韓圣千，楊晨陽(yáng)

（北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京100191）

1 引言

在多用戶多輸入多輸出（MU-MIMO, multiuser multiple-input multiple-output）系統(tǒng)中，臟紙編碼（DPC）是能夠?qū)崿F(xiàn)廣播信道容量的最優(yōu)預(yù)編碼[1]。但是由于DPC需要進(jìn)行復(fù)雜的矢量編碼，且通常要求很大的編碼長(zhǎng)度，因此具有很高的計(jì)算復(fù)雜度[2]。迫零（ZF, zero forcing）預(yù)編碼是一種被廣泛應(yīng)用的次優(yōu)MU-MIMO發(fā)射方案，能夠以很低的計(jì)算復(fù)雜度消除多用戶之間的干擾[3～5]。當(dāng)系統(tǒng)的總用戶數(shù)很大時(shí)，文獻(xiàn)[6]的研究結(jié)果表明，基于多天線總發(fā)射功率受限（SPC, sum power constraints）的ZF預(yù)編碼可以漸近達(dá)到 DPC的性能。文獻(xiàn)[7]進(jìn)一步證明了當(dāng)考慮單天線功率約束（PAPC, per-antenna power constraints）時(shí)，ZF預(yù)編碼仍然可以達(dá)到漸近最優(yōu)的性能。

在無線通信系統(tǒng)中，考慮PAPC比SPC更具有實(shí)際意義[4,5,7,8]。一方面，由于在實(shí)際系統(tǒng)中每個(gè)天線的射頻鏈路均存在獨(dú)立的功率放大器，因此每個(gè)天線的發(fā)射功率都獨(dú)立地受限于各自功率放大器的線性區(qū)間。另一方面，PAPC是未來通信系統(tǒng)的重要特征。分布式天線技術(shù)和多基站協(xié)作技術(shù)是未來無線通信系統(tǒng)保證蜂窩小區(qū)均勻覆蓋的重要候選技術(shù)[4,5]。對(duì)于在地理位置上散布的多個(gè)天線和多個(gè)基站，它們的發(fā)射功率不可能互相共享，因此這2種技術(shù)是單天線功率約束的典型應(yīng)用場(chǎng)景。

為了保證ZF預(yù)編碼滿足一定的發(fā)射功率約束，系統(tǒng)需要基于ZF波束形成矩陣對(duì)多用戶進(jìn)行功率分配?；?SPC，最優(yōu)功率分配具有灌水（waterfilling）結(jié)構(gòu)，并且只包含一個(gè)水平面變量。文獻(xiàn)[7]研究了基于PAPC的功率分配方法，指出以最大化多用戶和數(shù)據(jù)率為準(zhǔn)則的功率分配問題是一個(gè)凸優(yōu)化問題，可以通過多種優(yōu)化方法進(jìn)行數(shù)值求解（例如內(nèi)點(diǎn)法[9]），但是其計(jì)算復(fù)雜度隨著變量維數(shù)的增加而快速增長(zhǎng)。為了降低功率分配的復(fù)雜度，文獻(xiàn)[10]提出了一種啟發(fā)式方法。它首先假設(shè)基于PAPC的功率分配仍具有單水平面的灌水結(jié)構(gòu)，然后通過適當(dāng)?shù)剡x擇水平面變量以保證所有的天線均滿足PAPC。文獻(xiàn)[11]提出了更簡(jiǎn)單的等功率分配方法（EPA, equal power allocation），并指出在最大化多用戶的最小數(shù)據(jù)率準(zhǔn)則下 EPA是最優(yōu)的功率分配方案。與最優(yōu)的功率分配方法相比，啟發(fā)式方法和EPA有效地降低了計(jì)算復(fù)雜度，但是其性能與最優(yōu)性能之間存在較大的差距。

本文基于ZF預(yù)編碼，以最大化多用戶和數(shù)據(jù)率為準(zhǔn)則，提出一種新的低復(fù)雜度功率分配方法。首先證明基于PAPC的最優(yōu)功率分配仍具有灌水結(jié)構(gòu)，但是包含多個(gè)水平面變量；然后提出一種次優(yōu)方法來獲得這些水平面變量。仿真結(jié)果表明，所提出方法的性能優(yōu)于現(xiàn)有的啟發(fā)式方法和EPA，能夠以較低的計(jì)算復(fù)雜度獲得接近最優(yōu)功率分配的性能。

本文所采用的數(shù)學(xué)符號(hào)定義如下：黑體大寫、黑體小寫和正常小寫字母分別表示矩陣、行向量和標(biāo)量，(· )T和 (· )H分別表示對(duì)矩陣或向量進(jìn)行轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置，I表示單位矩陣，1表示全 1向量，diag()x表示以向量x為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。

2 系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)下行鏈路多用戶MIMO系統(tǒng)，其中裝有M個(gè)天線的基站通過空分復(fù)用方式服務(wù)K個(gè)單天線用戶。對(duì)于 ZF預(yù)編碼，用戶k的波束形成向量 gk需要滿足

其中，hj是用戶j的下行信道向量，其維數(shù)為1×M。滿足式(1)的ZF預(yù)編碼并不唯一，其中比較常用的是基于信道矩陣偽逆的ZF預(yù)編碼。由此，用戶k的接收信噪比和可達(dá)數(shù)據(jù)率分別為

其中，pk是基站分配給用戶k的發(fā)射功率，σ2是用戶端的加性白高斯噪聲的方差，

定義基站端的發(fā)射波束形成矩陣和功率分配矩陣分別為 G = [ g1H, … ,gKH]和 P = diag(p)，其中，p= [ p , …,p ]，則基站端的發(fā)射預(yù)編碼為W = GP1。

21K定義矩陣G的第m行第k列元素為 gmk，可得基站端第m個(gè)天線的發(fā)射功率為

3 最優(yōu)多水平面灌水功率分配

式(5)給出的功率分配問題是由凸目標(biāo)函數(shù)和線性約束構(gòu)成的凸問題，其拉格朗日方程可以表示為

其中， u = [ u1,… ,uM]和v= [ v1, … ,vK]是對(duì)偶變量，其第m行第k列元素為 a 。mk

最優(yōu)的p、u和v應(yīng)滿足以下KKT條件：

式(12)可以重新表示為

聯(lián)合式(7)、式(9)、式(11)和式(13)，不難得到最優(yōu)功率分配具有以下灌水結(jié)構(gòu)：

其中，最優(yōu)的u應(yīng)滿足式(8)、式(10)以及單天線功率約束(5b)，(x)+= m ax(x, 0)。

由式(14)可以看出，最優(yōu)的功率分配中包含由向量u決定的多個(gè)水平面。文獻(xiàn)[12]研究了存在多個(gè)水平面的灌水功率分配問題，并且在 pk只與 uk有關(guān)的特定情況下，給出了計(jì)算u的有效方法。然而，不難看出，在式(14)中 pk由u中的所有元素共同決定，因此文獻(xiàn)[12]給出的方法不能應(yīng)用于本文所考慮的問題。

下一節(jié)將提出一種求解水平面變量u的次優(yōu)方法。為此，首先通過下述定理給出該變量最優(yōu)值的一些性質(zhì)。

定理 1 對(duì)于如下的單水平面灌水功率分配優(yōu)化問題

其中，λ需要滿足：

由于優(yōu)化問題(5)是凸問題且滿足強(qiáng)對(duì)偶條件[9]，因此為了證明是優(yōu)化問題(5)的最優(yōu)解，只需證明滿足優(yōu)化問題(5)對(duì)應(yīng)的KKT條件。通過比較式(14)和式(16)，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，式(14)給出的 pk與式(16)給出的相同。因此，只需證明滿足式(8)、式(10)以及單天線功率約束(5b)即可完成證明。

其中，引入了水平面變量λ以便于后述證明。由于λ＞ 0 ，因此它不影響式(19)的成立。

考慮到um=λ和pk= pk，可知式(10)也成立。由此，該定理得證。

4 低復(fù)雜度功率分配

根據(jù)上一節(jié)的定理，可以將計(jì)算最優(yōu)水平面變量u轉(zhuǎn)換為找出在優(yōu)化問題(15)中滿足 ampT(w ) ≤ 1的w， m = 1,… ,M 。根據(jù)式(19)并考慮和wm≥ 0 ，不難得出對(duì)于任意w，至少存在一個(gè)ampT(w ) = 1。因此，最優(yōu)的w可以通過求解以下優(yōu)化問題而得到

其中， qm(w ) = ampT(w ) -1。

然而，對(duì)優(yōu)化問題(20)直接進(jìn)行求解仍然比較困難。下面提出一種針對(duì)優(yōu)化問題(20)的次優(yōu)求解方法，它能夠以較低的復(fù)雜度達(dá)到接近最優(yōu)的性能。為此，考慮w在功率分配中的物理意義。在優(yōu)化問題(15)中，w將原優(yōu)化問題(5)中針對(duì)每個(gè)天線的功率約束轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)加權(quán)和功率約束，其中 wm體現(xiàn)了第m個(gè)天線的功率約束在加權(quán)和功率約束中的重要程度。不難看出，當(dāng) wm=1時(shí)，優(yōu)化問題(15)的最優(yōu)解一定能夠使第m個(gè)天線的功率約束得以滿足，即 qm= 0 ?；谶@一觀察，所提出的次優(yōu)方法迭代地選擇不能滿足功率約束的天線，并適當(dāng)調(diào)整它們的加權(quán)參數(shù)，直至滿足一定的迭代停止條件。

首先討論加權(quán)向量w的迭代更新方法。設(shè) wi-1和Si= [ s1, … ,si]分別表示第i次迭代中使用的加權(quán)向量和已選的不滿足發(fā)射功率約束的天線序號(hào)組合?；?wi-1，希望更新之后的 wi能夠使 Si中天線的最大發(fā)射功率達(dá)到最小。根據(jù)以上對(duì)w的物理意義的分析，采用下面的次優(yōu)更新方法

其中，0≤μ≤1，si表示第i次迭代中所選天線的序號(hào)， wi,m表示 wi的第m個(gè)元素。

式(21)給出的更新方法具有3個(gè)特征。一方面，只要 wi-1滿足則有；另一方具有更大的權(quán)值，從而降低發(fā)射功率；最后，當(dāng)qsi(wi)≥ 0時(shí)，可以證明qsi(wi) 是μ的單調(diào)遞增函數(shù)（證明過程見附錄）。

基于式(21)的特征，可以采用下面給出的二分法選擇μ，使得天線 si在所有已選天線 Si中不再具有最大的發(fā)射功率。

1) 定義μmin=0和μmax=1。wi；由式(16)計(jì)算 p (wi) 和 qm( wi) ， m ∈Si。=μ；否則，更新μmin=μ。

4) 重復(fù)步驟 2)和 3)，直至 μmax-μmin＜?，其中，?是特定的門限值。

根據(jù)以上分析，所提出的低復(fù)雜度功率分配方法可以總結(jié)如下。

1) 初始化。設(shè)i=0，S0=φ（空集），T0={1,，即所有天線具有相同的權(quán)值，并計(jì)算 qm(w0)， m ∈ { 1,… ,M }。

2) 迭代。

① 設(shè) i = i+ 1 ，從 Ti-1中選擇具有最大發(fā)射功率的天線：，更新

② 根據(jù)式(21)更新 wi，其中對(duì)μ的計(jì)算分為2種情況：

當(dāng) i = 1 時(shí)，由于已選天線的個(gè)數(shù)為 1并且qsi(wi) 是μ的單調(diào)遞增函數(shù)，因此μ的最優(yōu)值為0，

當(dāng) i ＞ 1 時(shí)，μ可以通過上面給出的二分法得到。

③ 計(jì)算 qm( wi) ， m = 1,… ,M ，并定義 qSi=

3) 若 qTi＞qSi，重復(fù)步驟 2)；否則，由式(16)計(jì)算 p (wi) ，并得到最終的功率分配結(jié)果為

這里采用所有天線的最大發(fā)射功率maxm的p一定滿足單天線功率約束。

5 仿真分析

本節(jié)通過蒙特卡洛仿真評(píng)估所提出功率分配方法的性能和復(fù)雜度。為了進(jìn)行性能和復(fù)雜度比較，仿真中還考慮了其他 3種功率分配方法，包括最優(yōu)功率分配、啟發(fā)式功率分配[10]和等功率分配[11]，其中采用內(nèi)點(diǎn)發(fā)[9]計(jì)算最優(yōu)功率分配，并適當(dāng)?shù)嘏渲脙?nèi)點(diǎn)法的參數(shù)使其在不降低性能的前提下具有盡可能低的計(jì)算復(fù)雜度。

設(shè)基站的總發(fā)射功率為P，每個(gè)天線具有相同的發(fā)射功率約束 P /M，信噪比定義為 P /σ2，仿真中設(shè)置為5dB。假設(shè)不同用戶的信道相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且每個(gè)用戶的信道為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立同分布的瑞利衰落信道，由零均值單位方差的復(fù)高斯隨機(jī)變量構(gòu)成。假設(shè)基站已知所有用戶的準(zhǔn)確信道信息，并采用基于信道矩陣偽逆的ZF預(yù)編碼服務(wù)多個(gè)用戶。所有仿真進(jìn)行1 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。

圖1給出了不同用戶數(shù)K下4種功率分配方法的和數(shù)據(jù)率。可以看出，對(duì)于不同的用戶數(shù)，所提出的低復(fù)雜度功率分配方法均能夠獲得接近最優(yōu)功率分配的性能。等功率分配性能最差，并且與所提出的功率分配方法之間的差距隨著被服務(wù)用戶數(shù)的增長(zhǎng)而擴(kuò)大。啟發(fā)式方法能夠在一定程度上提高等功率分配的性能，但與所提出的功率分配方法相比仍有明顯的性能差距。

圖1 不同用戶數(shù)K下4種功率分配方法的和數(shù)據(jù)率（基站天線數(shù)8M=，所提出方法的門限0.01=?）

圖2 比較了4種功率分配方法的計(jì)算復(fù)雜度。由于對(duì)最優(yōu)功率分配方法復(fù)雜度的理論分析較為困難，這里采用平均處理時(shí)間作為復(fù)雜度評(píng)估指標(biāo)。將 4種功率分配方法在 3GHz Pentium IV 1GB-RAM個(gè)人計(jì)算機(jī)的 MATLAB環(huán)境下執(zhí)行，并采用MATLAB配置的tic/toc命令統(tǒng)計(jì)各種方法的處理時(shí)間?？梢钥闯?，與最優(yōu)功率分配方法相比，所提出的功率分配方法有效地降低了計(jì)算復(fù)雜度。

圖2 基站天線數(shù)M不同時(shí)4種功率分配方法的計(jì)算復(fù)雜度（處理時(shí)間）（服務(wù)用戶數(shù)K=M，所提出方法的門限0.01=?）

所提出功率分配方法的復(fù)雜度由迭代次數(shù)以及每次迭代中二分法的復(fù)雜度共同決定，而后者受到門限值?的影響。圖3對(duì)這兩方面的復(fù)雜度進(jìn)行了進(jìn)一步分析。首先，從圖3(a)中可以看出，所提出的方法相對(duì)于門限值?具有很快的收斂速度，當(dāng)?≤ 0.01時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)性能。其次，圖3(b)分析了基站天線數(shù)M對(duì)所提出方法的迭代次數(shù)的影響。可以看出，隨著基站天線數(shù)的增長(zhǎng)，所提出方法的迭代次數(shù)將緩慢增長(zhǎng)。例如，當(dāng)天線數(shù)由2增至16時(shí)，迭代次數(shù)僅由1.5增至3。這2方面因素共同使得所提出的功率分配方法具有較低的計(jì)算復(fù)雜度。

圖3 所提出的功率分配方法的復(fù)雜度分析（服務(wù)用戶數(shù)K=M）

6 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了基于單天線功率約束和ZF預(yù)編碼的低復(fù)雜度功率分配方法。證明了最優(yōu)功率分配具有多水平面的灌水結(jié)構(gòu)，并由此提出了一種新的功率分配方法。仿真結(jié)果表明，與最優(yōu)功率分配方法相比，所提出的功率分配方法能夠以很小的性能損失為代價(jià)有效地降低計(jì)算復(fù)雜度，其性能優(yōu)于現(xiàn)有的等功率分配和啟發(fā)式方法。

附錄 qsi(wi) 關(guān)于μ的單調(diào)性

設(shè)滿足 qsi(wi)≥ 0 的μ的變量域?yàn)閁，下面證明在變同的激活用戶，即具有非零功率的用戶。為了得到 qsi(wi)關(guān)于μ的顯式表達(dá)式，將變量域U分為多個(gè)區(qū)域 Uj，的激活用戶組合，記為πj。

對(duì)于 μ ∈Uj，由式(16)可知功率分配 p (wi) 為

由式(23)和式(24)可得：

下面證明 qsi(wi) 關(guān)于μ的一階導(dǎo) ? qsi(wi) 是非負(fù)的。由式(27)可得

類似地，當(dāng) asikE - BkF≤ 0 時(shí)，可以證明式(30)給出的不等式仍然成立。因此， ? qsi(wi) 的下限可以表示為

由于E＞0、F＞0以及0≤μ≤1，因此μE/F+(1-μ)＞0。同時(shí)，根據(jù)式(28)和式(31)，可知?qsi(wi) ≥ 0 。

按照以上的方法，可以證明 qsi(wi) 在每個(gè)區(qū)域 Uj上都是μ的單調(diào)遞增函數(shù)， j = 0 ,…, J 。盡管 qsi(wi) 在 Uj的邊界點(diǎn)可能不可求導(dǎo)，但是考慮到 wi是U上的連續(xù)函數(shù)，這使得λ和 p (wi) 也都是U上的連續(xù)函數(shù)，因此在變量域U上 qsi(wi) 是μ的單調(diào)遞增函數(shù)。

[1] GESBERT D, KOUNTOURIS M, HEATH JR R, et al. Shifting the MIMO paradigm: from single user to multiuser communications[J].IEEE Signal Processing Mag, 2007, 24(5):36-46.

[2] DIMIC G, SIDIROPOULOS N D. On downlink beamforming with greedy user selection: performance analysis and a simple new algorithm[J]. IEEE Trans Signal Processing, 2005, 53(10): 3857-3868.

[3] WIESEL A, ELDAR Y C, SHAMAI S. Zero-forcing precoding and generalized inverses[J]. IEEE Trans Signal Processing, 2008, 56(9):4409-4418.

[4] GESBERT D, HANLY S, HUANG H, et al. Multi-cell MIMO cooperative networks: a new look at interference[J]. IEEE J Select Areas Commun, 2010, 28(9) :1380-1408.

[5] ZHANG R. Cooperative multi-cell block diagonalization with perbase-station power constraints[J]. IEEE J Select Areas Communication,2010, 28(9):1435-1445.

[6] YOO T, GOLDSMITH A. On the optimality of multiantenna broadcast scheduling using zero-forcing beamforming[J]. IEEE J Select Areas Commun, 2006, 24(3): 528-541.

[7] BOCCARDI F, HUANG H. Zero-forcing precoding for the MIMO broadcast channel under per-antenna power constraints[A]. Proceedings of IEEE Signal Processing Advances in Wireless Communications (SPAWC)[C]. Cannes, France, 2006. 1-5.

[8] VU M. MISO capacity with per-antenna power constraint[J]. IEEE Trans Communication, 2011, 59(5):1268-1274.

[9] BOYD S, VANDENBERGHE L. Convex Optimization[M]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2004.

[10] TOLLI A, CODREANU M, JUNTTI M. Cooperative MIMO-OFDM cellular system with soft handover between distributed base station antennas[J]. IEEE Transactions Wireless Communication, 2008, 7(4):1428-1440.

[11] KARAKAYALI K, FOSCHINI G, VALENZUELA R. Network coordination for spectrally efficient communications in cellular systems[J].IEEE Wireless Communication Magazine, 2006(4), 13: 56-61.

[12] PALOMAR D P, FONOLLOSA J R. Practical algorithms for a family of waterfilling solutions[J]. IEEE Transactions Signal Processing,2005, 53(2): 686-695.