溫忠麟 羅冠中

試卷中的模塊是指一組題目，模塊化科目的試卷含有多個(gè)模塊，其中有一個(gè)模塊是該科考生必答的，另有若干模塊，由學(xué)生自行選答。不論是必考科目還是選考科目，都可以設(shè)計(jì)模塊化試卷，成為模塊化科目。2012年開始的香港中學(xué)文憑考試（HKDSE）①2012年之前，香港的學(xué)制和英國的一樣，中學(xué)5年，預(yù)科2年，大學(xué)本科3年。2012年開始改為和內(nèi)地學(xué)制一樣，即初中3年，高中3年，大學(xué)本科4年。之前的會(huì)考和高考則合并成一次考試“中學(xué)文憑考試”。，許多科目都是模塊化科目。例如，英語是必考科目，有4個(gè)分卷（閱讀、寫作、聆聽和口語），其中閱讀和聆聽都是模塊化設(shè)計(jì)。以閱讀為例，其中有一個(gè)模塊是必答的，另有兩個(gè)模塊讓考生選擇其中一個(gè)。兩個(gè)選答模塊中，一個(gè)模塊比較容易，另一個(gè)模塊則比較難。顯然，這樣的模塊化設(shè)計(jì)是不能使用原始分的，一定要解決模塊之間的分?jǐn)?shù)等值轉(zhuǎn)換問題。又如，資訊與通訊科技是選考科目，有4個(gè)選答模塊。雖然事先不知道哪個(gè)模塊比較難，但可以肯定的是難易程度不會(huì)是相同的，除非碰巧。所以，只要有模塊化科目或者模塊化分卷設(shè)計(jì)，就需要等值轉(zhuǎn)換。

因?yàn)槟K化科目有一個(gè)模塊是必答的，所以等值轉(zhuǎn)換的思路是以必答模塊為“橋梁”，實(shí)現(xiàn)選答模塊的等值，相應(yīng)的等值設(shè)計(jì)為通常教科書上說的鉚測(cè)驗(yàn)—非等組設(shè)計(jì)（漆書青，戴海崎，丁樹良，2002），其中必答模塊題目為鉚題。相對(duì)于整份試卷，每個(gè)模塊的題目往往較少（甚至只有一個(gè)題目），并且是在原始分?jǐn)?shù)處理的早期階段，所以模塊之間的分?jǐn)?shù)通常都不會(huì)使用項(xiàng)目反應(yīng)理論（IRT）進(jìn)行等值。一種常規(guī)方法是等百分位等值（equipercentile；漆書青等，2002）。和其他等值方法一樣，等百分位等值也需要假設(shè)不同模塊都是測(cè)試相同的能力。

等百分位等值原理容易理解，簡單說就是，比較同一組考生在模塊A和模塊B的表現(xiàn)，將兩個(gè)模塊中百分等級(jí)（percentage rank）相同的分?jǐn)?shù)作為是等值的，這樣就實(shí)現(xiàn)了模塊A和模塊B的分?jǐn)?shù)等值。例如，同一組考生在模塊A中分?jǐn)?shù)低于25的有40%，在模塊B中分?jǐn)?shù)低于30的有40%，則認(rèn)為模塊A的25分與模塊B的30分等值。

對(duì)于等百分位等值，無論是從統(tǒng)計(jì)原理的描述還是對(duì)原理的理解都沒有多少問題，問題在于針對(duì)具體考試中不同的設(shè)計(jì)，如何實(shí)現(xiàn)等值的具體計(jì)算。本文以香港中學(xué)文憑考試為例，介紹不同設(shè)計(jì)情況下模塊之間的實(shí)際等值轉(zhuǎn)換方法，但首先要介紹如何實(shí)現(xiàn)等百分位等值的計(jì)算。

1 兩個(gè)模塊的等百分位等值轉(zhuǎn)換計(jì)算方法

在考慮將兩個(gè)模塊分?jǐn)?shù)等值時(shí)，所謂的考生是指同時(shí)參加了兩個(gè)模塊考試的考生。下面是等百分位等值的具體步驟，可以實(shí)現(xiàn)模塊A分?jǐn)?shù)到模塊B分?jǐn)?shù)的等值轉(zhuǎn)換：

第1步：頻數(shù)分析

分別對(duì)模塊A和模塊B做頻數(shù)分析，得到頻數(shù)表：

（1）將考生按分?jǐn)?shù)由低到高（升序）排隊(duì)；

（2）對(duì)每個(gè)可能的分?jǐn)?shù)（0分到滿分），計(jì)算得到該分?jǐn)?shù)的考生人數(shù)；

（3）對(duì)每個(gè)可能的分?jǐn)?shù)，計(jì)算低于該分?jǐn)?shù)的考生人數(shù)。

第2步：計(jì)算每個(gè)考生的百分等級(jí)

分別對(duì)模塊A和模塊B計(jì)算每個(gè)考生的百分等級(jí)。如果有多個(gè)考生獲得相同的分?jǐn)?shù)，如何計(jì)算比其分?jǐn)?shù)低的考生人數(shù)呢？如果理解為嚴(yán)格低于該分?jǐn)?shù)的考生人數(shù)百分比，可以想到，有時(shí)候分?jǐn)?shù)變化一分，百分等級(jí)會(huì)激烈變化。比較合理的做法是，將同樣分?jǐn)?shù)的考生，視為有一半人低于該分?jǐn)?shù)，另一半人則高于該分?jǐn)?shù)。這樣，一個(gè)給定分?jǐn)?shù)x的百分等級(jí)為：

其中B為低于分?jǐn)?shù)x的考生人數(shù)，E為等于分?jǐn)?shù)x的考生人數(shù)，N為所有考生人數(shù)。

第3步：建立模塊A到模塊B的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換公式

為了容易區(qū)分，將模塊A的分?jǐn)?shù)x的百分等級(jí)記為PrA（x），模塊B的分?jǐn)?shù)y的百分等級(jí)記為PrB（y）。通常，模塊A的一個(gè)分?jǐn)?shù)x（百分等級(jí)為PrA（x），在模塊B中未必剛好有現(xiàn)成的一個(gè)分?jǐn)?shù)y，其百分等級(jí)PrA（y）與PrA（x）正好相等。但我們可以在模塊B中找到兩個(gè)相鄰的分?jǐn)?shù)y1和y2（其中y1＜y2），使得相應(yīng)的百分等級(jí)滿足PrB（y1）≤PrA（x）＜PrB（y2），然后用線性插值方法計(jì)算與x對(duì)應(yīng)的等值分?jǐn)?shù)f（x）。計(jì)算y1、y2和線性插值公式如下：

y=f（x）就是模塊A的分?jǐn)?shù)x在模塊B中的等值分?jǐn)?shù)。顯然，當(dāng)PrB（y1）=PrA（x），f（x）=y1。一些特殊點(diǎn)的轉(zhuǎn)換如下：

（1）f（0）=0;

（2）如果PrA（x）＜PrB（0），則f（x）=0;

（3）如果PrA（x）≥PrB（full_B），則f（x）=full_B，其中full_B是模塊B的滿分值。

第4步：將模塊A的每個(gè)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換到模塊B的等值分?jǐn)?shù)

使用上面建立的公式y(tǒng)=f（x），就可以將模塊A的每個(gè)分?jǐn)?shù)，都轉(zhuǎn)換到模塊B中的一個(gè)分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)換后的分?jǐn)?shù)四舍五入后，稱為模塊B等值分?jǐn)?shù)，以區(qū)別于模塊B分?jǐn)?shù)。

通過上述步驟，就可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)模塊到另一個(gè)模塊的分?jǐn)?shù)等值轉(zhuǎn)換，這是模塊化試卷等值轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)。

需要注意的是，零分考生通常只是寫個(gè)名字什么都不做，反映不了真實(shí)能力。如果零分考生不是偶然的一兩個(gè)，應(yīng)當(dāng)先將所有零分考生剔除后再進(jìn)行等值轉(zhuǎn)換。

2 普通選答模塊的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換

一般的模塊化試卷，兩個(gè)或多個(gè)選答模塊處于平等地位，事先不會(huì)有意地讓某個(gè)模塊更難或者更易，而是盡可能使不同選答模塊的難度相當(dāng)，這樣的選答模塊稱為普通選答模塊，簡稱為選答模塊。例如，香港中學(xué)文憑考試選考科目中，“企業(yè)、會(huì)計(jì)與財(cái)務(wù)概論”有2個(gè)選答模塊，必答模塊占40%，選答模塊占60%?！百Y訊與通訊科技”有4個(gè)選答模塊，必答模塊占55%，選答模塊占25%，校本評(píng)核占20%?！霸O(shè)計(jì)與應(yīng)用科技”是5個(gè)選答模塊任選其中2個(gè)，必答模塊占30%，選答模塊占30%，校本評(píng)核占40%。這種選答模塊進(jìn)行等百分位等值時(shí)，不宜采用通常教科書中的“鏈等百分位等值”。

所謂鏈等百分位等值（漆書青等，2002），是將選答模塊甲分?jǐn)?shù)等值到必答模塊分?jǐn)?shù)（用模塊甲考生數(shù)據(jù)），再將必答模塊分?jǐn)?shù)等值到選答模塊乙分?jǐn)?shù)（用模塊乙考生數(shù)據(jù)），實(shí)現(xiàn)模塊甲與模塊乙的等值。這種鏈等百分位等值的缺點(diǎn)是模塊甲考生分?jǐn)?shù)需要經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)換才能轉(zhuǎn)換到模塊乙等值分?jǐn)?shù)，而模塊乙考生分?jǐn)?shù)是原來的分?jǐn)?shù)，這樣兩個(gè)模塊就不平等。如所知，分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換其實(shí)是一種估計(jì)，會(huì)有估計(jì)誤差，兩次轉(zhuǎn)換的估計(jì)誤差還可能會(huì)累積。

比較公平的做法是，將每個(gè)選答模塊分?jǐn)?shù)都轉(zhuǎn)換到必答模塊等值分?jǐn)?shù)，做法是將選答模塊視為模塊A，將必答模塊視為模塊B，使用同時(shí)參加了選答模塊和必答模塊的考生數(shù)據(jù)，按上一節(jié)的步驟，就可以實(shí)現(xiàn)選答模塊到必答模塊的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換。這樣做，每個(gè)選答模塊的分?jǐn)?shù)都轉(zhuǎn)換了一次，然后按預(yù)設(shè)的權(quán)重（必答模塊和選答模塊權(quán)重）計(jì)算全卷分?jǐn)?shù)。

3 包含難易選答模塊的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換

出于特殊的考慮，有的科目可能會(huì)有難易不同的選答模塊，并且命題的時(shí)候就明確了哪個(gè)模塊易、哪個(gè)模塊難。例如，香港中學(xué)文憑考試的英語，閱讀分卷和聆聽分卷都有三個(gè)模塊：必答模塊、易模塊和難模塊。這時(shí)，如果還是將易模塊和難模塊分?jǐn)?shù)都等值轉(zhuǎn)換到必答模塊，對(duì)于易模塊而言，問題不大，但對(duì)于難模塊，轉(zhuǎn)換的時(shí)候就會(huì)出現(xiàn)所謂的“天花板效應(yīng)”，即在難模塊排名靠前的許多考生分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)換到必答模塊后都變成了（必答模塊的）滿分或接近滿分，這部分考生在難模塊上的不同表現(xiàn)難于區(qū)分，設(shè)置難模塊失去了意義。

較好的做法是，采用鏈等百分位等值，將易模塊分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換到必答模塊等值分?jǐn)?shù)（用易模塊考生數(shù)據(jù)），再將必答模塊分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換到難模塊等值分?jǐn)?shù)（用難模塊考生數(shù)據(jù)）。最后，每個(gè)考生都有一個(gè)必答模塊分?jǐn)?shù)和一個(gè)難模塊分?jǐn)?shù)（或者等值分?jǐn)?shù)），將兩種分?jǐn)?shù)按預(yù)設(shè)的權(quán)重（必答模塊權(quán)重和難模塊權(quán)重）計(jì)算全卷分?jǐn)?shù)。具體步驟如下：

第1步：將易模塊的每個(gè)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為必答模塊等值分?jǐn)?shù)

將易模塊作為模塊A，必答模塊作為模塊B，利用同時(shí)參加了這兩個(gè)模塊的考生數(shù)據(jù)，按第一節(jié)中的步驟，就可以將每個(gè)易模塊分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)換為必答模塊等值分?jǐn)?shù)。為了減少誤差，轉(zhuǎn)換后的分?jǐn)?shù)暫時(shí)不要四舍五入。

第2步：將必答模塊的每個(gè)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為難模塊等值分?jǐn)?shù)

將必答模塊作為模塊A，難模塊作為模塊B，利用同時(shí)參加了這兩個(gè)模塊的考生數(shù)據(jù)，按第一節(jié)中的步驟，就可以將每個(gè)必答模塊分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)換為難模塊等值分?jǐn)?shù)。為了減少誤差，轉(zhuǎn)換后的分?jǐn)?shù)暫時(shí)不要四舍五入。

第3步：將易模塊的每個(gè)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為難模塊等值分?jǐn)?shù)

根據(jù)第1步結(jié)果，對(duì)于易模塊的每個(gè)分?jǐn)?shù)Ei，都有一個(gè)必答模塊等值分?jǐn)?shù)Equa_Ei（帶有小數(shù)），可以找到必答模塊的兩個(gè)相鄰分?jǐn)?shù)Ci1和Ci2，使得Ci1≤Equa_Ei＜Ci2。而根據(jù)第2步結(jié)果，必答模塊分?jǐn)?shù)Ci1和Ci2在難模塊有相應(yīng)的等值分?jǐn)?shù)，分別記為Equa_Ci1和Equa_Ci2。用線性插值方法，易模塊分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為難模塊等值分?jǐn)?shù)的公式為：

顯然，當(dāng)Equa_Ei=Ci1時(shí)，f（Ei）=Equa_Ci1。如果Equa_Ei超過了必答模塊的滿分值，則f（Ei）等于必答模塊滿分值對(duì)應(yīng)的難模塊等值分?jǐn)?shù)。

和前面說過的一樣，鏈等百分位等值使得易模塊分?jǐn)?shù)被轉(zhuǎn)換了兩次，誤差會(huì)累積，但為了將高能力考生區(qū)分出來，避免“天花板效應(yīng)”，將易模塊分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換到難模塊等值分?jǐn)?shù)是比較好的做法。此外，易模塊排名靠后的一些考生分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)換到難模塊等值分?jǐn)?shù)后都變成了（難模塊的）零分或接近零分，出現(xiàn)所謂的“地板效應(yīng)”，這部分考生在易模塊上的不同表現(xiàn)難以區(qū)分。不過，根據(jù)“兩害相權(quán)取其輕”的原則，情愿出現(xiàn)“地板效應(yīng)”也要避免“天花板效應(yīng)”，因?yàn)楦呖嫉淖饔檬沁x拔人才，很有必要區(qū)分能力高端的學(xué)生，而沒有太多必要區(qū)分能力低端的考生，無論用什么方法轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)，這部分考生都會(huì)落榜。

說明一下，香港中學(xué)文憑考試的每一科，都會(huì)按考生分?jǐn)?shù)評(píng)級(jí)，包括1～5級(jí)，其中5級(jí)中排名最靠前的10%評(píng)級(jí)為5**，接下來的30%評(píng)級(jí)為5*，剩下的60%評(píng)級(jí)就是5。還有一個(gè)規(guī)則是，選答易模塊的考生，在該分卷最高只能達(dá)到4級(jí)。這些都是考試設(shè)計(jì)的政策規(guī)定。

4 全科—半科分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換

香港中學(xué)文憑考試的選考科目中，不僅有物理、化學(xué)和生物這些人們熟悉的科目，還有一個(gè)特殊的科目，叫做組合科學(xué)（Combined Science），考生可以選擇物理、化學(xué)和生物三科中的任何兩科，其中的任何一科只是組合科學(xué)這個(gè)科目的半科，考試范圍占了全科的一半左右，即組合科學(xué)是由兩個(gè)半科組成。半科的題目大多數(shù)來自全科，這些題目就成了全科（如物理）和相應(yīng)半科（如組合科學(xué)中的半科物理）的共同題，簡稱為全科—半科共同題。

這種全科—半科設(shè)計(jì)，還是使用等百分位等值方法進(jìn)行分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換。不過，單單用半科考生的數(shù)據(jù)是不夠的，需要用到全科考生的數(shù)據(jù)。以物理全科—半科為例說明分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換的步驟。第一步是使用物理半科考生數(shù)據(jù)，將半科分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換到共同題分?jǐn)?shù)；第二步是使用物理全科考生數(shù)據(jù)，將共同題分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換到全科分?jǐn)?shù)。這樣，就將半科分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換到全科分?jǐn)?shù)了。

不過，因?yàn)橄愀壑袑W(xué)文憑考試最后是看等級(jí)，所以關(guān)鍵是如何根據(jù)物理全科的等級(jí)切分點(diǎn)（cut point，即每個(gè)級(jí)別的最低分?jǐn)?shù)），去確定物理半科的等級(jí)切分點(diǎn)。這樣，轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)的問題，變成轉(zhuǎn)換切分點(diǎn)的問題。但轉(zhuǎn)換過程與上面說的剛好相反，因?yàn)檗D(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)是要將每個(gè)半科分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換到一個(gè)全科分?jǐn)?shù)，而轉(zhuǎn)換切分點(diǎn)卻是要將每個(gè)全科切分點(diǎn)轉(zhuǎn)換到一個(gè)半科切分點(diǎn)。思路是，先將全科切分點(diǎn)轉(zhuǎn)換到共同題切分點(diǎn)，再將共同題切分點(diǎn)轉(zhuǎn)換到半科切分點(diǎn)。步驟如下：

第1步：得到全科的等級(jí)切分點(diǎn)

首先要得到全科（即物理、化學(xué)和生物）分?jǐn)?shù)1～5級(jí)的切分點(diǎn)。如何得到全科的等級(jí)切分點(diǎn)是與模塊化科目等值不同的問題，需要從香港中學(xué)文憑考試必考科目中文、英語、數(shù)學(xué)和通識(shí)的等級(jí)入手，這里不擬涉及。

第2步：將全科切分點(diǎn)轉(zhuǎn)換到全科—半科共同題切分點(diǎn)

使用全科考生數(shù)據(jù)，將全科切分點(diǎn)轉(zhuǎn)換到全科—半科共同題切分點(diǎn)。這個(gè)過程類似于將模塊A的一個(gè)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換到模塊B等值分?jǐn)?shù)。

第3步：全科—半科共同題切分點(diǎn)轉(zhuǎn)換到半科切分點(diǎn)

使用半科考生數(shù)據(jù)，將全科—半科共同題切分點(diǎn)轉(zhuǎn)換到半科切分點(diǎn)。這個(gè)過程也類似于將模塊A的一個(gè)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換到模塊B等值分?jǐn)?shù)。

第4步：得到組合科學(xué)切分點(diǎn)

對(duì)于某個(gè)等級(jí)（如3級(jí)），將兩個(gè)半科的切分點(diǎn)相加，就是該等級(jí)的切分點(diǎn)。例如，假設(shè)物理半科的3級(jí)切分點(diǎn)是70，而化學(xué)半科3級(jí)切分點(diǎn)是60，則綜合科目（物理和化學(xué)）的3級(jí)切分點(diǎn)是130。

5 討論

大陸從2004年開始啟動(dòng)的高中新課程改革，讓學(xué)生從高二起，可以根據(jù)自己的愛好和能力傾向選擇適合自己的選修課程。本來，作為改革的配套措施，高考科目的模塊化可以說呼之欲出。然而，由于還使用原始分?jǐn)?shù)，使得高考模塊化科目難以推行。有的科目試卷有少量選答題，在沒有分?jǐn)?shù)等值轉(zhuǎn)換的情況下，只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在命題的時(shí)候盡量使得各選答題的難度相當(dāng)。但經(jīng)驗(yàn)有時(shí)候是不靠譜的，有模塊化設(shè)計(jì)的科目，應(yīng)當(dāng)有配套的分?jǐn)?shù)等值轉(zhuǎn)換方法。

無論什么等值方法，都有其前提假設(shè)、適用范圍和缺點(diǎn)。沒有一種方法絕對(duì)比另一種方法好，需要根據(jù)具體的考試科目設(shè)計(jì)，選擇缺點(diǎn)較小、操作可行、較易為持分者理解和接受的方法。

理論上說，如果兩個(gè)模塊的分?jǐn)?shù)分布都服從正態(tài)分布，則等百分位等值就成了線性等值。其實(shí)，只要兩個(gè)模塊的分?jǐn)?shù)分布完全相同，等百分位等值就是線性等值。但在實(shí)踐中，兩個(gè)模塊的分?jǐn)?shù)分布很難一模一樣，也不會(huì)剛好是正態(tài)分布，有些分?jǐn)?shù)上的頻數(shù)明顯偏多或偏少，結(jié)果是百分等級(jí)不是隨著分?jǐn)?shù)的增加而逐漸上升，而是時(shí)快時(shí)慢。我們將同樣分?jǐn)?shù)的考生，視為一半低于該分?jǐn)?shù)、一半高于該分?jǐn)?shù)，在一定程度上減輕了百分等級(jí)波動(dòng)幅度。

如果是通過樣本考生分?jǐn)?shù)建立等值轉(zhuǎn)換關(guān)系，但需要對(duì)總體考生分?jǐn)?shù)進(jìn)行等值轉(zhuǎn)換，等百分位等值也可能有問題，因?yàn)闃颖究忌謹(jǐn)?shù)范圍可能比總體考生分?jǐn)?shù)范圍窄，因而總體考生的低分段或者高分段，可能無法確定等值關(guān)系。不過，我們不是抽樣建立等值轉(zhuǎn)換關(guān)系，而是使用全體考生分?jǐn)?shù)，除了個(gè)別缺考情況外，用來建立等值轉(zhuǎn)換關(guān)系的考生就是需要轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)的考生，即總體和樣本是相同的。在香港中學(xué)文憑考試英語科有難易模塊設(shè)計(jì)時(shí)，用到了鏈等百分位等值，在建立必答模塊到難模塊的等值轉(zhuǎn)換時(shí)，用的是難模塊考生數(shù)據(jù)，而需要使用該等值轉(zhuǎn)換關(guān)系的卻是易模塊考生，所以可能出現(xiàn)低分段分?jǐn)?shù)無法區(qū)分的情況，即“地板效應(yīng)”，這是為了避免“天花板效應(yīng)”作出的犧牲。

無論是為了減輕百分等級(jí)波動(dòng)幅度，還是為了使轉(zhuǎn)換關(guān)系在低分段或者高分段不會(huì)突然失效，都可以預(yù)先對(duì)頻數(shù)分布做光滑化（smoothing）處理（Livingston，2004），然后才計(jì)算百分等級(jí)。這樣可以保證等值關(guān)系是一條光滑上升的曲線。

[1]Livingston，S.A.Equating Test Scores（Without IRT）.Princeton，NJ:Educational Testing Service.2004.

[2]漆書青，戴海崎，丁樹良.現(xiàn)代教育與心理測(cè)量學(xué)原理[M].北京：高等教育出版社.2002：201-214.