趙 言，花向紅，尹志永

(1.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢430079;2.天津測(cè)繪院，

天津300381;3.武漢大學(xué)災(zāi)害監(jiān)測(cè)與防治研究中心，湖北武漢430079)

連分式與曲線擬合模型在沉降監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用研究

趙 言1，2，花向紅1，3，尹志永2

(1.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢430079;2.天津測(cè)繪院，

天津300381;3.武漢大學(xué)災(zāi)害監(jiān)測(cè)與防治研究中心，湖北武漢430079)

分析沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，采用連分式和曲線擬合模型對(duì)建筑物沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)兩種數(shù)據(jù)處理模型的建模過(guò)程并進(jìn)行對(duì)比分析。最后將模型用于建筑物沉降量的實(shí)際預(yù)測(cè)，驗(yàn)證模型的可行性及實(shí)用性。

連分式;曲線擬合模型;建筑物沉降;變形預(yù)報(bào)

一、引 言

隨著現(xiàn)代數(shù)據(jù)處理技術(shù)方法的不斷進(jìn)步，可應(yīng)用于建筑物沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理的模型與方法有很多，如自回歸分析法、灰色關(guān)聯(lián)分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等，但這些方法對(duì)沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)都有一定的建模要求，如果條件不符或達(dá)不到，則會(huì)出現(xiàn)建模錯(cuò)誤，或在預(yù)報(bào)分析中產(chǎn)生較大的誤差。針對(duì)這種情況，通過(guò)分析建筑物沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，將連分式法和曲線擬合法引入建筑物沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中。通過(guò)對(duì)武漢市某小區(qū)樓房建筑物沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算、分析，比對(duì)兩種方法處理實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的結(jié)果，驗(yàn)證其可行性與實(shí)用性。

二、連分式擬合模型

設(shè)已知監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)擬合函數(shù)f(x)在某一監(jiān)測(cè)點(diǎn)n+1期的變化量為yk=f(xk)(k=0，1，…，n)，構(gòu)造函數(shù)連分式

使得

構(gòu)造連分式擬合函數(shù)如式(1)，實(shí)際上就是根據(jù)監(jiān)測(cè)對(duì)象周期和監(jiān)測(cè)對(duì)象形體變化量n+1期的數(shù)據(jù)所要滿足式(2)的條件，確定式(1)中的參數(shù)a0，a1，…，an，進(jìn)一步建立連分式擬合模型方程。

根據(jù)數(shù)學(xué)公式變換，將式(1)經(jīng)過(guò)整理得到有理分式，因此，連分式插值(擬合)又稱有理插值。但在實(shí)際應(yīng)用中，連分式這種形式運(yùn)算比較方便，而且不存在誤差累計(jì)的問(wèn)題，所以一般不把連分式化為有理分式。

為了確定式(1)中的各參數(shù) a0，a1，…，an，將式(1)進(jìn)行逐節(jié)分解，即有

由式(3)可以看出

由式(3)和式(4)，可得

由式(6)可以計(jì)算得到ai=φi(xi)(i=0，1，…，n)的遞推公式

根據(jù)式(7)可以計(jì)算出ai=φi(xi)(i=0，1，…，n)的格式系數(shù)。

對(duì)連分式模型精度(即模型擬合程度)評(píng)定的方法有殘差大小檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)3種，本文采用后驗(yàn)差方法檢驗(yàn)連分式模型的精度(具體詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)［2］)。

三、曲線擬合預(yù)測(cè)模型

曲線擬合通常也稱離散數(shù)據(jù)的曲線擬合，指的是從給定函數(shù)y=u(t)的一組觀測(cè)值(ti，yi)(i=0，1，…，m)選定一組簡(jiǎn)單函數(shù)φk(t)(k=0，1，…，n)作為基函數(shù)，通過(guò)確定方程 f(t)=x1φ1(t)+ x2φ2(t)+…+xnφn(t)指定的參數(shù)xk，使f(t)與觀測(cè)值(ti，yi)在總體上盡可能接近，即得到一個(gè)最佳的函數(shù)f(ti)來(lái)逼近yi。

在建筑物沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建模時(shí)，假設(shè)某建筑物監(jiān)測(cè)點(diǎn)的高程為y，其中y是隨觀測(cè)時(shí)間(或觀測(cè)周期)x變化而變化的函數(shù)。假設(shè)y=a0+a1x+a2x2+…+amxm，令

式中，m為擬合多項(xiàng)式次數(shù);n為特征點(diǎn)重復(fù)觀測(cè)次數(shù)。

根據(jù)最小二乘原理，可得

將通過(guò)式(8)求得的模型系數(shù)代入擬合方程，即得到曲線擬合模型。但建立的曲線擬合模型是否與實(shí)際變形規(guī)律相符合，需要對(duì)預(yù)測(cè)方程進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

如果建立的曲線擬合模型與建筑物形體變化規(guī)律相符合，那么曲線擬合方程的系數(shù):ak≠0(k= 0，1，…，n)，否則ak=0(k=0，1，…，n)。于是可作檢驗(yàn)假設(shè):H0:ai=0，H1:ai≠0。根據(jù)F分布的定義，檢驗(yàn)公式如下

給定顯著水平α，當(dāng)式(9)中的F＞Fα(1，n－2)時(shí)，則拒絕H0，接受H1，認(rèn)為形變量y(t)線性依賴于時(shí)間變量φ(t)，即存在線性關(guān)系，所建立的曲線擬合模型有效;否則，認(rèn)為所建立的曲線擬合模型無(wú)效。

四、實(shí)例分析

根據(jù)以上連分式和曲線擬合模型建模原理，筆者利用對(duì)武漢市某小區(qū)建筑物一個(gè)沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)監(jiān)測(cè)獲取的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，取其中連續(xù)的33期進(jìn)行建模分析(前30期用于建模，后3期用于監(jiān)測(cè)模型預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià))，通過(guò)獲取距離擬合(預(yù)測(cè))周期最近的10期數(shù)據(jù)(即建立該連分式模型至少需要10期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù))，建立連分式擬合模型，并對(duì)用于建模的前30期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，同時(shí)預(yù)測(cè)后3期(第31、32、33期)數(shù)據(jù)，得到結(jié)果如表1所示。表1中，T為觀測(cè)周期;Δh為沉降監(jiān)測(cè)值;Δh'為連分式擬合模型擬合值;ΔC1、ΔC2、ΔC3分別為二次、三次、四次曲線擬合模型擬合值。

表1 沉降監(jiān)測(cè)值與模型擬合值 cm

可求得后驗(yàn)差比值:C=S2/S1=0.219，小誤差概率:P={|Δ(k)|＜0.674 5S1}=1，即連分式模型擬合值與監(jiān)測(cè)值的差值全部小于0.067 45S1，根據(jù)后驗(yàn)差法精度判定標(biāo)準(zhǔn)，可判定C=0.219＜0.35，且P=1＞0.95，模型等級(jí)精度為1級(jí)(好)，因此，所建立的連分式擬合模型可以用來(lái)處理沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，且模型擬合精度很高(具體如圖1所示)。

對(duì)曲線擬合模型，根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，可以求出四階曲線擬合模型的中誤差為±0.08，擬合效果最好，因此，選擇四階曲線擬合模型為預(yù)測(cè)模型。由f檢驗(yàn)可知，因線性關(guān)系引起的偏差平方和 QR= 0.553 6，因除線性關(guān)系之外的其他因素引起的偏差平方和QE=0.08，經(jīng)計(jì)算，取顯著水平α為0.05時(shí)，F(xiàn)=193.76，F(xiàn)a(1，28)=4.20，F(xiàn)＞Fa(1，28)，模型顯著。因此，根據(jù)實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù)建立的曲線擬合模型也能較好地反映建筑物實(shí)際的沉降變化情況，同樣也具備較高的擬合精度(具體如圖1所示)。

圖1 模型擬合預(yù)測(cè)值與監(jiān)測(cè)值比較

根據(jù)建立的連分式擬合模型和四階曲線擬合模型，對(duì)未來(lái)3期數(shù)據(jù)(第31、32、33期)小區(qū)建筑物的沉降值進(jìn)行預(yù)測(cè)，如表2所示。表中，T為觀測(cè)周期，Δh為沉降監(jiān)測(cè)值，Δh'為連分式擬合模型預(yù)測(cè)值，ΔC3為四階曲線擬合模型預(yù)測(cè)值)

表2 模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比 cm

從表2模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的對(duì)比可以看出，連分式擬合模型和四階曲線擬合模型在短周期預(yù)報(bào)時(shí)具有較高的預(yù)測(cè)精度，隨著預(yù)報(bào)周期次數(shù)的增加，預(yù)報(bào)精度逐漸降低。對(duì)比連分式擬合模型與四階曲線擬合模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值差值的大小，雖然連分式擬合模型在擬合建模數(shù)據(jù)過(guò)程中有個(gè)別值相對(duì)于四階曲線擬合模型相差較大，但在預(yù)測(cè)未來(lái)周期沉降變化量的效果要比四階曲線擬合模型預(yù)測(cè)的效果好。

五、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)連分式與曲線擬合模型的研究，分別將其應(yīng)用到實(shí)際的沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中，根據(jù)模型建模原理實(shí)現(xiàn)了兩種模型的建模過(guò)程，并對(duì)具體監(jiān)測(cè)形體的沉降值進(jìn)行了預(yù)報(bào)分析。經(jīng)過(guò)對(duì)擬合預(yù)測(cè)結(jié)果的分析、對(duì)比，得出這兩種數(shù)據(jù)處理方法都能達(dá)到預(yù)期的精度要求，以及連分式擬合模型的預(yù)測(cè)精度要比最優(yōu)階次曲線擬合模型的預(yù)測(cè)精度稍好的結(jié)論。值得一提的是，在建筑物突然發(fā)生大幅度的形體沉降變化時(shí)，這兩種預(yù)報(bào)模型的預(yù)測(cè)精度不再能夠得到保證，主要是因?yàn)檫B分式和曲線擬合模型都是建立在連續(xù)變化的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的線性模型，對(duì)建筑物突變性沉降的預(yù)測(cè)能力較低。因此，若要在有突變性變化的情況下仍然取得較高的預(yù)測(cè)精度，需增加相應(yīng)的參數(shù)變量。

［1］ 徐士良.數(shù)值分析與算法［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2007.

［2］ 黃聲享，尹暉，蔣征.變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2007.

［3］ 李強(qiáng).關(guān)于連分式中幾個(gè)問(wèn)題的研究［D］.合肥:合肥工業(yè)大學(xué)，2009.

［4］ 湯仲安.矢量GIS平面一般曲線等概率密度誤差模型的幾何特征［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2007，36(1):91-95.

［5］ 金彪，吳北平，李艷芳.曲線擬合與自回歸模型在地鐵變形監(jiān)測(cè)中的運(yùn)用［J］.地礦測(cè)繪，2009，25(1):35-37.

［6］ 肖萍.連分式漸近式的一個(gè)遞推算法及其應(yīng)用［J］.中南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，33(5):547-549.

Application of Continued Fraction and Curve Fitting Model to Subsidence Monitoring

ZHAO Yan，HUA Xianghong，YIN Zhiyong

0494-0911(2012)06-0019-03

P258

B

2011-06-01

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41174010;41074025)

趙 言(1988—)，男，安徽亳州人，碩士生，主要研究方向?yàn)榫芄こ虦y(cè)量與工程變形監(jiān)測(cè)。