繆 清

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 云南 昆明 650500)

一類帶奇異系數(shù)p(x)-Kirchhoff型問題解的存在性

繆 清

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 云南 昆明 650500)

利用變分方法和變系數(shù)的Sobolev空間中的相關(guān)定理研究了一類帶奇異系數(shù)的p(x)-Kirchhoff型問題解的存在性和多解性．

p(x)-Kirchhoff型方程; 廣義Lebesgue-Sobolev空間; 存在性

0 引言

本文主要考慮方程

(1)

問題(1)產(chǎn)生于Kirchhoff[6]提出的模型

(2)

關(guān)于p-Kirchhoff型的問題已經(jīng)有了大量的結(jié)論[7,8].近期關(guān)于p(x)-Kirchhoff問題的研究也有了相應(yīng)的結(jié)論[9].本文受文[4]的啟發(fā),研究p(x)-Laplace-Kirchhof型問題解的存在性.本文分為三部分,第二部分主要介紹變系數(shù)Sobolev空間中的相關(guān)結(jié)論.第三部分為問題(1)弱解存在的結(jié)論.

1 p(x)-Laplace算子在空間Lp(x)(RN),W1,p(x)(Rn)中的重要性質(zhì)

為了討論問題(1),需要用到關(guān)于空間Lp(x)(RN),W1,p(x)(Rn)和p(x)-Laplace算子的一些性質(zhì).記S(RN)為RN上可測實(shí)函數(shù)的集合,

h+=esssupx∈RNh(x),h-=essinfx∈RNh(x),h∈S(RN),

h1?h2即essinfx∈RN(h2(x)-h1(x))>0,

C+(RN)={h|h∈C(RN),h-≥1,x∈RN},

本文假設(shè)1

則(Lp(x)(RN),|·|p(x))成為Banach空間,稱之為廣義Lebesgue空間,并且該空間是可分的自反的[10].定義空間W1,p(x)(RN)，如下:

W1,p(x)(RN)={u∈Lp(x)(RN)||u|∈Lp(x)(RN)},

空間W1,p(x)(RN)的范數(shù)為

‖u‖=|u|p(x)+|u|p(x),?u∈W1,p(x)(RN).

定義

賦予范數(shù)

命題1[4]假設(shè)a∈Lr(x)(RN),a(x)>0a.e.x∈RN,r(x)∈C+(RN),r->1.如果q(x)∈C(RN)且

記X:=W1,p(x)(RN)

2 解的存在性

本節(jié)主要討論問題(1)弱解的存在性.

定義1 如果u∈X滿足

則稱u∈X為(1)的弱解.記:

其中

假設(shè)f(x,t)和M(t)滿足以下條件:

(M0) ?m0>0使得對所有的t≥0有M(t)≥m0.

命題3[4]Ψ∈C1(X,R)且Ψ,Ψ′是弱強(qiáng)連續(xù)的.

如果將問題(1)的能量函數(shù)定義為I=Φ(u)-Ψ(u),可以知道I∈C1(X,R)且是弱下半連續(xù)的.所以u∈X是問題(1)的弱解當(dāng)且僅當(dāng)u是I的臨界點(diǎn).更有甚者,

注1 由(M0)和命題2,Φ′是(S+)型的,由命題3.1,Ψ′是弱強(qiáng)連續(xù)的,則I′是(S+)型的.

定義2 稱I在X中滿足(PS)條件,若任意序列{un}?X滿足I(un)有界而且當(dāng)n→∞時(shí)有I′(un)→0,有一個(gè)收斂的子序列.

引理1 如果M滿足(M0),(M1),f滿足下面條件:

其中

引理2[4]假設(shè)Θ:X→R弱強(qiáng)連續(xù),Θ(0)=0,γ>0是一個(gè)給定的常數(shù).令

βk=βk(γ)=sup{Θ(u)|‖u‖≤γ,u∈Zk},

則βk→0(k→∞).

(f2)f(x,-t)=-f(x,t), ? (x,t)∈RN×R;

(f3) 存在有界開集Ω?RN,常數(shù)δ,σ,ε>0有F(x,t)≥σtε-1,?(x,t)∈Ω×(0,σ),1≤ε

則問題(1)存在一列解{±uk,k=1,2,…}使得I(±uk)<0,I(±uk)→(k→∞).

因?yàn)镮弱下半連續(xù),因此I在X中有極小值點(diǎn)u,u為問題(1)的弱解.

由條件(f2),I是偶函數(shù).因?yàn)镮在X上是強(qiáng)制的,由引理1,I滿足(PS)條件.記γ(A)為A的虧格,令

ck=infx∈Rksupu∈AI(u),k=1,2,…,

當(dāng)t>t0,由(M1)可以計(jì)算得到

其中t0為任意的正常數(shù).

致謝: 本文由云南民族大學(xué)青年基金項(xiàng)目資助(11QN10), 在此表示感謝!

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[責(zé)任編輯：李春紅]

ExistenceofSolutionsforp(x)-KirchhoffTypeEquationswithSingularCoefficientsinRN

MIAO Qing

(School of Mathematics and Computer Science, Yunnan Nationality University, Kunming Yunnan 650500, China)

In this paper, we study the existence of infinite solutions to thep(x)-Kirchhofftype equations with singular coefficients inRN. By means of a direct variational approach and the theory of the variable exponent Sobolev spaces, we establish conditions ensuring the existence and multiplicity of solutions for the problem.

p(x)-kirchhoff type equations; generalized Lebesgue-sobolev spaces; existence

O175.6

A

1671-6876(2012)03-0221-05

2012-03-02

繆清(1984-), 女, 云南馬龍人, 講師, 博士, 研究方向?yàn)槠⒎址匠碳皯?yīng)用.