陸義云

（南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210046）

0 引言

多個(gè)點(diǎn)的PnP問(wèn)題已經(jīng)得到很廣泛的研究，對(duì)于所謂的PnP問(wèn)題[3]，在計(jì)算機(jī)視覺(jué)一般描述為：給定一個(gè)世界坐標(biāo)系中的已知點(diǎn)集和它們?cè)谙衿矫鎸?duì)應(yīng)的投影，求在世界坐標(biāo)系和攝像機(jī)坐標(biāo)系之間的變換矩陣（3個(gè)旋轉(zhuǎn)參變量和3個(gè)平移參變量）。由于PnP問(wèn)題在目標(biāo)跟蹤、物體識(shí)別、視覺(jué)導(dǎo)航等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景，因此一直是計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的一個(gè)重要問(wèn)題。目前，在計(jì)算機(jī)視覺(jué)方面，對(duì)于PnP問(wèn)題的研究存在許多方法，比較流行的有P3P問(wèn)題和P4P問(wèn)題,對(duì)于P3P問(wèn)題解的研究也取得了眾多的成果。在國(guó)內(nèi)，2006年吳毅紅等利用正交變換下求解正解等價(jià)于求解基于變換定義下的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量；不過(guò)吳毅紅等只指出了解的上限，沒(méi)有作詳細(xì)的證明；在國(guó)外，Zuzana Kekelova[15]等人對(duì)于基于未知焦距的P3P問(wèn)題也作了研究[13]。對(duì)于P4P問(wèn)題的研究，T.Pajdla[13]等人提出了基于未知焦距的P4P方法，Bujnak M[14]等人提出了基于未知焦距和徑向畸變的P4P問(wèn)題的方法。但無(wú)論是基于3點(diǎn)的PnP問(wèn)題還是基于4點(diǎn)的PnP問(wèn)題，它們有一個(gè)共同的缺點(diǎn)，就是要求的計(jì)算量都比較大，運(yùn)算速度比較慢，此外還會(huì)受到各種條件的影響。本論文中提供了一種基于2點(diǎn)的PnP的方法來(lái)求解相機(jī)的旋轉(zhuǎn)矩陣和平行向量。

本文中，研究已知兩個(gè)方向下相對(duì)位姿標(biāo)定問(wèn)題的計(jì)算。它主要是受到手機(jī)重力感應(yīng)技術(shù)和裝有慣性測(cè)量單元（IMU）的智能手機(jī)（如NOKIA, iPhone）啟發(fā)。在智能手機(jī)中主要是由加速度計(jì)測(cè)量地球重力矢量測(cè)量到兩個(gè)方向角度（如在iPhone中采用的加速度計(jì)是3軸加速度計(jì)，分別X，Y和Z軸，這3個(gè)軸構(gòu)成的立體空間以偵測(cè)你在iPhone上各種動(dòng)作，實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常以這3個(gè)軸或任意兩個(gè)軸所構(gòu)成的角度來(lái)計(jì)算iPhone傾斜的角度[0]）。本文中給定的P2P問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為求解多項(xiàng)式方程組的問(wèn)題，通過(guò)利用Grobner基法[2，9]求解。

1 相機(jī)標(biāo)定

攝像機(jī)的基本成像模型，通常稱為基本針孔模型，由三維空間到平面的中心投影變換所給出，令空間點(diǎn)Oc是投影中心，它到像平面π的距離為f，空間點(diǎn)X在平面π上的投影（或像）u是以點(diǎn)Oc為端點(diǎn)并經(jīng)過(guò)Xw的射線與平面π的交點(diǎn)[1,11]，則由空間點(diǎn)Xw到圖像點(diǎn)u的投影矩陣可以寫(xiě)成：

P是3×4投影矩陣，其可表示成 ：

其中，λ為深度因子，K為攝像機(jī)內(nèi)參矩陣，t=[tx,ty,tz]T為平移向量，R是一個(gè)3×3的正交矩陣，對(duì)于攝像機(jī)內(nèi)參矩陣K，可以寫(xiě)成：

式（3）中fu為圖像橫坐標(biāo)軸尺度因子，fv為圖像縱坐標(biāo)軸尺度因子。s為歪斜因子，表示兩個(gè)坐標(biāo)軸的垂直程度，（u0,v0）表示主點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

對(duì)于旋轉(zhuǎn)矩陣R，在三維空間中，可以用歐拉角（α、β、γ）來(lái)表示，其中α（也稱roll）為繞Z軸旋轉(zhuǎn)角，γ（pitch）為繞X軸旋轉(zhuǎn)角，β（yaw）為繞Y軸旋轉(zhuǎn)角，R可以寫(xiě)成：

其中：繞Z坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)矩陣為：

繞X坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)矩陣為：

繞Y坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)矩陣為：

現(xiàn)在基于重力感應(yīng)的手機(jī)（如iphone，NOKIA等）可以利用加速度計(jì)測(cè)量地球重力矢量來(lái)測(cè)量到兩個(gè)方向角度，即可測(cè)量到繞Z坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角α和繞X坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角γ。對(duì)于一個(gè)P2P問(wèn)題的攝像機(jī)，其繞X和Z這兩個(gè)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為Roll和Pitch，即垂直方向已知，求攝像機(jī)的絕對(duì)位置。因此在式（4）中β是唯一的參數(shù)。

對(duì)于尺度因子λ的消去，通常采用反對(duì)稱矩陣[u]×與方程相乘的方法，因此可以得到：

其中反對(duì)稱矩陣為：

因此式（9）可以寫(xiě)成：

在式(10)中，由于對(duì)稱矩陣的秩為2，因此在（11）式得到的3個(gè)多項(xiàng)式方程中，其中2個(gè)是線性不相關(guān)的。在這3個(gè)多項(xiàng)式方程組中，含有q2，q，tx，ty，tz這幾個(gè)變量。在此，可以運(yùn)用Grobner基的方法求解多項(xiàng)式方程組。

2 Grobner 基求解多項(xiàng)式方程組

代數(shù)方程組的求解是許多領(lǐng)域中經(jīng)常要處理的問(wèn)題，而當(dāng)變?cè)芏鄷r(shí),求解過(guò)程往往比較困難。為此，我們可以使用Grobner基[2-3,5]的方法求解代數(shù)方程組。

將多項(xiàng)式加上“=0”即變成方程組，所以方程組和多項(xiàng)式的關(guān)系是非常密切，為了解多元多次方程組的問(wèn)題，我們可以考慮將它轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式問(wèn)題。同時(shí)有必要定義個(gè)一個(gè)多元多次多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)的排列次序，即單項(xiàng)式的大小[4,6,8-9,11]。在這方面一般定義方法為：

定義：

定義兩個(gè)單項(xiàng)式的大小順序?yàn)閤1＞x2＞…xn，再者，同一未知數(shù)定義xm+1＞xm＞…x2＞x＞1，我們稱α＞β，這種次序大小稱為字典序（簡(jiǎn)稱lex order）。

定義：設(shè)K是一個(gè)域，k[x1,x2,…,xn]為系數(shù)屬于K的n元多次多項(xiàng)式所成集合，即：

（a）0∈I；

（b）若f,g∈I，則f+g∈I；

（c）若f,g∈I，且則。

定義：

lp(f)=X a1，即lp(f)表示f的首項(xiàng)冪積；

lc(f)=a1，即lc(f)表示f的首項(xiàng)系數(shù)；

lt(f)=a1X a1，即lt(f)表示f的首項(xiàng)；

假設(shè)域K上的多項(xiàng)式方程組Pi(X)=0,i=1, 2, …,m，要求解這樣一個(gè)方程組，需要解決一些問(wèn)題：該方程組有多少解，怎么求解?？紤]由該方程組的多項(xiàng)式生成一組理想，計(jì)算某字典序下的Grobner基G，則上述的多項(xiàng)式方程組問(wèn)題可以通過(guò)G來(lái)求解，下面給出方程組的求解方法，設(shè)給定域K[X]中的一個(gè)方程組：

Pi(X)=0,i=1, 2, …,m；

選取字典序x1＞x2＞…xn，計(jì)算理想[2]＜p1,p2,…pm＞ 的Grobner基G={G1,G2, …,Gr}，對(duì)G中的多項(xiàng)式適當(dāng)排序后，存在Gi∈G,與mi使得lp（Gi）=，i=1,2,…,n,則必有n≤r，在字典序[2]x1＞x2＞…x下，lp（G）=，Gn的其它項(xiàng)也必含xn，即Gn是xn的一元多項(xiàng)式。同理Gn-1僅xn-1,xn類推下去，可知G包含如下多項(xiàng)式方程組：

由最后一個(gè)方程Gn=0解一組xn的解（an1,an2,…,anl），再將每個(gè)ani(i=1, 2, …,l)代入Gn-1以及其它G中僅含xn-1，xn的多項(xiàng)式Gj=（xn-1,xn）=0,…,可得xn-1的方程組Gn-1=（xn-1,ai）=0，Gj=（xn-1,anj）=0, …，仍然是一個(gè)一元多項(xiàng)式方程組，解之又可得到對(duì)應(yīng)xn-1的解，繼續(xù)下去即可得到原方程組的全部解。

3 仿真及分析

本文運(yùn)用Grobner基算法，采用的圖像如圖1所示，使用iphon4手機(jī)拍攝測(cè)試圖片，在拍攝測(cè)試圖片時(shí)，經(jīng)過(guò)一定計(jì)算可得，攝像機(jī)繞Z坐標(biāo)軸選擇角度約為 pitch=-139.41°，繞 X坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角度約為roll=25.83°，建立如圖1所示的三維坐標(biāo)系，選取3組2D-3D對(duì)應(yīng)點(diǎn)，圖像點(diǎn) A坐標(biāo)（129.1875,634.9875）對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)坐標(biāo)（130,0,0）。圖像 C 點(diǎn)（664.1250,350.1250）對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)坐標(biāo)為（130,66,0），圖像 D 點(diǎn)坐標(biāo)（1424.9755，1769.3000）對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)為（0,66,146），其中D點(diǎn)作為驗(yàn)證點(diǎn)，此時(shí)已知相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)矩陣為：

選取A點(diǎn)和C點(diǎn)作為測(cè)試點(diǎn)，利用Groebner基求可得解約為：

即此時(shí)繞Y坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角度約為yaw=-25.42，此時(shí)旋轉(zhuǎn)矩陣為：

平移向量為T(mén)=[10.5492 14.4406 181.9821]

將D點(diǎn)代入到其中驗(yàn)證可得D點(diǎn)的重投影在圖像上的坐標(biāo)為（1420.9671,1768.2998），即所得點(diǎn)的坐標(biāo)在誤差允許的范圍之內(nèi)。

圖1 測(cè)試用圖

4 結(jié)論

計(jì)算機(jī)視覺(jué)中，PnP問(wèn)題的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，本文中利用一些設(shè)備來(lái)獲取兩個(gè)角度，并利用2組2D-3D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)來(lái)解決PnP問(wèn)題，與傳統(tǒng)的PnP問(wèn)題相比，其在求解速度上有了很大的提高，而且更方便，現(xiàn)在的智能手機(jī)幾乎都安裝有慣性測(cè)量單元，其利用重力感應(yīng)能測(cè)量手機(jī)的在空間中方位，此外在一些導(dǎo)航設(shè)備（如GPS）上都有應(yīng)用。

計(jì)算機(jī)視覺(jué)中，PnP問(wèn)題的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，因此能否快速且有效得解決PnP 問(wèn)題對(duì)計(jì)算機(jī)視覺(jué)中許多問(wèn)題起著很重要的影響（如三維重建等），本文中利用一些設(shè)備來(lái)獲取兩個(gè)角度，并利用2組2D-3D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)來(lái)求解旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量，與傳統(tǒng)的求解PnP問(wèn)題相比，其在求解速度上有了很大的提高。隨著社會(huì)的發(fā)展，智能手機(jī)的運(yùn)用也越來(lái)越廣泛，現(xiàn)在的智能手機(jī)幾乎都安裝有慣性測(cè)量單元，其利用重力感應(yīng)能測(cè)量手機(jī)的在空間中方位，并且現(xiàn)在的許多手機(jī)游戲都用到了慣性測(cè)量單元，此外在一些導(dǎo)航設(shè)備（如GPS）上都有應(yīng)用。

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