秦發(fā)金,姚曉潔

(廣西柳州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系,廣西柳州 545004)

一類高階中立型泛函微分方程周期解

秦發(fā)金*,姚曉潔

(廣西柳州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系,廣西柳州 545004)

利用重合度理論，研究了一類具有偏差變元的高階中立型泛函微分方程(x(t)+cx(t-σ))(n)+f(x(t-(t)))+g(x(t-γ(t)))=e(t)周期解問題，獲得了這類方程存在唯一周期解的新結(jié)果，推廣和改進(jìn)了已有的相關(guān)結(jié)果.

高階中立型泛函微分方程； 周期解； 存在唯一性； 重合度

為了方便研究，本文引進(jìn)下面記號:

近年來，關(guān)于一階和二階微分方程周期解的存在性與唯一性的研究取得了很多結(jié)果，比如文獻(xiàn)[1]-[7] .文獻(xiàn)[7]研究了下面一類具有2個偏差變元的二階微分方程

x″(t)+f(x(t-(t))+g(x(t-γ(t)))=e(t)

(1)

(x(t)-cx(t-σ))(n)+f(x(t-(t)))+

g(x(t-γ(t)))=e(t)

(2)

周期解的存在性與唯一性，其中n≥2為整數(shù)，,γ,eC(,)是連續(xù)的T-周期函數(shù)，e(t)dt=0,f,gC1(,)且f(b)+g(b)≠e(t),?t,b，c,σ是常數(shù)且|c|≠1.

顯然，當(dāng)c=0，n=2時，方程(2)退化為方程(1).本文利用新的分析技巧和重合度理論，得到了方程(2)周期解存在唯一性的新充分條件.所得結(jié)果并不要求′(t)<1，γ′(t)<1，而且與時滯無關(guān)，從而推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[7]的結(jié)果.

A:Y→Y,(Ax)(t)=x(t)-cx(t-σ),

L:DomL?X→Y,Lx=(Ax)(n)，

(3)

定義N:X→Y為

Nx(t)=-f(x(t-(t)))-g(x(t-γ(t)))+e(t).

(4)

引理1[8]如果|c|≠1，則A存在唯一有界連續(xù)逆，且滿足

定義投影算子P,Q分別為

P:X→KerL,Px=Ax(0),

顯然，P和Q為連續(xù)算子，ImP=KerL=R,KerQ=ImL=Im(I-Q).定義

LP=L|Dom L∩Ker P:CT∩KerP→ImL,

(5)

這里(Ax)(i)(0) (i=1,2,…,n-1)由方程DZ=B決定，其中

Z=((Ax)(n-1)(0),(Ax)(n-2)(0),…,(Ax)′(0))T,

B=(b1,b2,…,bn-1)T,

(i)Lx≠Nx,?x?Ω∩DomL,?(0,1);

(iii)deg{QN,Ω∩KerL,0}≠0,

(i=1,2,…,m-1),

其中,當(dāng)m為偶數(shù)時

當(dāng)m為奇數(shù)時

其中諸Bm-2s,B2m-4s,Bm-2s-1,B2m-4s-2是伯努數(shù)，可由如下遞推公式求得

引理5 假設(shè)下列條件成立：

證明設(shè)x(t)是方程(2)的一個T-周期解，將方程(2)兩邊從0到T積分得

f(x(ξ-(ξ)))+g(x(ξ-γ(ξ)))=0.

(6)

(7)

若式(7)不成立，則有

(8)

由式(8)可知下列之一必成立：

x(ξ-(ξ))>x(ξ-γ(ξ))>d.

(9)

x(ξ-γ(ξ))>x(ξ-(ξ))>d.

(10)

x(ξ-(ξ))

(11)

x(ξ-γ(ξ))

(12)

如果式(9)成立，則

0

f(x(ξ-(ξ)))+g(x(ξ-γ(ξ))).

這與式(6)相矛盾，意味著式(7)成立.

如果式(10)或式(11)或式(12)成立，則類似證明式(7)成立.

(13)

1 周期解的存在性

定理1 假設(shè)條件(H1)、(H2)成立，并且滿足：

證明考慮方程Lx=Nx,(0,1)，即

(x(t)-cx(t-σ))(n)+f(x(t-(t)))+

(14)

假設(shè)x(t)是式(14)對于某個(0,1)的T-周期解，令

下面分2種情形討論：

(15)

(16)

由式(16)和引理3得

為了驗(yàn)證引理2的條件(iii)，作變換

xH(x,μ)=μx2+(1-μ)x[f(x)+g(x)]>0.

故H(x,μ)為同倫變換，于是deg{QN,Ω∩KerL,0}=deg{x,Ω∩KerL,0}≠0.從而由引理2知，方程(2)至少存在一個T-周期解.

余下類似情形1的證明，這里省略.

類似定理1的證明，有：

定理2 如果假設(shè)(H3)成立，且滿足下列條件：

2 周期解的唯一性

定理3 假設(shè)下列條件成立：

或者

(xi(t)-cxi(t-σ))(n)+f(xi(t-(t)))+

g(xi(t-γ(t)))=e(t) (i=1,2).

(17)

令z(t)=x1(t)-x2(t)，則由式(17)可得

(z(t)-cz(t-σ))(n)+f(x1(t-(t)))-

f(x2(t-(t)))+g(x1(t-γ(t)))-

g(x2(t-γ(t)))=0.

(18)

注意到

f(x1(t-(t)))-f(x2(t-(t)))=

z(t-(t))f′(x2(t-(t))+sx1(t-(t)))ds,

g(x1(t-γ(t)))-g(x2(t-γ(t)))=

令

則式(18)變?yōu)?/p>

(z(t)-cz(t-σ))(n)+F(t)z(t-(t))+

G(t)z(t-γ(t))=0.

(19)

F(η)z(η-(η))+G(η)z(η-γ(η))=0.

(20)

下面分2種情形討論：

結(jié)合引理4和式(20)得

(21)

(22)

結(jié)合引理3和式(20)得

余下與情形1的證明相同.

εx+f(0)≤f(x)≤k1x+f(0),

εx+g(0)≤g(x)≤k2x+g(0),?x>0,

(23)

及

k1x+f(0)≤f(x)≤εx+f(0),

k2x+g(0)≤g(x)≤εx+g(0),?x<0.

(24)

由式(23)和式(24)知

(25)

類似證明，有：

x(n)(t)+f(x(t-(t)))+g(x(t-γ(t)))=e(t)

存在唯一一個T-周期解.

x(n)(t)+f(x(t-(t)))+g(x(t-γ(t)))=e(t)

存在唯一一個T-周期解.

或者

代替，本文的結(jié)果仍然成立.

注3 與文獻(xiàn)[7]的結(jié)果相比，推論3和推論4的結(jié)果不僅不要求′(t)<1，γ′(t)<1，而且還與時滯無關(guān)，因此本文的結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[7]的結(jié)果.

3 應(yīng)用舉例

例1 考慮下面微分方程

g(x(t-3sint))=sint,

(26)

例2 考慮下面微分方程

x″(t)+f(x(t-3cost))+g(x(t-3sint))=cost,

(27)

[1] 陳紅斌,王立河,秦軍林. 關(guān)于Duffing方程周期解的存在性與唯一性[J].數(shù)學(xué)年刊,2006, 27A(6):723-730.

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[3] 劉炳文.一類具偏差變元的Liénard型方程周期解的存在與惟一性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2009,29(3)：360-366.

[4] LIU B W,HUANG L H. Existence and uniqueness of periodic solutions for a kind of second order neutral functional differential equations[J].Nonlinear Analysis: Real World Application,2007,8:222-229.

[5] PENG L Q. Existence and uniqueness of periodic solutions for a kind of Duffing equation with two deviating arguments[J].Mathematical and Computer Modelling, 2007,45:378-386.

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[10] GAINES R,MAWHIN J. Coincide degree and nonlinear differential[M].Berlin:Springer-Verlag,1997.

[11] LI X J,LU S P. Periodic solutions for a kind of high-orderp- Laplacian differential equation with sign-changing coefficient ahead of the non-linear term[J].Nonlinear Analysis,2009,70: 1011-1022.

[12] GUO D J. Theory of functional analysis[M].Jinan: Shandong Technology and Science Publishing House,2001.

Keywords： higher-order neutral functional differential equation；periodic solution；existence and uniqueness；coincidence degree

PeriodicSolutionforaHigher-OrderNeuralFunctionalDifferentialEquation

QIN Fajin*, YAO Xiaojie

(Department of Mathematics and Computer Science, Liuzhou Teachers College, Liuzhou, Guangxi 545004, China)

A higher order nonlinear neutral functional differential equation is investigated. By using the coincidence degree theory, some new sufficient conditions for the existence and uniqueness of periodic solution of the given equation are obtained. The results have extended and improved the related conclusions in the literatures.

2011-03-24

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11161029)

*通訊作者，qinfajin@163.com

1000-5463(2012)01-0033-06

O175.6

A

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】