曹 琳，趙 輝，喻高明（長江大學石油工程學院，湖北 荊州434023）

基于蒙特卡洛梯度逼近方法的油藏開發(fā)生產優(yōu)化

曹 琳，趙 輝，喻高明（長江大學石油工程學院，湖北 荊州434023）

油藏動態(tài)實時生產優(yōu)化常采用伴隨法求解梯度，但計算過程異常復雜，很難得到廣泛應用。首次將蒙特卡洛梯度逼近（MCGA）方法引入到油藏生產優(yōu)化中，該方法計算簡單、求解過程不受模擬器的限制，且所得梯度的期望值為目標函數的真實梯度。結合油藏數值模擬技術，在歷史擬合基礎上應用該方法對某油田單元進行了油水井生產參數（產液速度和注入速度）的優(yōu)化，結果顯示：優(yōu)化后的生產調控制度有效地改善了水驅開發(fā)效果，相比優(yōu)化前累產油增幅達60%以上，達到了降水增油的目的。

蒙特卡洛法；梯度逼近法；生產優(yōu)化；最優(yōu)控制；數值模擬

油藏動態(tài)實時生產優(yōu)化（Real－time production optimization）［1～3］是目前油氣田開發(fā)工程領域的研究熱點，它也是智能油田研究的核心內容之一。開展該技術的研究對于降低油藏開發(fā)的不確定性和風險性因素，提高油藏經營管理水平和減小油氣開采成本都具有重要理論和應用價值。目前，求解油藏生產優(yōu)化的核心問題是如何計算目標函數的梯度。由于油藏的動態(tài)體系是非常復雜的，要計算解析梯度極為困難。最常用的方法就是采用伴隨方法（Adjoint Method）［4，5］進行梯度求解，但是該方法需要編寫伴隨矩陣嵌入油藏數值模擬計算中，求解過程異常復雜；由于受到模擬器的限制，該方法難以在實際油田開發(fā)中得到廣泛應用。

Patelli等［6］于2009年提出了一種蒙特卡洛梯度逼近方法（MCGA法），該方法通過生成并計算多個隨機控制向量實現的目標函數值來估計原問題的梯度。由于該方法僅需要計算目標函數，因此，易于和各種商業(yè)模擬器相結合進行實際生產優(yōu)化問題的求解，且該方法計算所得梯度的期望值為真實梯度，因而保證了算法的收斂性。筆者在充分分析MCGA方法的基礎上，結合油藏數值模擬技術對某油田單元開展了油藏生產參數優(yōu)化，取得了較好的應用效果。

1 油藏生產性能指標函數

研究油藏開發(fā)生產優(yōu)化問題，需要針對實際情況提出最優(yōu)控制的性能指標。根據國內外研究，這里采用如下性能指標函數來評價油田開發(fā)效果，其表達式為：

式中，F為性能指標函數，主要通過油藏模擬器計算獲得，表征了開發(fā)期內經濟凈現值（NPV），元；y為狀態(tài)變量，表征了流體的狀態(tài)分布；u為Nu維控制變量，主要包含了油水井在各個控制時間上的注采參數（如注水量、井底壓力等）；N為總生產控制時間步；Co為原油銷售價格，元/m3；Cw為產水成本價格，元/m3；Cwi為注水成本價格，元/m3為n時刻區(qū)塊產油速度，m3/d；為n時刻區(qū)塊產水速度，m3/d；為n時刻區(qū)塊注水速度，m3/d；a為平均年利率，%；Δtn為n時刻模擬計算時間步，d；tn為n時刻累積計算時間，d。

油藏生產優(yōu)化就是以當前地下流體的狀態(tài)分布y為基礎，求取性能指標F的最大值及相應的最優(yōu)控制參數u。根據實際條件，油水井的生產要受到工作能力及設備的限制，即控制變量要滿足一定的約束，文中僅考慮最簡單的上下邊界約束來對指標函數F進行優(yōu)化。根據最優(yōu)化原理［7］，求解油藏生產優(yōu)化的關鍵是如何計算性能指標F對于控制變量u的梯度。鑒于伴隨方法求解梯度過于復雜的局限性，下面將采取MCGA法對梯度進行估計，并通過迭代的方法來優(yōu)化F。

2 MCGA優(yōu)化方法

MCGA方法的基本思想是：首先利用蒙特卡洛法在當前最優(yōu)變量周圍生成若干個隨機變量的實現，然后分別求取各變量實現所對應的目標函數值，最后利用各實現及其目標函數值來估計目標函數的梯度。

對于油藏生產優(yōu)化，設第k個迭代步獲得的最優(yōu)控制變量為uk，其對應的性能指標函數為F（uk，y）。根據MCGA方法原理，首先在uk周圍生成Nr個控制變量，其表達式為：

式中，uk，j表示第j個控制變量實現；γ為擾動常數；rj為第j個擾動向量，其中的分量一般為符合標準正態(tài)分布的變量，即。

將各實現uk，j代入油藏模擬器中，經過計算可求得各自對應的性能指標F（uk，j，y）。設bj為F（uk，j，y）與當前最優(yōu)性能指標F（uk，y）的差值，即：

對于指標函數F（uk，y）在uk處的梯度估計，其第i個分量應用MCGA法進行計算為：

考慮對F（uk，j，y）在uk進行一階泰勒展開，由于γ的值通常比較小，則有：

式中，g（uk）為F（uk，y）在uk處的真實梯度。將該式代入式（3）中，則bj變?yōu)椋?/p>

式中，gl（uk）表示真實梯度第l個分量（l＝1，2，…，Nu）。將式（6）代入式（4）所示的表達式中，有：

對式（7）兩邊取期望值可得：

由于rj中的分量為符合標準正態(tài)分布的隨機變量，則其滿足以下條件：

式中，uk＋1為迭代更新后的控制變量；表示的無窮范數；α為搜索步長。在優(yōu)化過程中，步長α采取簡單的不精確線搜索方法來確定，如果當前步的目標函數沒有嚴格增加時，α將減半，直至使目標函數增大為止。

3 計算實例

基于前述MCGA方法，這里對某油田單元進行了油藏生產優(yōu)化計算。該單元含油面積0.64km2，地質儲量85.0×104t，油藏中部深度3750m，油層平均有效厚度22.2m，地下原油粘度60.5mPa·s，油層平均滲透率725.5×10－3μm2，原始地層壓力21.6MPa，平均孔隙度34.2%。單元內共投產油井6口、水井2口，目前正常生產油井4口，水井2口。單元累計產油28.3×104m3、累計注水8.242×104m3，含水率88.6%。所建該單元的油藏數值模型如圖1所示。模型共劃分23×14×16＝5152個網格，X方向步長30m，Y方向步長30m，縱向上共劃分2個砂層組，細分為16個小層。

在進行油藏生產優(yōu)化前，首先對該單元進行了油藏模擬歷史擬合，圖2顯示了該單元含水率和累積產油的擬合結果。通過擬合修正該單元各項動態(tài)指標，整體擬合效果理想，更新后的油藏數值模型能較好地反映地下的實際情況。

根據目前油藏流體的分布情況和油藏井網，對該單元生產井的產液量和注水井的注入量進行了生產優(yōu)化。優(yōu)化前每口油井的初始產液量和注水井的注入量均按照當前工作制度生產，該次優(yōu)化僅考慮邊界約束，油井產液量和水井注入量下邊界均為0m3/d，上邊界均為120m3/d。原油的價格為3000元/m3，處理產出水的費用為110元/m3，注入水的費用為0元/m3，年利率為0.1。每60d為一個控制時間步，總計60個時間步，因此總優(yōu)化時間為3600d，共有360個控制變量。

利用MCGA方法進行優(yōu)化時，相應的計算參數設置為：Nr＝15、γ＝0.1、α＝20.0。從圖3可以看出，整個優(yōu)化過程經過102次迭代計算收斂，經濟凈現值獲得大幅度增加。圖4反映了優(yōu)化前后單元部分開發(fā)指標的變化情況。由圖4可知，考慮優(yōu)化時間（3600d）內的累計產油變化，經過計算其優(yōu)化后累計產油為1.8×104m3，相比優(yōu)化前增加了63.6%，而優(yōu)化后的含水率在整個生產期時間內均低于優(yōu)化前的計算結果。另外，從第3小層優(yōu)化前后剩余油分布（圖5）來看，優(yōu)化后油藏的水驅波及效率也得到了較好的改善。顯然，應用該文方法通過對該油藏實施優(yōu)化控制，起到了降水增油、提高經濟效益的效果。

圖1 油藏三維地質模型

圖2 區(qū)塊含水率及累計產油擬合結果

圖3 優(yōu)化過程中的凈現值

圖4 優(yōu)化前后部分開發(fā)指標對比

圖5 優(yōu)化前后第3小油層剩余分布圖

經過優(yōu)化后的最終調控方案如圖6所示。圖中，橫坐標表示為控制時間步序列，縱坐標所示為油井或水井；顏色的變化反映了不同時間步內注采參數的變化?？梢钥闯觯琘87－20井優(yōu)化后趨向于較高的采液速度生產，而其他井則主要保持在較低的生產或注入速度，如Y87－26井和Y87－43井。通過對不同時間段內生產制度的調控，盡量抑制油井水的產出，增大原油產量，最終提高開發(fā)效益。

圖6 計算所得最優(yōu)生產調控圖

4 結 論

1）基于MCGA法計算所得梯度的期望值為真實梯度，可以用于油藏生產優(yōu)化控制變量梯度的估計。

2）MCGA方法能夠方便地和任意油藏模擬器相結合，進行實際生產優(yōu)化問題的求解，避免了采用伴隨法求解遞度過于復雜的局限性。

3）應用MCGA法進行實例計算，優(yōu)化所得的最優(yōu)控制方案有效提高了油藏波及系數、增加了經濟開發(fā)效益，進一步驗證了進行油藏實時優(yōu)化控制的必要性和可行性。

［1］Saputelli L，Nikolaou M，Economides M J.Real－time reservoir management：a multi－scale adaptive optimization and control approach［J］.Computational Geosciences，2005，10（1）：61～96.

［2］Jansen J，Douma S，Brouwer D，et al.Closed－loop reservoir management［J］.SPE119098，2009.

［3］張凱，李陽，姚軍，等.油藏生產優(yōu)化理論研究［J］.石油學報，2010，31（1）：78～83.

［4］Sarma P，Durlofsky L，Aziz K.Implementation of adjoint solution for optimal control of smart wells［J］.SPE92864，2005.

［5］Brouwer D，Jansen J.Dynamic optimization of waterflooding with smart wells using optimal control theory［J］.SPEJ，2004，9（4）：391～402.

［6］Patelli E，Pradlwarter H J.Monte Carlo gradient estimation in high dimensions［J］.Int J Numer Math Engng，2010，81：172～188.

［7］袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法［M］.北京：科學出版社，1999.

Reservoir Production Optimization Based on Monte Carlo Gradient Algorithm Method

CAO Lin，ZHAO Hui，YU Gao－ming（First Author's Address：College of Petroleum Engineering，Yangtze University，Jingzhou434023，Hubei，China）

The adjoint－based methods were mainly used for gradient calculation in reservoir real－time production optimization.But its calculation process was complicated，it was difficult for widely using it.The Monte Carlo Gradient Algorithm（MCGA）was firstly introduced into reservoir production optimization.The MCGA was fairly simple，the solution process was not restricted by reservoir simulator and the expected value of estimated gradient was the true gradient of the objective function.In combination with numerical simulation technology，the MCGA algorithm is applied for optimizing the production parameters of oil－gas wells（i.e.，liquid production rate of producers and injection rate of injectors）in a unit of an oilfield based on history match.The results indicates that the optimal control strategies significantly improve the effect of waterflooding development with cumulative oil production increase of 60%after optimization，which achieves the goal of increasing oil production with water inhibition.

Monte Carlo；gradient algorithm；production optimization；optimal control；numerical simulation

TE323

A

1000－9752（2012）06－0132－05

2011－11－25

國家自然科學基金項目（61004095F030202）。

曹琳（1983－），女，2006年大學畢業(yè)，碩士，助教，現從事油氣田開發(fā)方面的研究工作。

［編輯］ 蕭 雨