李蘇陽(yáng)，全厚德，崔佩璋

（軍械工程學(xué)院，河北 石家莊 050003）

0 引 言

在擴(kuò)展頻譜技術(shù)中，具有偽隨機(jī)特性的序列往往用于生成隨機(jī)跳變的調(diào)制信號(hào)相位（DS）或者載波頻率（FH），將給定信號(hào)的頻譜擴(kuò)展至占用很寬的頻帶。在越來(lái)越多的場(chǎng)合如信道帶寬受限時(shí)，擴(kuò)頻映射編碼具有很高的應(yīng)用價(jià)值。美國(guó)的聯(lián)合戰(zhàn)術(shù)情報(bào)分發(fā)系統(tǒng)（JTIDS）就采用擴(kuò)頻映射編碼技術(shù)[1]，經(jīng)編碼后，偽隨機(jī)序列用于代表消息符號(hào)。其相關(guān)特性對(duì)于擴(kuò)頻系統(tǒng)具有重要的意義，這使得碼型選擇顯得尤為重要。為了尋求適合擴(kuò)頻編碼映射的偽隨機(jī)序列，本文介紹了平衡Gold序列、循環(huán)移位m序列和移位正交m序列，并對(duì)其相關(guān)特性進(jìn)行了分析。研究三者作為擴(kuò)頻碼時(shí)的最小碼距及其對(duì)糾錯(cuò)性能的影響，指出碼長(zhǎng)、攜帶信息數(shù)和抗干擾能力的關(guān)系。

1 幾種偽隨機(jī)序列

1.1 m序列

m序列是最常用的一種偽隨機(jī)序列[2]。用于產(chǎn)生m序列的n級(jí)線(xiàn)性移位寄存器結(jié)構(gòu)由GF（2）上的n次多項(xiàng)式給出

當(dāng)f（x）為本原多項(xiàng)式，移位寄存器所產(chǎn)生的非零序列即為m序列。n階移位寄存器生成的m序列的周期為N=2n-1。本文主要介紹相關(guān)特性。若m序列是（+1，-1）的二值序列，其歸一化自相關(guān)函數(shù)為

由式（2）可知，隨著m序列長(zhǎng)度N的增大，-1/N越接近于0。自相關(guān)函數(shù)越接近于δ函數(shù)，m序列和白噪聲的相關(guān)特性越相似。

圖1 N=31的m序列的自相關(guān)特性

N=31的m序列的自相關(guān)特征見(jiàn)圖1，可以看出尖銳的自相關(guān)峰值很容易區(qū)分m序列與其時(shí)間偏移序列（移位序列）。

1.2 循環(huán)移位m序列

利用m序列優(yōu)良的自相關(guān)特性，構(gòu)造一類(lèi)序列集合[3]。通過(guò)碼長(zhǎng)為N的m序列在一個(gè)周期內(nèi)每次循環(huán)移位C個(gè)碼片構(gòu)成一個(gè)移位m序列集，集合內(nèi)序列數(shù)目小于N/C的最大整數(shù)。以碼長(zhǎng)N=63的某一m序列

為例，取C=3，構(gòu)造的序列集為

其中：

即m序列在一個(gè)周期內(nèi)每次循環(huán)移位3個(gè)chip構(gòu)成一個(gè)新碼集，其中序列數(shù)為N/C。

1.3 移位正交m序列

當(dāng)相位偏移量k=0時(shí)，序列集合中各碼字兩兩之間的互相關(guān)值為0，故稱(chēng)之為移位正交m序列。N=63的移位正交m序列的自相關(guān)特性如圖2所示?？梢钥闯?，移位正交m序列具有尖銳的自相關(guān)特性，在相移量k=0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)值達(dá)到最大。

圖2 N=63的正交移位m序列的自相關(guān)特性

1.4 Gold和平衡Gold序列

Gold序列是m序列的復(fù)合碼，它由兩個(gè)碼長(zhǎng)、碼率都相同的m序列優(yōu)選對(duì)模2的和組成。Gold序列具有較好的自相關(guān)和互相關(guān)特性，但是其周期自相關(guān)函數(shù)在非零點(diǎn)也是三值的，這一點(diǎn)不如m序列。Gold序列的相關(guān)特性見(jiàn)圖3。

Gold序列族中的非平衡序列，將產(chǎn)生明顯的直流分量，導(dǎo)致頻譜圖中載波處存在很大峰值，存在載波泄露問(wèn)題。平衡Gold序列[4]指的是碼字中‘1’的個(gè)數(shù)比‘0’的個(gè)數(shù)多1的Gold序列。寄存器階數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，Gold序列族中平衡序列約占50%；n為偶數(shù)時(shí)占75%，n為4的倍數(shù)時(shí)不存在三值性，也就不存在Gold序列[5]。

2 擴(kuò)頻映射編碼原理

在擴(kuò)頻映射編碼中，偽隨機(jī)序列用于代表消息符號(hào)，調(diào)制后直接發(fā)送，基本原理如圖4所示。擴(kuò)頻映射碼集由M個(gè)長(zhǎng)為N的碼字PNj，j=1，2…，M組成，這些偽隨機(jī)碼相互正交，分別對(duì)應(yīng)k位信息碼的M個(gè)狀態(tài)。每個(gè)碼字傳輸k=log2M個(gè)比特信息。在信息速率一定的情況下，采用擴(kuò)頻編碼后的系統(tǒng)帶寬僅為傳統(tǒng)擴(kuò)頻系統(tǒng)的1/k。實(shí)際上，擴(kuò)頻映射編碼是一種（N，k）分組編碼[6]，其為系統(tǒng)帶來(lái)擴(kuò)頻增益的同時(shí)，又帶來(lái)了編碼增益；因此，在一定的條件下如帶寬受限時(shí)，采用擴(kuò)頻映射編碼可以?xún)?yōu)化誤比特性能。

圖3 Gold序列的相關(guān)特性

圖4 擴(kuò)頻映射編碼原理圖

2.1 差錯(cuò)概率分析

通常偽隨機(jī)序列不是嚴(yán)格正交，不滿(mǎn)足式（11）所示。但是如果其具有良好的相關(guān)性能，可以近似認(rèn)為它們具有正交性或準(zhǔn)正交性[7]。設(shè)M個(gè)擴(kuò)頻碼PN1（t），PN2（t），…，PNM（t）具有良好的相關(guān)特性

當(dāng)前發(fā)送端根據(jù)信息數(shù)據(jù)d（t）從M個(gè)擴(kuò)頻碼中選擇了偽隨機(jī)碼PNj（t）進(jìn)行擴(kuò)頻映射。經(jīng)BPSK調(diào)制后的發(fā)射信號(hào)為

由于信道中的高斯白噪聲干擾，接收端的接收信號(hào)為

式中：n（t）——具有0均值、雙邊功率譜密度為N0/2的高斯白噪聲。

rj（t）經(jīng)載波解調(diào)后分別送入M個(gè)使用不同偽隨機(jī)碼的解擴(kuò)相關(guān)積分器。本地相關(guān)器中的解擴(kuò)信號(hào)為

設(shè)當(dāng)前收發(fā)雙方已取得同步，第i條支路的輸出為

i=j時(shí)，前一項(xiàng)服從廣義瑞利分布；不相關(guān)時(shí)，服從瑞利分布，概率密度函數(shù)分別是

由式（11），得

接收方選定最大相關(guān)輸出的支路，該支路的本地?cái)U(kuò)頻碼為當(dāng)前時(shí)刻的擴(kuò)頻碼。第j條支路檢測(cè)正確的概率為

若n（t）是0均值，雙邊帶功率譜密度為N0/2的高斯白噪聲，則fi（t）正確解調(diào)概率為

則系統(tǒng)誤碼率為

T為PNj（t）的自相關(guān)峰值，則誤比特率為

由式（15）、式（20）及式（23）可以看出，偽隨機(jī)序列的相關(guān)特性對(duì)于誤比特率具有重要的意義。

2.2 編碼分析

軟擴(kuò)頻實(shí)質(zhì)上是一種（N，k）的分組編碼，其糾錯(cuò)能力直接與構(gòu)造的碼集的最小碼距d0有關(guān)[8]。二進(jìn)制（N，k）分組碼中共有2N個(gè)可能的比特組合，每一個(gè)對(duì)應(yīng)碼空間中的一個(gè)點(diǎn)。其中2k個(gè)組合對(duì)應(yīng)著真實(shí)碼字，碼字間的最小距離為d0。其他比特組合位于真實(shí)碼字周?chē)男Ｕ騼?nèi)。校正球的半徑為（d0-1）/2，接收碼型只要位于真實(shí)碼字的校正球內(nèi)就可以糾正錯(cuò)誤。這種碼型可以糾正（d0-1）/2個(gè)錯(cuò)誤。經(jīng)計(jì)算，上述3種碼型的最小碼距如表1所示。

表1 幾種偽隨機(jī)碼集的最小碼距

可見(jiàn)移位正交m序列集和循環(huán)移位m序列集具有同樣的最小碼距d0，略?xún)?yōu)于平衡Gold序列集。

由此可以推斷：在相同信噪比條件下，移位正交m序列集和循環(huán)移位m序列集作為擴(kuò)頻碼時(shí)，系統(tǒng)誤碼率基本相同，而平衡Gold序列集的誤碼率較高。

3 仿真分析

為進(jìn)一步研究以上3種序列的糾錯(cuò)性能，建立擴(kuò)頻映射編碼系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。數(shù)據(jù)信息經(jīng)串并變換，每k bit映射為一條N長(zhǎng)的序列。經(jīng)過(guò)BPSK調(diào)制后進(jìn)入AWGN信道。接收信號(hào)與多路的偽隨機(jī)序列相關(guān)運(yùn)算。取最大相關(guān)支路的偽隨機(jī)序列進(jìn)行解擴(kuò)譯碼，恢復(fù)k bit信息。最后與源數(shù)據(jù)對(duì)比，統(tǒng)計(jì)誤碼率pb。信噪比為ec/n0dB，ec是序列中單個(gè)碼片的能量。

圖5是N=7（移位正交m序列N=8），k=2和N=31（移位正交m序列N=32），k=1時(shí)循環(huán)移位m碼和移位正交m碼的誤比特率比較。由表1知，N=7的循環(huán)移位m碼和N=8的移位正交m碼的最小碼距d0=4；N=31的循環(huán)移位m碼和N=32的移位正交m碼的最小碼距d0=16。

由圖5可見(jiàn)，對(duì)具有相同最小碼距（d0=4和d0=16）兩組擴(kuò)頻編碼集合，糾錯(cuò)特性基本一致，誤比特率幾乎相等，這與編碼分析的結(jié)果一致。故后續(xù)的分析只選取循環(huán)移位m碼作為代表。

圖5 循環(huán)移位m碼和移位正交m碼的糾錯(cuò)特性

圖6是N=7和N=31的平衡Gold序列和循環(huán)移位m序列的誤比特率（每條偽隨機(jī)序列攜帶信息碼元數(shù)k=1）。查表1知，N=7時(shí)循環(huán)移位m序列集的最小碼距d0=4，平衡Gold序列集的d0=2。

圖6 k=1,平衡Gold碼和循環(huán)移位m碼的糾錯(cuò)特性

由圖6可見(jiàn)，循環(huán)移位m序列的性能要優(yōu)于平衡Gold序列。擴(kuò)頻碼長(zhǎng)N=7，誤比特率pb=0.2時(shí)，循環(huán)移位m序列比平衡Gold序列節(jié)省4dB左右的功率。可見(jiàn)偽隨機(jī)序列相關(guān)特性越好，構(gòu)建的擴(kuò)頻編碼集合最小碼距越大，糾錯(cuò)性能就越好。另外還可以看到，對(duì)同一種碼型而言，k相等時(shí)，擴(kuò)頻碼長(zhǎng)N越大糾錯(cuò)性能越好。

選取N=31的循環(huán)移位m序列。圖7表明，N固定而k增加時(shí)，誤比特率逐漸上升。即擴(kuò)頻因子N/k越大，糾錯(cuò)特性越強(qiáng)；因此，擴(kuò)頻因子是衡量系統(tǒng)特性的重要指標(biāo)。

圖7 N=31，k取不同值時(shí)，循環(huán)移位m碼的糾錯(cuò)特性

4 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了平衡Gold序列、循環(huán)移位m序列、移位正交m序列的概念、性質(zhì)和構(gòu)造方法，說(shuō)明平衡Gold序列、循環(huán)移位m序列、移位正交m序列具有良好的相關(guān)特性。并計(jì)算了3種碼型集合的最小碼距，分析擴(kuò)頻映射編碼的糾錯(cuò)原理和方法，對(duì)上述3種碼字的糾錯(cuò)能力進(jìn)行了比較，說(shuō)明了擴(kuò)頻碼長(zhǎng)N、信息比特?cái)?shù)k和誤比特率pb的關(guān)系。

相比于平衡Gold序列，循環(huán)移位m序列和移位正交m序列更加優(yōu)越。從本文的研究可以看出，m序列及其位移序列編碼技術(shù)具有構(gòu)造較為方便、抗干擾能力強(qiáng)等方面的諸多優(yōu)點(diǎn)。

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