劉 洋，宮 志，王 喆

（北京科技大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083）

一維非線性固結(jié)理論的研究始于20世紀(jì)60年代，早期如Davis和Raymond[1]基于線性的e-lgp關(guān)系，假設(shè)滲透系數(shù)kv與體積壓縮系數(shù)mv是同步的，得出了固結(jié)系數(shù)cv為恒定量的固結(jié)方程，并且獲得了解析解。Mesri[2]等和 Barden[3]等根據(jù)試驗(yàn)得出e-lgp和e-lgkv經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，將其應(yīng)用于飽和軟土一維固結(jié)研究中。謝康和等[4－5]建立了逐步加荷條件下單層和雙層地基一維非線性固結(jié)的解析解，并在以往研究的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了考慮了應(yīng)力歷史這一因素的一維非線性固結(jié)方程，其假定荷載為單級均布連續(xù)荷載，采用經(jīng)驗(yàn)關(guān)系的e-lgp和e-lgkv非線性關(guān)系，未考慮天然土的結(jié)構(gòu)性的影響。曹宇春等[6]建立了任意施工荷載下天然結(jié)構(gòu)性粘土的一維非線性固結(jié)方程，但仍沿用e-lgp和e-lgkv的非線性關(guān)系。吳建等[7]同時考慮了固結(jié)過程中材料和幾何非線性。Menéndez等[8]采用有限元對不可壓縮流體和變滲透系數(shù)的非線性固結(jié)問題進(jìn)行了分析。王俊等[9]對變滲透系數(shù)軟土的一維非線性固結(jié)進(jìn)行了數(shù)值模擬。商衛(wèi)東和白冰[10]討論了荷載隨時間變化情況下的非線性固結(jié)問題的求解方法。鄧岳保和謝康和[11]研究了互補(bǔ)算法在一維非線性固結(jié)求解中的應(yīng)用。

沈珠江[12]指出，結(jié)構(gòu)性天然粘土具有高孔隙比、強(qiáng)滲透性以及陡降型壓縮曲線，并提出了結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的概念。劉恩龍和沈珠江[13]還建立了能夠反映結(jié)構(gòu)性土壓縮曲線在e-lgp坐標(biāo)中的非線性數(shù)學(xué)關(guān)系，可用于結(jié)構(gòu)性軟土的沉降計算。

本文將綜合考慮土的結(jié)構(gòu)性和分級施工荷載影響，將lge-lgkv和lge-lgp雙對數(shù)關(guān)系的非線性模型引入到一維固結(jié)的研究之中，并引用結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的概念建立結(jié)構(gòu)性軟粘土的一維非線性固結(jié)控制方程，利用Crank-Nicolson差分法來求解，最后與不考慮土結(jié)構(gòu)性的非線性固結(jié)結(jié)果和線性固結(jié)結(jié)果進(jìn)行比較分析。此外，對天然結(jié)構(gòu)性軟粘土和超固結(jié)土而言，雖固結(jié)曲線形狀不同但性狀類似，因此本文的研究方法也可進(jìn)一步擴(kuò)展至超固結(jié)土的一維非線性問題分析。

1 考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的土體非線性固結(jié)

1.1 非線性壓縮模型的選取

Chai[14]等指出，對于高靈敏度的天然結(jié)構(gòu)性軟土而言，壓縮曲線在lge-lgp坐標(biāo)系中的線性效果要優(yōu)于在e-lgp中，其表達(dá)式如下：

式中：λ為修正壓縮指數(shù)，即lg（e＋ec）-lgp直線的斜率；ec為實(shí)驗(yàn)參數(shù)。

大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：ec的變化范圍在－1～1之間，當(dāng)ec＝0時，模型轉(zhuǎn)化為lge-lgp模型，當(dāng)ec＝1時，模型轉(zhuǎn)化為lg（e＋1）-lgp模型。已有研究表明，lge-lgp壓縮模型能夠模擬相當(dāng)一部分天然土的壓縮特性。故本文將使用lge-lgp壓縮模型。

對于結(jié)構(gòu)性土，土體受荷前期土體結(jié)構(gòu)未完全破壞（p＜pc，圖1中的AB段，斜率為λ，其中pc為結(jié)構(gòu)應(yīng)力），在外荷載作用下有效應(yīng)力隨著超孔隙水壓力的消散而不斷增長，當(dāng)土體的有效應(yīng)力超過結(jié)構(gòu)應(yīng)力時（p＞pc，圖1中的BC段，斜率為η），土結(jié)構(gòu)大部分破壞，故可建立分段壓縮方程為：

圖1 結(jié)構(gòu)性軟土壓縮曲線圖

1.2 非線性滲透模型的選取

Mesri＆Olson[15]根據(jù)實(shí)驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn)，土體孔隙比的變化范圍過大時，e-lgkv滲透模型可能并不適用，因此對該模型做出了一些修正，提出了lge-lgkv滲透模型：kv＝BeA。A，B為黏土滲透特性參數(shù)。該模型也可表示為：lgkv＝lgB＋Alge。

Al-Tabbaa＆Wood[16]、Aiban＆Znidarcic[17]和Pane＆Schiffman[18]通過試驗(yàn)證實(shí)了該模型能較好地描述孔隙比與滲透系數(shù)的關(guān)系。

本文采用這一非線性滲透模型，為了方便與lge-lgp進(jìn)行聯(lián)合推導(dǎo)方程，將方程改寫為：

式中：c稱為修正滲透系數(shù)。

1.3 非線性固結(jié)控制方程的建立

實(shí)際中大部分的施工荷載都是分級施加，假設(shè)施工荷載q（t）＝pi（當(dāng)ti＜t≤ti＋1，i＝1…m－1）；q（t）＝Q。由有效應(yīng)力原理p＝p0＋q（t）－u，對t求偏導(dǎo)得：

由壓縮方程式（1）得：

式中：St＝pc／p0為結(jié)構(gòu)應(yīng)力比。

式（4）兩端分別對時間t求偏導(dǎo)，并聯(lián)立式（1）、（2）得：上述各式中：e、p和kv分別為飽和土當(dāng)前孔隙比、有效應(yīng)力和滲透系數(shù)；e0、p0和kv0分別為飽和土初始孔隙比、初始有效應(yīng)力和初始滲透系數(shù)；u為當(dāng)前飽和土的超靜孔隙水壓力；q（t）為當(dāng)前施工荷載；γw為水重度。

小應(yīng)變條件下飽和軟土一維固結(jié)方程為：

將式（4）、（5）、（6）代入式（7），可得考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比與分級加載影響的一維非線性固結(jié)方程：

邊界條件和初始條件為：

u＝0（t＝t1＝0，0≤z≤H，H為土層厚度）

z＝0 u＝0

1.4 固結(jié)方程的差分法求解

方程（8）為二階非線性偏微分方程，本文采用Crank-Nicolson有限差分法來求解該偏微分方程。

對p＝p0＋q（t）－u兩邊關(guān)于z求導(dǎo)得：?u／?z＝γ′－?p／?z，則方程（8）可改寫為：

由有效應(yīng)力原理，故初始條件和邊界條件也相應(yīng)變?yōu)椋?/p>

p＝p0（t＝t1＝0，0≤z≤H，H為土層厚度）

z＝0p＝p0＋q（t）

z＝ H?p／?z＝γ′（底面不排水）或

p＝p0＋q（t）（底面排水）

方程（10）的差分格式為：

式中：ΔZ為空間步長；ΔT為時間步長；j代表空間節(jié)點(diǎn)數(shù)，j＝1，2，3，…m，其中m為土層離散結(jié)點(diǎn)總數(shù)；n代表時間節(jié)點(diǎn)數(shù)，n＝1，2，3，…。如令：

則上式整理后用一個通式表示為：

上式亦可用矩陣形式表示：

雙面排水時，E矩陣中元素2變?yōu)?，P、F表達(dá)式同前，同理Ej，F(xiàn)j（j＝2，3，…m－1）亦如前，E1＝1，Em＝1，F(xiàn)1＝，F(xiàn)m＝。

矩陣方程中關(guān)于未知數(shù)都是線性的，因此根據(jù)初始條件可以使用追趕法來求解。土層平均固結(jié)度采用謝康和等[19]建議的按孔壓定義的計算平均固結(jié)度公式，即：

式中：Up為土層平均固結(jié)度；q（t）為計算時刻的施工荷載；qu為施工結(jié)束后的荷載；uj（t）為計算時刻某深度點(diǎn)的孔壓。

根據(jù)上述算法，編制了相應(yīng)的C＋＋＆MFC計算程序來求解一維非線性固結(jié)問題。

2 考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性固結(jié)算例

假設(shè)分級施工荷載變化如圖2，固結(jié)參數(shù)如表1所示。差分計算假定空間步長取ΔZ＝0.05m，時間步長ΔT＝0.5d，修正滲透系數(shù)c＝0.14。

圖2 分級施工荷載變化規(guī)律

表1 固結(jié)有關(guān)參數(shù)

圖3和圖4分別為t＝150d時的孔隙水壓力隨深度變化曲線及固結(jié)度曲線。從圖中可以看出，考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的超孔隙水壓力遠(yuǎn)小于不考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的計算結(jié)果，且隨深度的增加差值越來越大，而太沙基線性固結(jié)的計算結(jié)果則介于兩者之間。這是由于土體結(jié)構(gòu)性的存在，當(dāng)有效固結(jié)應(yīng)力小于土結(jié)構(gòu)屈服應(yīng)力時，土體壓縮性較小，如果考慮了結(jié)構(gòu)應(yīng)力比，非線性固結(jié)分析得到的超孔隙水壓力有較明顯的消散，從而其固結(jié)度也要比不考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性固結(jié)度大些。當(dāng)有效固結(jié)應(yīng)力大于土的結(jié)構(gòu)屈服應(yīng)力后，土體結(jié)構(gòu)逐漸破壞，其孔壓發(fā)展與固結(jié)曲線變化較復(fù)雜，下節(jié)將詳細(xì)討論。

圖3 超孔隙水壓力與深度關(guān)系曲線

3 與現(xiàn)場實(shí)測值的比較分析

實(shí)測資料來源于文獻(xiàn)[20]，該工程位于深圳灣，土層為海相沉積軟土，結(jié)構(gòu)性強(qiáng)，土層的物理力學(xué)參數(shù)如表2所示?，F(xiàn)場試驗(yàn)加載方式簡化為分級加載，如圖5所示。

圖4 固結(jié)度與時間關(guān)系

加載過程5m深處的孔壓和固結(jié)度實(shí)測值與本文的非線性固結(jié)計算程序計算的結(jié)果比較如圖6和圖7。從圖中可以看出超孔隙水壓力變化曲線和固結(jié)度與實(shí)測值的曲線比較接近，計算結(jié)果證明了本文方法的有效性。

圖5 簡化的分級施工荷載

圖6 5m處超孔隙水壓力與時間關(guān)系

圖7 固結(jié)度與時間關(guān)系

表2 土層參數(shù)表

4 非線性參數(shù)對計算結(jié)果的影響分析

4.1 η／c比值變化影響

在非線性固結(jié)分析中，η／c比值的不同必定會固結(jié)過程有影響，Berry ＆ Wilkinson[21]指出：η／c在0.5～2之間，而且大多在0.5～1之間。為了考慮η／c比值變化對土體固結(jié)的影響，取η／c從0.1～3.0進(jìn)行分析。計算中固定c＝0.14，變化η來改變η／c比值，其中考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性參數(shù)λ均取0.007，不考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性參數(shù)取與η同值，線性固結(jié)參數(shù)不變以作為參考，其余參數(shù)同表1。限于篇幅，圖8給出了η／c＝0.1、0.3、0.5、0.7、1.0、1.2、1.5、2.0等8種比值的超孔隙水壓力－時間曲線以及固結(jié)度曲線。

從圖中可以看出，η／c比值對非線性固結(jié)速率有較大影響，η／c越小，固結(jié)速率越快。

當(dāng)η／c＜0.5時，不考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的固結(jié)曲線在線性固結(jié)與考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的固結(jié)曲線之間。比值較小時考慮與不考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的曲線差別不大，隨著η／c比值的增加，非線性固結(jié)與線性固結(jié)差值逐漸減小，不考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性固結(jié)曲線變化更快，逐漸接近線性固結(jié)曲線，特別是在固結(jié)初始階段。

隨著η／c比值的增加，不考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性固結(jié)曲線越過線性固結(jié)曲線，考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性固結(jié)與線性固結(jié)的差值逐漸減小，但在固結(jié)初始階段二者仍有較大差別。隨著η／c比值繼續(xù)增加，二者出現(xiàn)交點(diǎn)，交點(diǎn)位置位于外荷載等于結(jié)構(gòu)屈服應(yīng)力處，η／c比值增加，交點(diǎn)位置基本不變。

固結(jié)初始階段，在外荷載未達(dá)到土結(jié)構(gòu)屈服應(yīng)力之前，不考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性固結(jié)由于未考慮粘土天然結(jié)構(gòu)應(yīng)力的存在而高估了土體非線性的影響，致使計算的超孔隙水壓力偏大。太沙基線性固結(jié)既未考慮土的結(jié)構(gòu)應(yīng)力也未考慮土壓縮與滲透的非線性，綜合的結(jié)果是其固結(jié)曲線位于上述兩者之間。

在外荷載超過土結(jié)構(gòu)屈服應(yīng)力之后，土天然結(jié)構(gòu)逐漸破壞，但由于初始壓縮階段（未到達(dá)結(jié)構(gòu)屈服應(yīng)力之前）的差別，考慮與不考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的固結(jié)曲線并不重合，近似平行發(fā)展。太沙基線性固結(jié)因?yàn)楹雎粤斯探Y(jié)后期孔隙比和滲透系數(shù)的降低而高估了固結(jié)速度，隨著η／c比值的增加，非線性固結(jié)與線性固結(jié)曲線差值逐漸增加。

圖8 不同η／c比值的超孔壓－時間曲線及固結(jié)度曲線

4.2 進(jìn)一步的討論

上述分析是基于一組固定的參數(shù)（除η有變化）得出的結(jié)果，此外本文還進(jìn)行了不同參數(shù)取值的固結(jié)分析。研究結(jié)果表明，對于不同參數(shù)固結(jié)曲線變化規(guī)律一致，但3種曲線變化相對位置的η／c界限值有差異。

就工程實(shí)踐來說，η／c比值一般在0.5～1.2之間，考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性固結(jié)最接近天然粘土的固結(jié)特性。當(dāng)外荷載到達(dá)結(jié)構(gòu)屈服應(yīng)力之前，太沙基線性固結(jié)曲線接近考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性固結(jié)曲線，可以近似使用。但當(dāng)外荷載大于粘土的結(jié)構(gòu)屈服應(yīng)力之后，太沙基固結(jié)理論由于忽略了粘土固結(jié)的非線性而偏離實(shí)際情況較大。而不考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性固結(jié)理論由于沒有考慮固結(jié)初始階段粘土結(jié)構(gòu)性的影響而低估了粘土的固結(jié)速率，與實(shí)際也有較大偏差。

需要指出的是，本文并未考慮天然飽和軟粘土的蠕變影響，文獻(xiàn)[22]指出，在結(jié)構(gòu)性軟土固結(jié)過程中應(yīng)考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力和蠕變的雙重影響，否則會與實(shí)測結(jié)果偏差較大，并帶來安全隱患。

5 結(jié) 論

建立了考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的飽和軟粘土一維非線性固結(jié)控制方程，并采用有限差分法進(jìn)行了求解，針對不同η／c比值分析了飽和軟粘土的一維非線性固結(jié)性狀，研究得出以下結(jié)論：

1）非線性參數(shù)η／c的取值對固結(jié)速率有較大影響，η／c值越小孔壓消散越快，固結(jié)速率越大。

2）不考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性固結(jié)與太沙基線性固結(jié)在固結(jié)初始階段計算結(jié)果較接近，但隨著固結(jié)的發(fā)展，不考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性固結(jié)由于未考慮粘土天然結(jié)構(gòu)應(yīng)力的存在而高估了土體非線性的影響。

3）就工程實(shí)踐來說，η／c比值一般在0.5～1.2之間，考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)力比的非線性固結(jié)更接近天然粘土的固結(jié)性狀，本文計算結(jié)果與實(shí)測值的比較也說明了這一點(diǎn)。

[1]DAVIS E H，RAYMOND.A non-linear theory of consolidation[J].Geotechnique，1965，15（2）：161-173.

[2]MESRI G，CHOI Y K.Settlement analysis of embankments on soft clay[J]. Journal of the Geotechnical Engineering Division，ASCE，1985，111（4）：441-464.

[3]BARDEN L，BERRY P L.Consolidation of normally consolidation clay[J].Journal of the Soil Mechanics and Foundation Division，ASCE，1965，91（5）：15-35.

[4]XIE K H，XIE X Y，JIANG W.A study on one dimensional nonlinear consolidation of double-layered soil[J].Computers and Geotechnics，2002，29（2）：151-168.

[5]XIE K H，LEO C J.A study on one dimensional nonlinear consolidation of soft soils[R].School of Civic Engineering and Environment，UWS，Nepean，Australia，1999.

[6]曹宇春，陳云敏，黃茂松.任意施工荷載作用下天然結(jié)構(gòu)性軟粘土的一維非線性固結(jié)分析 [J].巖土工程學(xué)報，2006，28（5）：569-274.CAO YU-CHUN， CHEN YUN-MIN， HUANG MAOSONG.One-dimensional nonlinear consolidation analysis of structured natural soft clay subjected to arbitrarily time-dependent construction loading[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2006，28（5）：569-274.

[7]吳建，謝新宇，朱向榮.飽和土體一維復(fù)雜非線性固結(jié)特性研究 [J].巖土力學(xué)，2010，31（1）：615-620.WU JIAN，XIE XIN-YU，ZHU XIANG-RONG.Study of properties of 1-D complex nonlinear consolidation of saturated soils[J].Rock and Soil Mechanics，2010，31（1）：615-620.

[8]MENéNDEZ C，NIETO P J G，ORTEGA F A，et al.Non-linear analysis of the consolidation of an elastic saturated soil with incompressible fluid and variable permeability by FEM [J]. Applied Mathematics and Computation，2010，216：458-476.

[9]王俊，雷宏武，徐芬，等.變滲透系數(shù)軟土一維非線性固結(jié)沉降數(shù)值模擬 [J].地下水，2010，32（2）：155-157.WANG JUN，LEI HONG-WU，XU FEN，et al.Numerical simulation of soft soil no-linear consolidation settlement with variable hydraulic conductivity[J].Ground Water，2010，32（2）：155-157.

[10]商衛(wèi)東，白冰.荷載隨時間變化情況下非線性固結(jié)問題的求解方法 [J].水利與建筑工程學(xué)報，2010，8（1）：27-29.SHANG WEI-DONG，BAI BING.Analytical methods for nonlinear consolidation of saturated soils under time-dependent loading[J].Journal of Water Resources and Architectural Engineering，2010，8（1）：27-29.

[11]鄧岳保，謝康和.互補(bǔ)算法在一維非線性固結(jié)求解中的應(yīng)用 [J].巖土力學(xué)，2011，32（9）：2656-2662.DENG YUE-BAO，XIE KANG-HE.Application of complementary algorithm for solving one-dimensional nonlinear consolidation[J].Rock and Soil Mechanics，2010，2011，32（9）：2656-2662.

[12]沈珠江.軟土工程特性和軟土地基設(shè)計 [J].巖土工程學(xué)報，1998，20（1）：100-111.SHEN ZHU-JIANG.Engineering properties of soft soils and de sign of soft ground[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering，1998，20（1）：100-111.

[13]劉恩龍，沈珠江.結(jié)構(gòu)性土壓縮曲線的數(shù)學(xué)模擬[J].巖土力學(xué)，2006，27（4）：615-620.LIU EN-LONG， SHEN ZHU-JIANG. Modeling compression of structured soils[J].Rock and Soil Mechanics，2006，27（4）：615-620.

[14]CHAI J C，MIURA N，ZHU H H，et al.Compression and consolidation characteristics of structured natural clay[J].Canadian Geotechnical Journal，2004，41（6）：1250-1258.

[15]MESRI G，OLSON R E.Mechanisms controlling the permeability of clays[J].Clay and Clay Mineral，1971，19（3）：151-158.

[16]AL-TABBAA A，WOOD D M.Some measurements of the permeability of Kao-Lin[J].Getotechnique，1987，37（4）：499-503.

[17]AIBAN S A，ZNIDARCIC D.Evaluation of the flow pump and constant head techniques for permeability measurements[J].Geotechnique，1989，39（4）：655-666.

[18]PANE V，SCHIFFMAN R L.A note on sedimentation and consolidation[J].Geotechnique，1985，35（1）：69-72.

[19]謝康和，李冰河，鄭輝，等.變荷載下成層地基一維非線性固結(jié)分析 [J].浙江大學(xué)學(xué)報：工學(xué)版，2003，37（4）：426-431.XIE KANGHE，LI BINGHE，ZHENG HUI，et al.Analysis of one dimensional nonlinear consolidation of layered soils under time-dependent loading[J].Journal of Zhejiang University：Engineering Science，2003，37（4）：426-431.

[20]房后國.深圳灣結(jié)構(gòu)性淤泥土固結(jié)機(jī)理及模型研究[D].長春：吉林大學(xué)，2005.

[21]BERRY P L， WILKINSON W B. The radial consolidation of clay soils[J].Geotechnique，1969，19（2）：253-284.

[22]NASH D F T.RYDE S J.Modeling consolidation accelerated by vertical drains in soils subject to creep[J].Géotechnique，2001，51（3）：257-273.