張敦福，王相玉,，朱家明,，李術(shù)才，朱維申

（1.山東大學(xué) 土建與水利學(xué)院，濟(jì)南 250061；2.清華大學(xué) 工程力學(xué)系，北京 100084；3.中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所，北京 100190）

1 引 言

巖體是自然地質(zhì)體，內(nèi)部存在斷層、層理、節(jié)理、裂隙等。巖石中兩個(gè)以上的塊體相互連接，荷載通過(guò)其連接界面?zhèn)鬟f而產(chǎn)生變形。由于接觸問(wèn)題屬于力-位移混合邊界問(wèn)題，采用混合有限元（雜交單元）方法具有優(yōu)勢(shì)[1]。求解界面接觸問(wèn)題有多種方法，如接觸單元法、Lagrange乘子法、罰方法等。完整巖塊在有限元計(jì)算中可用常規(guī)的實(shí)體單元代表。節(jié)理是層狀巖體中的不連續(xù)面，其厚度接近于0。對(duì)于重要節(jié)理，通常采用節(jié)理單元計(jì)算；對(duì)于不重要的節(jié)理，可采用等效單元計(jì)算。

經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論認(rèn)為，材料某點(diǎn)處應(yīng)力僅是該點(diǎn)的應(yīng)變以及該點(diǎn)的變形歷史上的函數(shù)，而與該點(diǎn)以外的其他點(diǎn)的應(yīng)力無(wú)關(guān)[2]。但由于連續(xù)性假設(shè)不能?chē)?yán)格滿(mǎn)足，因此，將連續(xù)介質(zhì)力學(xué)應(yīng)用于巖土介質(zhì)時(shí)，應(yīng)力和應(yīng)變等分量代表的僅是相當(dāng)小但不是無(wú)窮小體積上的統(tǒng)計(jì)平均值。

在應(yīng)變梯度不大的情況下，使用統(tǒng)計(jì)平均值來(lái)替代連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論解可以較為恰當(dāng)?shù)孛枋鼋橘|(zhì)的力學(xué)反映。但當(dāng)材料出現(xiàn)較高的應(yīng)變梯度時(shí)，在相當(dāng)小體積上，應(yīng)變呈高階非線(xiàn)性，經(jīng)典理論所代表的統(tǒng)計(jì)平均值就不能真實(shí)地反映出材料在相當(dāng)小的體積上的強(qiáng)度和變形行為。實(shí)質(zhì)上，梯度項(xiàng)的出現(xiàn)反映這樣一個(gè)事實(shí)：在某種尺度下的微結(jié)構(gòu)相互作用使得變形是非局部的，應(yīng)變梯度及內(nèi)部長(zhǎng)度描述的是不均質(zhì)材料微結(jié)構(gòu)之間的相互影響及作用。

偶應(yīng)力理論在20世紀(jì)90年代初被引入巖土工程領(lǐng)域。Mühlhaus[3]的工作涉及層狀巖體、節(jié)理巖體、層狀半無(wú)限土體、巖煤和砂礫等。陳勝宏[4]、余成學(xué)[5]等率先開(kāi)展研究，在這方面取得了開(kāi)創(chuàng)性的成果。潘一山等[6]把微結(jié)構(gòu)應(yīng)變梯度理論應(yīng)用于巖體力學(xué)，利用試驗(yàn)研究了巖石破壞的尺度效應(yīng)，又提出了巖石失穩(wěn)破壞的應(yīng)變梯度模型，并給出了節(jié)理巖體內(nèi)部特征長(zhǎng)度的數(shù)值。其他學(xué)者也對(duì)這一理論進(jìn)行了不同方面的研究。偶應(yīng)力理論的有限單元法要求位移解滿(mǎn)足C1連續(xù)，而一般單元只能滿(mǎn)足C0連續(xù)，陳萬(wàn)吉[7]等很多學(xué)者在構(gòu)造新的滿(mǎn)足 C1連續(xù)的單元方面做了許多工作。Taiji Adachi等[8]采用罰函數(shù)強(qiáng)制宏觀轉(zhuǎn)角與微觀轉(zhuǎn)角相同提出了一種有限單元，但由于計(jì)算結(jié)果不理想，只好對(duì)將組成一個(gè)四邊形的兩個(gè)三角形單元中的一個(gè)實(shí)施懲罰，以提高計(jì)算精度。Fleck等[9]采用罰函數(shù)法放松了對(duì)旋轉(zhuǎn)自由度的約束，取得了較好的效果。肖其林等[10]、李雷等[11]構(gòu)造了非協(xié)調(diào)單元和雜交元，并用它分析了偶應(yīng)力問(wèn)題。楊樂(lè)等[12]、劉俊等[13]、冀賓等[14]將Cosserat介質(zhì)元引入均勻化技術(shù)，建立層狀巖體的復(fù)合等效本構(gòu)關(guān)系，進(jìn)行有限元數(shù)值模擬，驗(yàn)證了新模型的有效性和可行性。唐欣薇等[15]利用位移漸近展開(kāi)技術(shù)和均勻化理論，建立了多尺度力學(xué)框架下的有限元平衡方程，重點(diǎn)考察了單胞尺寸對(duì)宏觀力學(xué)性能的影響。

本文基于偶應(yīng)力理論，采用有限單元法，研究層狀巖體中界面邊界層效應(yīng)問(wèn)題，分析了偶應(yīng)力的尺度效應(yīng)、材料特征長(zhǎng)度、彈性模量等參數(shù)對(duì)界面邊界層效應(yīng)的影響。為了提高計(jì)算結(jié)果的精度，采用高次矩形單元中的Serendipity單元（S單元）。

2 有限元插值函數(shù)及位移插值

2.1 經(jīng)典彈性理論

根據(jù)插值函數(shù)求法的不同，矩形單元可以分為L(zhǎng)agrange單元（L單元）和Serendipity單元（S單元）。由于這兩族單元的插值函數(shù)求法不同，所以單元節(jié)點(diǎn)的分布也不相同，即L單元的單元內(nèi)部包含節(jié)點(diǎn)，而S單元的內(nèi)部沒(méi)有節(jié)點(diǎn)，這也是Serendipity族單元的特點(diǎn)。由于Lagrange族高次單元的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)不影響單元間的連續(xù)性，它們能在單元范圍上取消，以便減少單元矩陣的階數(shù)，所以本文采用了圖1的S單元，以避免出現(xiàn)在L單元內(nèi)部的中間節(jié)點(diǎn)。

圖1 S單元插值函數(shù)計(jì)算示意圖Fig.1 An illustration of interpolation function for S-element

S單元的節(jié)點(diǎn)插值函數(shù)具有下列性質(zhì)：

式中：Ni為節(jié)點(diǎn)插值函數(shù)； i,j=1,2,...,8；δij為克羅內(nèi)克爾符號(hào)。

對(duì)于節(jié)點(diǎn)1的插值函數(shù)N1，在節(jié)點(diǎn)2，3，…，8上應(yīng)取0值，在節(jié)點(diǎn)1上取單位值。相應(yīng)的N1在x/a-1=0，y/b-1=0和x/a+y/b+1=0邊界上為0。因此，假設(shè)N1為

類(lèi)似地，可以得到N1，N2，…，N8的表達(dá)式?，F(xiàn)將插值函數(shù)一并列出

由插值函數(shù)的定義可知，單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移可以這樣給出：

式中：ui、vi分別為節(jié)點(diǎn)i的位移分量；[N]=[N1?I N2?I…N8?I]（I為2階單位矩陣）為插值函數(shù)矩陣；{δ}e為單元e上8個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移。

2.2 彈性偶應(yīng)力理論

彈性偶應(yīng)力理論與經(jīng)典彈性理論的區(qū)別主要在于引入了偶應(yīng)力mx、my，即單位面積上的彎矩。平面微元體有3個(gè)自由度：2個(gè)平動(dòng)分量和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)(旋轉(zhuǎn))分量。

由于偶應(yīng)力的存在，剪應(yīng)力互等定理不再成立，即τxy≠τyx。為了便于分析，將剪應(yīng)力τxy和τyx寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)分量τs和反對(duì)稱(chēng)分量τα兩部分。即

這樣就可以很清楚地描述τs和τα的作用。即，τs使微元體產(chǎn)生剪切變形，τα使微元體產(chǎn)生宏觀轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖2所示。

老機(jī)八從懷里掏出兩塊銀元遞給大勇：老子死了就幫俺捎給俺娘，跟俺娘說(shuō)一聲：娘，俺不能盡孝了。對(duì)了，老子萬(wàn)一活著呢，你得還把錢(qián)還給俺。

圖2 微元體的變形Fig.2 Deformation of micro element

由于偶應(yīng)力理論中單元有3個(gè)自由度，所以位移插值模式與以前有所不同，寫(xiě)成矩陣形式為

式中：u、v分別為節(jié)點(diǎn)i沿x軸和y軸方向的位移；ω為單元轉(zhuǎn)角；[N]=[N1?I N2?I…N8?I ]（I為3階單位矩陣）稱(chēng)為插值函數(shù)矩陣，是3×24階矩陣；{δ}e為單元e上8個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移，是24×1階矩陣。所以，應(yīng)變矩陣 [B ]=[B1B2… B8]。其中

3 層狀巖體結(jié)構(gòu)面邊界層效應(yīng)

3.1 偶應(yīng)力理論和經(jīng)典彈性理論結(jié)果比較

由于偶應(yīng)力理論中剪應(yīng)變?chǔ)脁y≠γyx，剪應(yīng)力τxy≠τyx，所以偶應(yīng)力理論下剪應(yīng)變用(γxy+γyx)/2與經(jīng)典彈性理論下剪應(yīng)變?chǔ)脁y相比較；剪應(yīng)力用(τxy+τyx)/2與經(jīng)典彈性理論下剪應(yīng)力τxy相比較。

如圖3所示，層狀巖體的兩端受均布?jí)毫=10 MPa和剪力τ=1 MPa。材料1的彈性模量與泊松比分別為E1=20 GPa、μ1=0.25，材料2的彈性模量與泊松比分別為E2= 40 GPa，μ2=0.25。材料1、2的特征長(zhǎng)度為 l1=l2= 1 mm，第二剪切模量為 GC=0.5G，G為剪切彈性模量。

圖3 層狀巖體Fig.3 Layered rock mass

兩種材料在節(jié)理面上滿(mǎn)足以下假設(shè)：兩種材料的界面黏合性好，無(wú)滑動(dòng)、張開(kāi)或嵌入。

定義圖4所示路徑，x坐標(biāo)為0.025 m，y坐標(biāo)為0.052～0.048 m。將該路徑各應(yīng)力、應(yīng)變值的經(jīng)典彈性理論和偶應(yīng)力理論曲線(xiàn)繪于圖5～10。

從圖5～10可知，偶應(yīng)力使得正應(yīng)變、剪應(yīng)變、主應(yīng)變的絕對(duì)值減小。剪應(yīng)變尺度效應(yīng)明顯，主應(yīng)變和正應(yīng)變尺度效應(yīng)不明顯。剪應(yīng)變?cè)谶吔鐚觾蓚?cè)出現(xiàn)了一個(gè)過(guò)渡區(qū)域，邊界層兩側(cè)變化趨勢(shì)一致。但剪應(yīng)力在邊界層附近不再連續(xù)，邊界層兩側(cè)變化趨勢(shì)一致。

3.2 彈性模量E2/E1的影響

取E2分別為40、60 GPa，其他參數(shù)同3.1節(jié)，考察 E2/E1對(duì)剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的影響。圖11給出了E2/ E1對(duì)剪應(yīng)力、剪應(yīng)變的影響曲線(xiàn)。

圖4 計(jì)算路線(xiàn)Fig.4 Calculating route

圖5 剪應(yīng)力Fig.5 Shear stress

圖6 剪應(yīng)變Fig.6 Shear strain

圖7 正應(yīng)力σx及σyFig.7 Normal stresses σxand σy

圖8 正應(yīng)變?chǔ)舩和εyFig.8 Normal strains εxand εy

圖9 主應(yīng)力σ1和σ3Fig.9 Principal stresses σ1and σ3

圖10 主應(yīng)變?chǔ)?和ε3Fig.10 Principal strains ε1and ε3

圖11 E2/E1對(duì)剪應(yīng)力、剪應(yīng)變的影響Fig.11 Influences of E2/E1on shear stress and shear strain

從圖11可以看出，彈性模量只對(duì)剪應(yīng)力、剪應(yīng)變的數(shù)值有影響，而不影響其變化趨勢(shì)，即不影響邊界層的范圍。剪應(yīng)力不再連續(xù)。

3.3 第二剪切彈性模量GC的影響

3.4 泊松比的影響

兩種材料的泊松比μ依次取為0.18、0.25、0.32，其他參數(shù)與3.1節(jié)相同，考察μ對(duì)剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的影響。圖13給出了泊松比對(duì)剪應(yīng)力、剪應(yīng)變的影響曲線(xiàn)。從圖可看出，泊松比不影響剪應(yīng)力、剪應(yīng)變過(guò)渡區(qū)域大小，不改變變化趨勢(shì)，只影響剪應(yīng)力、剪應(yīng)變的大小。剪應(yīng)力不再連續(xù)。

3.5 特征長(zhǎng)度的影響

兩種材料的特征長(zhǎng)度l依次取為 0.5、1.0、2 mm，其他參數(shù)同3.1節(jié)，圖14給出了特征長(zhǎng)度對(duì)剪應(yīng)力、剪應(yīng)變的影響曲線(xiàn)。

圖12 GC對(duì)剪應(yīng)力及剪應(yīng)變的影響Fig.12 Influences of GCon shear stress and shear strain

圖13 μ 對(duì)剪應(yīng)力及剪應(yīng)變的影響Fig.13 Influences of μ on shear stress and shear strain

圖14 l對(duì)剪應(yīng)力及剪應(yīng)變的影響Fig.14 Influences of l on shear stress and shear strain

從圖 14可見(jiàn)，考慮偶應(yīng)力后，剪應(yīng)力、剪應(yīng)變?cè)谶吔绺浇霈F(xiàn)了一個(gè)過(guò)渡區(qū)域。隨著特征長(zhǎng)度減小，剪應(yīng)力、剪應(yīng)變的過(guò)渡區(qū)域減小，在過(guò)渡區(qū)內(nèi)斜率變大。剪應(yīng)力不再連續(xù)。

4 偶應(yīng)力對(duì)錨桿界面剪應(yīng)力的影響

巖體中的拉拔錨桿，受力為400 kN，尺寸如圖15所示。材料1為錨桿：直徑為0.12 m，彈性模量E1=210 GPa，泊松比μ1=0.25；材料2為巖體：彈性模量E2=40 GPa，μ2=0.14。材料1、2的特征長(zhǎng)度分別為l1=0.1 mm、l2=1 mm；兩種材料的第二剪切模量取GC/G=0.5。

圖15 拉拔錨桿Fig.15 Drawing bolt

兩種材料在節(jié)理面上滿(mǎn)足以下假設(shè)：兩種材料的界面粘合性好、無(wú)嵌入。

圖16給出了錨桿界面剪應(yīng)力分布。由圖可知，拉拔錨桿錨固段界面剪應(yīng)力的分布集中在錨固段前部，呈先增大后衰減的趨勢(shì)，最大值點(diǎn)到端頭的距離約等于錨桿直徑的一倍，這些結(jié)論與文獻(xiàn)[16－19]一致。圖17為沿x軸的剪應(yīng)變及剪應(yīng)力分布。由圖可知，考慮偶應(yīng)力后，界面上剪應(yīng)力分布沒(méi)有明顯變化，偶應(yīng)力對(duì)剪應(yīng)力峰值有明顯影響。剪應(yīng)力、剪應(yīng)變?cè)诮缑娓浇霈F(xiàn)了一個(gè)過(guò)渡區(qū)域，并且剪應(yīng)力不再連續(xù)。

圖16 錨桿界面剪應(yīng)力Fig.16 Shear stress in the interface between bolt and rock

圖17 沿x軸的剪應(yīng)變及剪應(yīng)力Fig.17 Shear stress and shear strain along x-axis

5 結(jié) 論

（1）在邊界層內(nèi)，存在一定的轉(zhuǎn)動(dòng)梯度效應(yīng)，偶應(yīng)力不為0，界面處剪應(yīng)力不再連續(xù)。

（2）偶應(yīng)力對(duì)層狀巖體結(jié)構(gòu)面剪應(yīng)變有顯著影響，尺度效應(yīng)明顯。在偶應(yīng)力理論下，應(yīng)變量減小，并在邊界層附近出現(xiàn)過(guò)渡區(qū)，剪應(yīng)變突變現(xiàn)象得以改善，但剪應(yīng)力不再連續(xù)。

（3）材料特征長(zhǎng)度對(duì)剪應(yīng)變和剪應(yīng)力的過(guò)渡區(qū)域大小有影響。隨著特征長(zhǎng)度的減小，過(guò)渡區(qū)域減小，剪應(yīng)變和剪應(yīng)力在過(guò)渡區(qū)域內(nèi)斜率增大，即應(yīng)變梯度增大，尺度效應(yīng)更加明顯。

（4）第二剪切模量 GC對(duì)剪應(yīng)變和剪應(yīng)力的過(guò)渡區(qū)域大小沒(méi)有影響。隨著 GC增大，剪應(yīng)變和剪應(yīng)力在過(guò)渡區(qū)域內(nèi)斜率增大，即應(yīng)變梯度增大，尺度效應(yīng)更加明顯。

（5）泊松比、彈性模量對(duì)剪應(yīng)變和剪應(yīng)力的過(guò)渡區(qū)域大小沒(méi)有影響，只影響界面處剪應(yīng)變和剪應(yīng)力的大小，不改變剪應(yīng)變和剪應(yīng)力的變化趨勢(shì)。

（6）錨桿界面剪應(yīng)力的分布集中在錨固段前部，呈先增大后衰減的趨勢(shì)，最大值點(diǎn)到端頭的距離約等于錨桿直徑的一倍。偶應(yīng)力不改變錨桿界面上的剪應(yīng)力分布，但對(duì)峰值有明顯的影響，峰值變小，說(shuō)明錨桿的抵抗外載的能力變大。

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