(diǎn)x1，x2恒有

凹凸性的判定定理：

若函數(shù)f（x）在［a，b］內(nèi)連續(xù)，在（a，b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，那么

①若在（a，b）內(nèi)f″（x）＞0，則函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的；

②若在（a，b）內(nèi)f″（x）＜0，則函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)是凸的

證明：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝xn

（2）說(shuō)明凹凸性：f′（x）＝nxn－1，f″（x）＝n（n－1）xn－2

在［a，b］內(nèi)，f″（x）＞0，所以函數(shù)f（x）是凹的，

（3）利用凹凸性的定義得出結(jié)論：

3.利用中值定理證明不等式

中值定理所研究的問(wèn)題是：在一定條件下，函數(shù)在端點(diǎn)處的函數(shù)值與它在區(qū)間內(nèi)部某處導(dǎo)數(shù)值之間的關(guān)系，在這些中值定理中，拉格朗日中值定理是最重要的，在微積分學(xué)中起的作用最大。

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）在a，

例3 證明：設(shè)a＞b＞0，n＞1，則nbn－1（a－b）＜an－bn＜nan－1（a－b）

證明：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝xn

（2）說(shuō)明滿足拉格朗日中值定理：函數(shù)f（x）在［b，a］內(nèi)連續(xù)，在（b，a）內(nèi)有可導(dǎo)，

當(dāng)a＞b＞0，n＞1時(shí)，nbn－1＜nξn－1＜nan－1

即nbn－1（a－b）＜f（a）－f（b）＜nan－1（a－b）

即nbn－1（a－b）＜an－bn＜nan－1（a－b）成立。

4.利用求最值的方法證明不等式

例4 證明：當(dāng)－1!x!4時(shí)，－5!2x3－3x2!80

證明：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝2x3－3x2

（2）求導(dǎo)：f′（x）＝6x2－6x

（3）求駐點(diǎn)：令f′（x）＝6x2－6x＝0，得x1＝0，x2＝1

（4）求函數(shù)值：f（－1）＝－5，f（0）＝0，f（1）＝－1，f（4）＝80

（5）比較得最值：最小值為－5，最大值為80。

（6）得結(jié)論：當(dāng)－1≤x≤4時(shí)，－5≤2x3－3x2≤80

二、利用函數(shù)思想進(jìn)行近似計(jì)算

1.一元函數(shù)近似計(jì)算公式：

f（x0＋Δx）≈f（x0）＋f′（x0）Δx，當(dāng)｜Δx｜很小時(shí)

例5 求arctan1.02的近似值

解：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝arctanx

（2）取適當(dāng)?shù)膞0及Δx：x0＝1，Δx＝0.02

（3）利用近似計(jì)算公式計(jì)算：

f（1.02）≈f（1）＋f′（1）×0.02

即：arctan1.02≈0.795

2.二元函數(shù)近似計(jì)算公式：f（x0＋Δx，y0＋Δy）≈f（x0，y0）＋f′x（x0，y0）Δx＋f′y（x0，y0）Δy，當(dāng)｜Δx｜、｜Δy｜很小時(shí)

（2）取適當(dāng)?shù)膞0，y0及Δx，Δy：

x0＝2，Δx＝0.02，y0＝2，Δy＝－0.03

（3）利用近似計(jì)算公式計(jì)算：

三、利用函數(shù)思想證明方程的解的存在性或唯一性

證明方程解的存在性或唯一性要說(shuō)明三點(diǎn)：

①連續(xù)②異號(hào)③單調(diào)

例7 證明：方程x3＋x＝1在區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一實(shí)根。

證明：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝x3＋x－1

（2）說(shuō)明函數(shù)滿足三個(gè)性質(zhì)：

①顯然函數(shù)f（x）在0，

［1］內(nèi)連續(xù)；

②f（0）＝－1＜0，f（1）＝1＞0，異號(hào)；

③f′（x）＝3x2＋1＞0，則f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)增加。

（3）由根的存在定理得結(jié)論：

存在唯一一點(diǎn)ξ∈（0，1）有f（ξ）＝0，

即方程x3＋x＝1在區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一實(shí)根。

四、利用函數(shù)思想證明恒等式

例8 證明：arcsinx＋arccosx＝π2，x∈（－1，1）證明：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝arcsinx＋arccosx

所以f′（x）在（－1，1）上恒為零，

由定理知f（x）在（－1，1）上恒為常數(shù)，

綜上所述，函數(shù)思想是一種比較重要的思想，函數(shù)思想方法的應(yīng)用就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系式，從而使問(wèn)題獲得解決。因此，在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想解決問(wèn)題的關(guān)鍵。函數(shù)思想來(lái)源于日常生活，又要服務(wù)于日常生活。因此，對(duì)于函數(shù)的學(xué)習(xí)，應(yīng)該把體會(huì)、感受和運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，可以經(jīng)常在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的重要性，做到學(xué)以致用。

G420

A

1671-8275（2012）01-0134-02

2011-10-24

卜愛(ài)英（1969-），女，江蘇徐州人，徐州技師學(xué)院基礎(chǔ)部講師。

華 東