盧 軍，黃光勤，徐永軍

（重慶大學 三峽庫區(qū)生態(tài)環(huán)境教育部重點實驗室，重慶 400045）

土壤源熱泵利用地下常年恒溫的巖土作為低品位冷熱源，通過熱泵技術將淺層地熱能轉換為高位能源用以建筑供冷供熱。近年來，中國土壤源熱泵應用日益廣泛，也成為研究熱點，如地埋管換熱器傳熱模型的研究[1－4]，換熱器吸放熱量不平衡導致地下冷／熱積累問題的研究[5－6]，確定土壤熱物性的熱響應實驗研究[7－14]等。

許多學者做了大量關于確定巖土熱物性的研究[7－14]。目前，基于巖土熱響應實驗確定巖土熱物性參數(shù)的研究最為流行，且較多大型工程中亦采用此方法確定土壤熱物性設計參數(shù)，中國規(guī)范中明確提出：“當?shù)芈窆艿卦礋岜孟到y(tǒng)的應用建筑面積在5000m2以上，或實施了巖土熱響應實驗的項目，應利用巖土熱響應實驗結果進行地埋管換熱器的設計，…”。文獻[7-8]研究了定地理管熱流熱響應實驗確定巖土熱物性的方法；另外，文獻[8]根據(jù)無限長柱熱源模型，研究了定進口溫度熱響應實驗確定巖土熱物性的方法。目前，對不同傳熱模型耦合不同數(shù)據(jù)處理方法對確定巖土熱物性影響的研究甚少，本文通過分析用于熱響應實驗的各傳熱模型的區(qū)別，耦合不同傳熱模型和不同熱響應實驗數(shù)據(jù)處理方法，研究分析其對巖土熱物性計算結果的影響，得出不同傳熱模型和數(shù)據(jù)處理方法對巖土熱物性確定的適應性條件，提出三參數(shù)估計加權平均方法確定巖土熱物性及鉆孔熱阻。

1 地埋管傳熱模型

目前，用于巖土熱響應實驗數(shù)據(jù)處理的地埋管傳熱模型主要有無限長線源模型（ILSM）及無限長柱源模型（ICSM）。ILSM用于定熱流條件的熱響應實驗，ICSM既可用于定熱流條件，也可用于定地埋管進口溫度條件下的熱響應實驗。本文研究定熱流條件下的熱響應實驗，在ILSM及ICSM基礎上，研究了有限長線源模型（FLSM），分析了該模型是否適合用于熱響應實驗數(shù)據(jù)處理；最終應用不同傳熱模型計算巖土熱物性參數(shù)。

1.1 無限長線源模型

ILSM模型將地埋管換熱器假定為處于初始溫度均勻、無限大介質中的無限長線熱源，該模型對小管徑、長時間運行的系統(tǒng)有較高精度，是目前大多數(shù)土壤源熱泵系統(tǒng)設計的理論基礎。換熱器周圍溫度場分布的表達形式為：

式中：τ為時間，s；r為距鉆孔中心的距離，m；tr為距鉆孔中心r處巖土溫度，℃；t∞為巖土無窮處溫度，℃；q為單位井深換熱量，W／m；λs為巖土導熱系數(shù)，W／（m·℃）；α為巖土熱擴散率，m2／s。（1）式等價變換為熱阻形式為：

式中：Rground為鉆孔壁面至無窮遠處的熱阻，（m·℃）／W；tb為鉆孔壁溫度，℃；rb為鉆孔半徑，其他參數(shù)同上。

1.2 無限長柱源模型

ICSM模型假定地埋管換熱器處于初始溫度均勻、無限大介質中，且近似為無限長圓柱熱源。該模型忽略鉆孔內材料的熱容量，把管內流體的加熱熱流瞬時施加于孔壁上，也是一種對鉆孔內傳熱過程的簡化近似模型，加熱時間較短時與實際情況偏離較大。鉆孔周圍溫度場分布的表達式為：

式中：J0（x）、J1（x）分別為0階、1階第1類貝塞爾函數(shù)；Y0（x）、Y1（x）分別為0階、1階第2類貝塞爾函數(shù)；其他參數(shù)同上。（3）式等價轉換為熱阻表達形式為：

1.3 有限長線源模型

ILSM模型是對無限長線源模型改進的結果。模型考慮了巖土的有界性，將巖土假定為表面溫度恒定的半無限大介質，地埋管換熱器假定為有限長均勻發(fā)熱的線熱源，模型更能反映實際情況。埋管周圍溫度場分布表達式為：

式中：H 為鉆孔深度，m；z為計算點深度，m；erfc（x）為余誤差函數(shù)；其他參數(shù)同上。（6）式等價轉換為熱阻表達形式：

1.4 模型對比分析

基于數(shù)值計算的復化Simpson求積方法，取重慶典型地質的巖土熱物性λs＝2.5W／（m·℃），α＝1×10－6m2／s，分別求得ILSM、ICSM 及 FLSM 鉆孔壁面至無窮遠處的熱阻，對比分析模型差異，在本文研究范圍內，計算誤差限為10－6。

1.4.1 ILSM與ICSM對比分析 ILSM與ICSM兩模型最大不同在于：ILSM中地埋管換熱器假定為無限長線源，而ICSM將地埋管假定為無限長柱源。計算兩模型鉆孔外熱阻隨時間變化的結果，見圖1。模型計算結果表明：ILSM與ICSM在熱響應初始階段，最大相對差距達到63.6%，隨時間的增加，差距逐漸減少，大約12h后相對差距小于5%；由圖1可知，當時間趨與較長時，如大于15a后，兩模型又開始分離，相對差距逐漸增大，對于熱響應實驗數(shù)據(jù)處理所用模型，出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因可能是，時間過長，計算精度下降問題，但是針對本文研究范圍，該現(xiàn)象對巖土熱物性和鉆孔熱阻的確定無影響。

圖1 無限長線熱源與無限長柱熱源模型的對比分析

1.4.2 ILSM與FLSM對比分析 相對ILSM模型，F(xiàn)LSM考慮了巖土介質及地埋管管長的有界性，更加符合實際情況。圖2為兩模型熱阻計算結果，從圖可以得出：初始響應時段內，相對差距逐漸減少；作用時間在1a以內，兩模型高度吻合，相對差距小于0.1%，當作用時間大于15a后，誤差逐漸增大，兩模型開始分離。故對于確定巖土熱物性參數(shù)的熱響應實驗數(shù)據(jù)，采用ILSM與FLSM兩種模型沒有區(qū)別，同時考慮計算速度問題，文中采用ILSM模型進行熱響應實驗數(shù)據(jù)處理分析。

圖2 無限長線熱源與有限長線熱源模型的對比分析

2 熱響應實驗數(shù)據(jù)處理方法

目前，基于定熱流密度的巖土熱響應實驗一般有2種數(shù)據(jù)處理方法：線性推導法及參數(shù)估計法。

2.1 線性推導法

線性推導法是基于ILSM理論模型，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，（1）式近似等價于：

式中：db為鉆孔直徑，m；其他參數(shù)同上。假定鉆孔內為穩(wěn)態(tài)傳熱過程有：

式中：Rb為鉆孔內熱阻，（m·℃）／W，可由文獻[15]求得；tf為地埋管內流體平均溫度，℃；其他參數(shù)同上。結合（9）式、（10）式整理得：

由（9）式可知：tf與lnτ成線性關系，故可將熱響應實驗數(shù)據(jù)進行最小二乘擬合得出直線斜率k，確定巖土綜合導熱系數(shù)λs＝q／（4πk），根據(jù)測試得出的巖土初始溫度及單位井深散熱量q，結合擬合直線的截距，確定鉆孔內熱阻Rb。

2.2 參數(shù)估計法

參數(shù)估計法的基本思想是通過不斷調整待求參數(shù)，如巖土綜合導熱系數(shù)、巖土熱擴散率，鉆孔內熱阻等，當所有實驗記錄水溫與對應時刻理論計算水溫平方差求和最小時的參數(shù)值為最優(yōu)計算結果。即保證目標函數(shù)f最小，f表達式為

式中：f 為目標函數(shù)；Tcal，i為i 時刻理論計算水溫，℃；Texp，i為i時刻實驗所得水溫，℃；N 為實驗測量的數(shù)據(jù)組數(shù)。

該方法可以采用基于定熱流邊界條件的傳熱模型，如ILSM和ICSM等。由于鉆孔內熱阻當作參數(shù)估計量，無需確定鉆孔內U型管布置方式。

3 結果及討論

在重慶某2處土壤源熱泵系統(tǒng)實際工程設計埋管區(qū)進行熱響應實驗，熱響應實驗鉆孔深度均為75m，鉆孔直徑均為130mm。地埋管換熱器采用管徑為Dn25的單U型垂直埋管形式，回填材料為20%膨潤土和80%SiO2的混合物。根據(jù)鉆孔得到的巖土樣本分析可知，工程所在地的巖土結構為泥土層——風化層——砂巖層，其中泥土層和風化層分布在地下1.5m范圍內，地下巖土類型主要為砂巖。

實驗采用定熱流加熱方法，并自主研發(fā)的一套適合定熱流巖土熱響應實驗的實驗系統(tǒng)，系統(tǒng)主要包括保溫水箱、加熱功率在1.5～9.5kW范圍的可調節(jié)的電加熱器、循環(huán)水泵、Pt－100熱電偶、流量計、壓力表、數(shù)據(jù)自動測量記錄系統(tǒng)等。系統(tǒng)流程圖見圖3。

實驗分為2步：1）巖土初始溫度測量。為避免鉆孔回填過程對土壤初始溫度的影響，鉆孔回填完成2～3d后，進行巖土初始溫度測量。2）定加熱功率下地埋管進出口水溫測量。實驗過程中，每隔10 s自動記錄一次地埋管進出口水溫。

圖3 熱響應實驗裝置原理圖

3.1 巖土初始溫度

進行巖土熱響應實驗前，沿鉆孔深度方向每隔5m布置溫度傳感器，測試巖土的初始溫度。圖4為初始溫度豎向分布情況。由圖4可知：對于孔1，深度超過15m后，溫度恒定于19.84℃；隨著深度增加，溫度有所下降，但變化較小，溫度最大波幅為0.42℃，平均溫度為19.63℃。對于孔2，沿鉆孔深度方向溫度變化較大且逐漸升高，平均溫度變化率為0.046℃／m，溫度最大波幅為2.77℃，平均溫度為19.25℃。造成孔2溫度沿鉆孔方向逐漸升高的可能原因為：孔2回填后僅保證了48h恢復時間，恢復時間不足，導致測試孔溫度不能恢復至原始狀態(tài)。

圖4 沿鉆孔深度方向巖土初始溫度

3.2 巖土熱物性

根據(jù)實測熱響應實驗數(shù)據(jù)，應用不同傳熱模型和不同數(shù)據(jù)處理方法相耦合，對比分析不同耦合方法計算的結果。采用3種不同的耦合方法：ILSM模型耦合線性推導法（ILSM-LDM）、ILSM 模型耦合參數(shù)估計法（ILSM-PE）及ICSM模型耦合參數(shù)估計法（ICSM-PE）。

3.2.1 ILSM-LDM 方法 ILSM-LDM 方法采用無限長線熱源模型耦合線性推導法確定巖土熱物性。該方法主要確定巖土導熱系數(shù)。采用該方法確定巖土熱擴散率時必須已知鉆孔內U型管布置幾何尺寸，而實際埋管中很難確定鉆孔內實際幾何參數(shù)，鉆孔內穩(wěn)態(tài)熱阻的確定存在極大困難，故本文建議不宜采用該方法確測試孔鉆孔熱阻及巖土熱擴散率。為了避免初始熱響應階段鉆孔內非穩(wěn)態(tài)導熱對計算結果的影響，舍掉10h前實驗數(shù)據(jù)。圖5給出了取不同測試時間段對應導熱系數(shù)?？梢钥闯觯簩τ诳?，隨著測試時間的增加，導熱系數(shù)逐漸變??；對測試水溫進行分析發(fā)現(xiàn)，當測試時間30h時，由于電壓波動等原因，導致水溫突然降低，此時導熱系數(shù)出現(xiàn)波峰；測試時間40h后，導熱系數(shù)趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定值為2.97W／（m·℃）左右。對于孔2，隨著測試時間的增加，導熱系數(shù)逐漸變小，無異常規(guī)律，當測試時間35h后，趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定值為2.90W／（m·℃）左右。由上述可以推測：如孔1在測試時間30h左右不出現(xiàn)電壓波動，其穩(wěn)定時間將縮短。

圖5 ILSM-LDM方法確定的巖土導熱系數(shù)變化趨勢

3.2.2 ILSM-PE方法 采用ILSM-PE方法時，利用Simpson求積公式求解無線長線熱源模型，相對ILSM-LDM方法中采用的指數(shù)函數(shù)近似表達式具有更高的精度。該方法將鉆孔熱阻當作被估計參數(shù)，無需確定鉆孔內U型管的幾何尺寸，估計得到的鉆孔熱阻具有較高可信度。計算時，分別取容積比熱 ρcp＝2000kJ／（m3· K）、ρcp＝3000 kJ／（m3·K）、ρcp＝4000kJ／（m3·K）。圖6及圖7給出了孔1將導熱系數(shù)和鉆孔熱阻作為被估計參數(shù)的雙參數(shù)估計結果。孔2雙參數(shù)估計計算結果與孔1規(guī)律相似，未列于文中。

對于孔1，由導熱系數(shù)計算結果可知：導熱系數(shù)隨著測試時間增加的變化規(guī)律與ILSM-LDM方法所得變化規(guī)律相同，測試時間約36h后趨于穩(wěn)定，較ILSM-LDM方法的計算穩(wěn)定時間減少4h左右，若測試時間30h時電壓不出現(xiàn)波動，由圖6可知，測試時間24h左右后計算結果就趨于穩(wěn)定了；對于不同的容積比熱，導熱系數(shù)變化規(guī)律一致且不同容積比熱在相同時刻導熱系數(shù)計算結果變化很小，最終導熱系數(shù)趨于2.95W／（m·℃）。由鉆孔熱阻計算結果可知：穩(wěn)定時間的變化規(guī)律與導熱系數(shù)變化規(guī)律一致；但是對于不同容積比熱，鉆孔熱阻穩(wěn)定值相差甚大，最大相對差距達到20%，故利用雙參數(shù)估計的ILSM-PE方法求解鉆孔熱阻不是最佳方法。

對于孔2，在測試時間12～18h期間，導熱系數(shù)有較大波動，其后逐漸減小并在測試時間約35h后趨于穩(wěn)定；不同容積比熱對導熱系數(shù)的影響很小，穩(wěn)定值為2.73W／（m·℃），與ILSM-LDM 方法相比，相對差距為約6%。鉆孔熱阻計算結果可知，鉆孔熱阻隨測試時間波動較大，無明顯穩(wěn)定趨勢，不同容積比熱計算得出的鉆孔熱阻差距較大，最大相對差距為18.2%。

圖6 ILSM-PE方法確定的巖土導熱系數(shù)變化趨勢

圖7 ILSM-PE方法確定的鉆孔熱阻變化趨勢

綜合孔1及孔2計算結果可知，容積比熱對導熱系數(shù)影響很小，但是對鉆孔熱阻影響較大，故雙參數(shù)的ILSM-PE方法對導熱系數(shù)的確定有較高可信度，對鉆孔熱阻的求解可信度不高。

3.2.3 ICSM-PE方法 為了討論不同傳熱模型對巖土熱物性計算結果的影響，采用基于無線長柱熱源模型的ICSM-PE方法確定熱物性參數(shù)。計算無限長柱熱源模型時同樣采用了高精度的復化Simpson公式。與ILSM-PE方法相同，分別取容積比熱ρcp＝2000kJ／（m3·K）、ρcp＝3000kJ／（m3·K）、ρcp＝4000kJ／（m3·K）進行計算。圖8及圖9給出了孔1將導熱系數(shù)和鉆孔熱阻作為被估計參數(shù)的雙參數(shù)估計結果?？?雙參數(shù)估計計算結果未列于文中。

對于孔1，導熱系數(shù)隨測試時間的變化規(guī)律同ILSM-PE方法所得規(guī)律，穩(wěn)定時間也相似；不同容積比 熱 下，ρcp＝2000kJ／（m3·K）與 ρcp＝3000kJ／（m3·K）及ρcp＝4000kJ／（m3·K）存在一定分離，當ρcp＝2000kJ／（m3·K）時，求得導熱系數(shù)稍大于另2種容積比熱情況，相對差距約12%，平均穩(wěn)定值為2.70W／（K·℃），與ILSM-PE方法得到的導熱系數(shù)相比，相對差距為8.8%。鉆孔熱阻隨測試時間變化規(guī)律較ILSM-PE方法相同，不同容積比熱下差距較大，最大相對差距約10%。

對于孔2，導熱系數(shù)變化規(guī)律同ILSM-PE方法所得規(guī)律，穩(wěn)定值為2.53W／（m·℃），與ILSM-PE方法確定的導熱系數(shù)相對差距為7.6%。不同容積比熱下鉆孔熱阻相差較大，最大相對差距20%。

同理，綜合孔1及孔2計算結果可知，容積比熱對導熱系數(shù)影響很小，但是對鉆孔熱阻影響較大，故雙參數(shù)的ICSM-PE方法對導熱系數(shù)的確定有較高可信度，對鉆孔熱阻的求解可信度不高。

圖8 ICSM-PE方法確定的巖土導熱系數(shù)變化趨勢

圖9 ICSM-PE方法確定的鉆孔熱阻變化趨勢

3.2.4 三參數(shù)估計方法的討論

分析可知，利用直線推導法和雙參數(shù)估計方法無法正確合理確定熱擴散率及鉆孔熱阻。為了解熱擴散率對設計容量的影響，基于文中介紹的無限長線熱源模型，結合北美常用地埋管設計模型，開發(fā)了地埋管換熱器設計軟件。經(jīng)過計算得知，當熱擴散率在0.8m2／s至1.2m2／s變化時，地埋管設計容量變化5%～7%?？梢姽こ淘O計中，巖土熱擴散率對地埋管換熱器容量的影響不可忽略。故為了合理確定熱擴散率及鉆孔熱阻，本文采用三參數(shù)估計方法估計法，將導熱系數(shù)、熱擴散率及鉆孔熱阻當作被估計參數(shù)，采用柱熱源模型和線熱源模型分別確定熱物性及鉆孔熱阻。根據(jù)兩模型計算結果相對實驗數(shù)據(jù)的誤差，采用對2模型計算結果進行加權平均的方法確定巖土熱物性及鉆孔熱阻。

圖10—12給出了孔1三參數(shù)估計計算結果，由圖10可以看出，導熱系數(shù)變化規(guī)律同雙參數(shù)估計；導熱系數(shù)計算結果表明，線熱源模型明顯大于柱熱源模型，穩(wěn)定值相對差距為10.4%。由圖11可知，基于線熱源模型確定的鉆孔熱阻波動較大，但是最終趨于穩(wěn)定；柱熱源模型確定的鉆孔熱阻穩(wěn)定性更好，2模型確定的鉆孔熱阻穩(wěn)定值相同，其大小為0.10（m·℃）／W，說明三參數(shù)估計方法對鉆孔熱阻的確定可信度高。圖12描述了熱擴散率計算結果，可以看出，采用線熱源和柱熱源模型確定的熱擴散率在較長測試時間內比較發(fā)散，當測試時間達到48h后，基于單一線熱源模型與單一柱熱源模型所確定的巖土熱擴散率分別穩(wěn)定于0.6×10－6m2／s，1.0×10－6m2／s，兩者相對差距達到50%。由于孔1在測試時間約30h時，電壓出現(xiàn)較大波動，導致熱擴散率在測試時間約30h時波動極大。根據(jù)熱擴散率總體變化趨勢可推測：如無電壓波動導致水溫的大幅波動，熱擴散率測試穩(wěn)定時間將縮短。

圖10 三參數(shù)估計方法確定的巖土導熱系數(shù)變化趨勢

圖11 三參數(shù)估計方法確定的熱擴散率變化趨勢

圖12 三參數(shù)估計方法確定的鉆孔熱阻變化趨勢

在適當?shù)臏y試時間下，通過三參數(shù)估計方法確定的導熱系數(shù)、鉆孔熱阻及熱擴散率均能穩(wěn)定，但是采用不同模型對結果影響較大，為了最終確定導熱系數(shù)、鉆孔熱阻及熱擴散率，本文采用2種模型的加權平均值作為計算結果。采用三參數(shù)估計方法時，記錄了不同模型、不同測試時間下對應的最小平均誤差δ，表達式為：

式中：δ為最小平均誤差，℃；fmin為最小目標函數(shù)值；N為實驗測量的數(shù)據(jù)組數(shù)。采用WL及WC分別作為線熱源模型和柱熱源模型的權值，其表達式分別為：

式中：WL為線熱源參數(shù)權值；WC為柱熱源參數(shù)權值；δL為線熱源最小平均誤差；δC為柱熱源最小平均誤差；導熱系數(shù)、熱擴散率及鉆孔熱阻加權平均值計算結果分別見圖10—12，由圖可以看出：加權平均鉆孔熱阻及熱擴散率的穩(wěn)定性更好，可信度更高。

理論上分析，由于線熱源模型將鉆孔及埋管假定為均勻恒定熱流的線熱源，從作用時間開始時鉆孔中心就維持一恒定熱流，而柱熱源模型假定從作用時間開始時，圓柱面上維持一恒定熱流，與實際情況相比，兩模型在傳熱上分別存在延遲和超前效應，故采用基于平均誤差分析的二者加權平均方法確定熱物性及鉆孔熱阻具明顯理論意義。

4 結 語

通過對不同傳熱模型耦合不同數(shù)據(jù)處理方法確定巖土熱物性及鉆孔熱阻的研究表明：

1）采用線熱源模型與柱熱源模型確定的巖土熱物性及鉆孔熱阻存在較大差異，導熱系數(shù)相對差距在8.8%到10.4%。

2）采用雙參數(shù)估計時，巖土容積比熱對導熱系數(shù)影響很小，但對鉆孔熱阻影響較大，雙參數(shù)估計不宜用以確定鉆孔熱阻及熱擴散率。

3）三參數(shù)估計確定導熱系數(shù)及鉆孔熱阻具有良好可信度，但是對于熱擴散率的確定穩(wěn)定性較差。

4）結合三參數(shù)估計的加權平均方法，將最小平均誤差作為線熱源與柱熱源模型權值分析的基礎，確定巖土熱物性及鉆孔熱阻具有穩(wěn)定性好，可信度高的特點。

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