靳 強(qiáng)，郭玉瓊(十堰市柳林中學(xué)，湖北 十堰 442000)

芻議分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

靳 強(qiáng)，郭玉瓊(十堰市柳林中學(xué)，湖北 十堰 442000)

在討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時，初學(xué)者往往容易對分段點(diǎn)2邊的函數(shù)表達(dá)式利用導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則求導(dǎo)，然后分別取極限來判定。分析了利用導(dǎo)數(shù)的基本公式討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)中存在的問題，并給出了該方法可行性的特定條件。

分段函數(shù)；分段點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)；連續(xù)

對于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)及判定導(dǎo)數(shù)存在與否，常用的方法有如下2種：該點(diǎn)不連續(xù)則該點(diǎn)必不可導(dǎo)；利用導(dǎo)數(shù)的定義來判定左右導(dǎo)數(shù)是否存在相等。

對于微積分的初學(xué)者來說，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)最簡便方法是利用導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則，故出現(xiàn)很多初學(xué)者對于求分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不采用導(dǎo)數(shù)定義來討論的情況，而是直接利用導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則求導(dǎo)，然后再取極限或直接代入。由于分段函數(shù)本身具有的特性不一樣，有時候該種方法求分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)是可行的，有時候則不然，這讓很多初學(xué)者產(chǎn)生了很大的困惑。為此，筆者通過實例對該類問題進(jìn)行了分析說明，并給出了該方法的可行性特定條件。

1 實例分析

解法1因為：

解法2因為：

巧合的是這2種解法的結(jié)果又是完全正確的，這是偶然還是必然？如果是必然，那理論依據(jù)是什么？

2 用導(dǎo)數(shù)的基本公式討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)可行性的條件

該導(dǎo)數(shù)的極限定理同樣也適合求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

定理2的證明和定理1基本類似，這里就不加詳述。有了定理2的理論支撐，那么例1中解法2的正確性就不是偶然的。但也要注意對于定理2的使用的條件，不然也會出現(xiàn)紕漏。

對例1稍加修改得到下述例題：

解因為：

但利用導(dǎo)數(shù)的定義求解：

一個題2種解法得出2個不同的答案，似乎都對，真正的問題出在哪里？

3 結(jié) 語

綜合上面的討論，實際上對于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)是否存在的問題，用導(dǎo)數(shù)的定義來求解是最廣泛適用的方法。上述的2個定理也為初學(xué)者提供了一種新思路，更重要的是找到了容易產(chǎn)生混淆和困惑的地方。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上)[M].北京：高等教育出版社, 2003.

[2] 彭娟,郭夕敬.分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)[J].高等數(shù)學(xué)研究, 2009, 12(5):19-21.

[編輯] 洪云飛

O172.1

A

1673-1409(2012)05-N011-02

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.05.005

2012-02-25

靳強(qiáng)(1977-)，男，2001年大學(xué)畢業(yè)，中學(xué)高級教師，現(xiàn)主要從事數(shù)學(xué)理論方面的教學(xué)與研究工作。