謝勇

（大理學(xué)院工程學(xué)院，云南大理 671003）

用Cauchy-Schwarz不等式推證坐標(biāo)和動量的不確定度關(guān)系

謝勇

（大理學(xué)院工程學(xué)院，云南大理 671003）

介紹利用Cauchy-Schwarz不等式及厄米算符的性質(zhì)推證坐標(biāo)和動量的不確定度關(guān)系的方法，并對該不確定度關(guān)系進(jìn)行分析討論，得到當(dāng)波函數(shù)為高斯函數(shù)時，坐標(biāo)和動量的不確定度關(guān)系將取等式形式的結(jié)論。

Cauchy-Schwarz不等式；坐標(biāo)；動量；不確定度關(guān)系；厄米算符

不確定度是我們最為熟悉的一個量子現(xiàn)象，其形式基本是用標(biāo)準(zhǔn)差來表示的〔1-2〕。如坐標(biāo)和動量的不確定度關(guān)系為

這里坐標(biāo)和動量的標(biāo)準(zhǔn)差是通過量子態(tài)為ψ的粒子束的衍射來測定的。中子的干涉測量實(shí)驗(yàn)證實(shí)了坐標(biāo)和動量這種不確定度關(guān)系〔3〕。

對廣義不確定度關(guān)系的推導(dǎo)有很多方法〔4-5〕。本文將介紹利用Cauchy-Schwarz不等式和厄米算符的特性來推證坐標(biāo)與動量的不確定度關(guān)系的方法，希望對同仁的量子力學(xué)教學(xué)提供一個參考。

1 Cauchy-Schwarz不等式的證明

設(shè)函數(shù)（fx）和g（x）在空間τ內(nèi)連續(xù)，并定義力學(xué)量算符I為：

式中λ為一實(shí)常數(shù)。令

則（2）式展開為：

由（2）式可知，積分I在空間的任意點(diǎn)都必定為非負(fù)，即I≥0。所以，當(dāng)且僅當(dāng)λ（fx）+g（x）在空間各點(diǎn)都為零時，I=0，所以

由于λ為實(shí)數(shù)，故不等式（5）有實(shí)根的條件是

也就是說，

這就是Cauchy-Schwarz不等式。該不等式在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，如線性代數(shù)的矢量運(yùn)算，數(shù)學(xué)分析中無窮級數(shù)和乘積的積分，以及概率論的方差和協(xié)方差分析等〔6-7〕。

2 Cauchy-Schwarz不等式的量子力學(xué)形式

當(dāng)系統(tǒng)處于量子態(tài)ψ（ψ為歸一化的波函數(shù)）時，兩個力學(xué)量算符A和B的期望值可表示為

兩個力學(xué)量算符的不確定度〔8〕為

令

則（7）式的Cauchy-Schwarz不等式左邊等于

式中〔A，B〕為厄米算符A、B的対易式。由（11）式和（12）式可得Cauchy-Schwarz不等式的量子力學(xué)形式為

3 坐標(biāo)和動量的不確定度

又因?yàn)椤瞲，px〕=-i?，所以（13）式等于

由于ψ是歸一化的波函數(shù)，所以∫ψ*ψdτ＝1，于是

這就是坐標(biāo)和動量的不確定度關(guān)系。

4 討論

當(dāng)坐標(biāo)和動量的平均值均為零時（如一維諧振子），根據(jù)（10）式和（14）式有

由（2）式可知，當(dāng)λ（fx）+g（x）=0時，（17）式將變?yōu)榈仁?，所以?7）式取等式的條件是

解為

〔1〕Heisenberg W.über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik〔J〕.Physics，1927，43（3-4）：172-198.

〔2〕Heisenberg W.The Physical Principles of the Quantum Theory〔M〕.Chicago：University of Chicago Press，1930.

〔3〕Kaiser H，Werner S A,and George E A.Direct Measurement of the Longitudinal Coherence Length of a Thermal Neutron Beam〔J〕.Physics Review Letter，1983，50（8）：560-563.

〔4〕王立志，柳盛典.不確定關(guān)系的廣義表達(dá)式〔J〕.魯東大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，25（4）：337-340.

〔5〕俞偉鈞.不確定關(guān)系的簡明推導(dǎo)與正確理解〔J〕.鹽城工學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2006，19（1）：71-72.

〔6〕Obada A S F，Salah H H,Darwish M A,et al.Generalized Trio Coherent States〔J〕.International Journal of Theoretical Physics，2005，44（9）：1347-1364.

〔7〕Ramasinghe W.The Cauchy-Schwarz inequality and the induced metrics on real vector spaces mainly on the real line〔J〕. International Journal of Mathematical Education in Science&Technology，2005，36（1）：35-41.

〔8〕曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)教程〔M〕.北京：科學(xué)出版社，2008.

Derivation of Position and Momentum Uncertainty Relation with Cauchy-Schwarz Inequality

XIE Yong
（College of Engineering,Dali University,Dali,Yunnan 671003,China）

This paper introduces the derivation of position and momentum uncertainty relation from Cauchy-Schwarz inequality and the properties of Hermitian operator,and discusses this uncertainty relation.For a Gaussian wave function,the inequality of uncertainty relation will hold equality sign.

Cauchy-Schwarz inequality;position;momentum;uncertainty relation;Hermitian operator

O413.1［文獻(xiàn)標(biāo)志碼］A［文章編號］1672-2345（2012）04-0025-03

中德科學(xué)基金項(xiàng)目（GZ585）

2011-09-15

謝勇，副教授，主要從事理論物理和生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)教學(xué)與研究.

（責(zé)任編輯 袁 霞）