張 野 (公安消防部隊(duì)昆明指揮學(xué)校訓(xùn)練部文化教研室，云南 昆明 650208)

賈衛(wèi)華 (遼寧科技學(xué)院學(xué)報(bào)編輯部，遼寧 本溪 117004)

利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化多元積分運(yùn)算技巧探析

張 野 (公安消防部隊(duì)昆明指揮學(xué)校訓(xùn)練部文化教研室，云南 昆明 650208)

賈衛(wèi)華 (遼寧科技學(xué)院學(xué)報(bào)編輯部，遼寧 本溪 117004)

多元積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。在總結(jié)了二重積分、三重積分、第一類型的曲線積分和曲面積分的一般計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，著重討論如何利用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化多元積分的運(yùn)算技巧。

二重積分；三重積分；對(duì)稱性

積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)學(xué)科中一個(gè)重要的組成部分，根據(jù)一元函數(shù)的定積分的幾何意義，可以得到一種解題技巧—利用函數(shù)對(duì)稱性[1]求解:

若函數(shù)f(x)在其對(duì)稱的定義域區(qū)間[-a,a]上連續(xù)，則：

同理，二重積分、三重積分、第一類曲線積分和曲面積分中也可以應(yīng)用對(duì)稱性質(zhì)，這些對(duì)稱性質(zhì)與定積分比較有共性性，也有對(duì)稱性本身的特性；在大學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)課本中很少提及，但是在一些升本、考研等考試中卻不乏出現(xiàn)。通過(guò)找共性和特性，找出相應(yīng)的規(guī)律后，對(duì)積分求解問(wèn)題有很大的幫助。

1 n重積分的概念

設(shè)n元函數(shù)f(x1,x2, …，xn)定義在n維可求體積的區(qū)域V上。如二元積分概念，通過(guò)對(duì)V的分割、近似求和、取極限的過(guò)程，便得到n元積分的概念：

(1)

與二重積分相仿，n重積分也有如下一些結(jié)論：

若f(x1,…,xn)在n維有界閉區(qū)域V上連續(xù)，則n重積分(1)必存在。

當(dāng)V由不等式組a1≤x1≤b1，a2(x1)≤x2≤b2(x1),…,an(x1,…,xn-1)≤xn≤bn(x1,…,xn-1)表示時(shí)，則有：

2 利用對(duì)稱性優(yōu)化二重積分的計(jì)算

根據(jù)被積函數(shù)不同的奇、偶性和不同的積分區(qū)域，應(yīng)用對(duì)稱性質(zhì)分別用下述3個(gè)命題[2]可以對(duì)二重積分進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。

命題1假設(shè)被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域D上是連續(xù)的:

命題2假設(shè)被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域D上是連續(xù)的，且D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(D1、D2為D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的2部分區(qū)域)，則:

命題3假設(shè)被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域D上是連續(xù)的，且D關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則：

式中,D1,D2為D關(guān)于直線y=x對(duì)稱的2部分區(qū)域。

注意：只有被積函數(shù)和積分區(qū)域都具有對(duì)稱性時(shí)，才能用上述3個(gè)命題進(jìn)行計(jì)算。

3 利用對(duì)稱性優(yōu)化三重積分的計(jì)算

命題4假設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Ω上是連續(xù)的：

命題5假設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Ω上是連續(xù)的：

命題6假設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Ω上是連續(xù)的，且Ω關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：

式中，Ω1，Ω2是Ω關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的2部分。

此外，還可以利用輪換對(duì)稱性優(yōu)化三重積分的計(jì)算。輪換對(duì)稱性[3]定義如下：若被積函數(shù)或積分區(qū)域的表達(dá)式里，將變量x,y,z按如下次序排列：x→y;y→z;z→x后，表達(dá)式均不發(fā)生變化，則被積函數(shù)或積分區(qū)域關(guān)于3個(gè)變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性。

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)對(duì)多元函數(shù)積分及定積分的共性和特性進(jìn)行比較，能明確地認(rèn)識(shí)到對(duì)稱性在解多元積分題目中的重要性。能夠熟練地理解和掌握應(yīng)用對(duì)稱性的解題方法，對(duì)提高積分性質(zhì)的理解和解題效率有很大幫助。應(yīng)用好對(duì)稱性，不但可以優(yōu)化定積分的運(yùn)算，也可以優(yōu)化二重、三重積分的運(yùn)算，還可以優(yōu)化第一類及第二類曲線積分的運(yùn)算，在以后的研究中，應(yīng)逐步完善對(duì)稱性在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

[1]龔冬保，武忠祥，毛懷遂.高等數(shù)學(xué)典型題解法[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2000:290-314.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].北京：高等教育出版社，1987:261-262.

[3]毛綱源.高等數(shù)學(xué)解題方法技巧歸納(下冊(cè))[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002:271-285.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.02.047

O171.2

A

1673-1409(2012)02-N138-03

2011-12-26

張野(1985-)，女，2007年大學(xué)畢業(yè)，助理講師，現(xiàn)主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。