王國軍 ，王 輝 ，席 翼

國民體質(zhì)評價(jià)中，通常采用百分位數(shù)法、離差法等確定等級上下限。該方法在大面積推廣和使用時存在的問題是，臨界點(diǎn)“指標(biāo)值”接近但“等級”評定卻相差甚遠(yuǎn)。如國民體質(zhì)評價(jià)中臺階指數(shù)評分（20～24歲年齡段）：46.1為“1分”，而46.2為“2分”，評價(jià)結(jié)果顯然不公平、不合理，減小了評價(jià)效能（如臺階指數(shù)58.1～67.6，雖進(jìn)步存在困難，但仍屬于同一等級，使進(jìn)步效果不明顯）。另外，當(dāng)前體質(zhì)健康綜合評價(jià)，類似的事例看似極端卻又不可避免，如血壓評價(jià)時可能出現(xiàn)收縮壓139 mmHg屬于正常范疇，而140 mmHg屬于高血壓范疇的尷尬境地。隨著模糊數(shù)學(xué)在綜合評價(jià)中的成功應(yīng)用，且人的體質(zhì)好壞又無明確的衡量標(biāo)準(zhǔn)，“優(yōu)”、“良”這類概念又具有明顯的模糊性，因此，模糊數(shù)學(xué)的出現(xiàn)為科學(xué)地進(jìn)行體質(zhì)健康評價(jià)提供有效途徑，使上述尷尬也隨之得到解決。隸屬程度的思想是模糊數(shù)學(xué)的基本思想，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵在于建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)，確立隸屬函數(shù)是模糊數(shù)學(xué)應(yīng)用于體質(zhì)健康評價(jià)的首要任務(wù)。

早在1965年，美國控制論專家扎德（L.A.ZADEH）教授就提出模糊數(shù)學(xué)的概念[1]。然而，自提出已過去多年，令人奇怪的是此方法在體質(zhì)健康綜合評價(jià)中的應(yīng)用僅10余篇報(bào)道，且集中在八九十年代[2-8]，近期又零星出現(xiàn)相關(guān)報(bào)道[9-11]；巧合的是國外情況也類似，主要應(yīng)用于疾病的判定和分級，如糖尿病性神經(jīng)病、肥胖等[12-14]。分析已有資料發(fā)現(xiàn)：應(yīng)用性研究中用于群體評價(jià)較常見，其模糊隸屬度的確立往往采用“模糊統(tǒng)計(jì)方法”[10，15]；另一類則應(yīng)用于個體體質(zhì)健康的評價(jià)，這類往往采用“指派方法”，郭業(yè)才[5]和王曉東[6]的研究就屬于此類，其建立的隸屬函數(shù)在體質(zhì)評價(jià)領(lǐng)域具有非常重要的引導(dǎo)意義，但也可能因處于探索初期，尚存在不完善之處。這類研究本就甚少，還存在質(zhì)疑點(diǎn)，且也未交待更多關(guān)于如何建立隸屬函數(shù)的理論基礎(chǔ)及程序，知其然而不知其所以然現(xiàn)象普遍存在，可能正因如此，此評價(jià)方法并未如大眾期望那樣蓬勃發(fā)展。

鑒于此，本研究基于上述2文研究中的質(zhì)疑點(diǎn)，理論簡述如何通過指派方法建立隸屬函數(shù)并最終確立體質(zhì)健康評價(jià)中常用的“4等級”和“5等級”隸屬函數(shù)模型，以期為今后模糊數(shù)學(xué)在體質(zhì)健康綜合評價(jià)中的應(yīng)用提供一定的理論參考依據(jù)。

1 2文隸屬函數(shù)中的質(zhì)疑點(diǎn)

1.1 2文中的隸屬函數(shù)

1.1.1 郭業(yè)才（“文1”）確立的隸屬函數(shù) 該文評價(jià)對象是青少年個體體質(zhì)，其評語集設(shè)定為：U={V1，V2，V3,V4,V5}，其中，V1=“良好”，V2=“較好”，V3=“一般”，V4=“較差”，V5=“落后”，與之對應(yīng)的隸屬度為 μ1、μ2、μ3、μ4、μ5，即屬“5 等級”隸屬函數(shù)，具體函數(shù)為：

式中，x表示該指標(biāo)在抽樣群體中的均值，s表示標(biāo)準(zhǔn)差，x為被測對象的實(shí)測值，以下同。

1.1.2 王曉東（“文2”）確立的隸屬函數(shù) 該文的評價(jià)對象是學(xué)生個體體質(zhì)，其評語集設(shè)定為：U={U1，U2，U3,U4}，其中，U1=“優(yōu)”，U2=“良好”，U3=“一般”，U4=“差”，與之對應(yīng)的隸屬度為 μ1、μ2、μ3、μ4，即屬“4 等級”隸屬函數(shù)，具體函數(shù)為：

1.2 質(zhì)疑點(diǎn)

1.2.1 分母中的“2” 不難發(fā)現(xiàn)，2文所建立的函數(shù)中，隸屬度除直接表示為“1”和“0”之外，其他任一隸屬函數(shù)的分母均為“2s”，應(yīng)用中導(dǎo)致隸屬度中未直接給出“1”時出現(xiàn)2個問題：（1）隸屬函數(shù)最大值僅為0.5且存在無法逼近或等于“1”的情況，如“文1”中的μ（2x）函數(shù)，當(dāng)時，隸屬函數(shù)理應(yīng)有最大隸屬度值，而結(jié)果僅為0.5，其潛在意義是：任何一個實(shí)測值在該等級中都不可能出現(xiàn)完全隸屬于此等級的情況；（2）該隸屬函數(shù)的區(qū)間僅為[0，0.5]，而并不是模糊數(shù)學(xué)理應(yīng)的區(qū)間[0，1]。若隸屬函數(shù)的值域僅為{0，1}，則正是經(jīng)典集合理論中的“非此即彼”，并未發(fā)揮模糊數(shù)學(xué)中“亦此亦彼”的不確定優(yōu)勢，模糊數(shù)學(xué)的隸屬度取值應(yīng)為[0，1]，而2文中的隸屬度取值僅為[0，0.5]。因此，去掉分母中的“2”則可以消除上述疑點(diǎn)。

1.2.2 部分隸屬函數(shù)的定義域不全 模糊數(shù)學(xué)用于體質(zhì)綜合評價(jià)時，由評價(jià)因素與評語集形成一個模糊矩陣R=（rtj）m×n，i=1，2…m；j=1，2…n，且都有 rtj∈[0，1]。評價(jià)時，必須運(yùn)用隸屬函數(shù)計(jì)算出每個指標(biāo)所在每個等級中的隸屬度。2文都存在部分隸屬函數(shù)定義域不全的情況，比如針對各自μ2（x）隸屬函數(shù)分別計(jì)算“較好”和“良好”等級隸屬度時，當(dāng)實(shí)測值大于x+2 s時，則找不到對應(yīng)的定義域及其相應(yīng)的隸屬函數(shù)，而現(xiàn)實(shí)中，這一情況并不少見。如以“文2”中的鉛球指標(biāo)為例，原文給出的鉛球均值為807.4 cm，標(biāo)準(zhǔn)差為41.1 cm，實(shí)測值為853 cm，對其隸屬函數(shù)細(xì)化，結(jié)果為：

從隸屬函數(shù)可知，853 cm不屬于此函數(shù)任何定義域范圍內(nèi)。

1.2.3 模糊函數(shù)略顯絕對化 以“文1”的μ2隸屬函數(shù)為例，按其題意，求“較好”隸屬度時，只要實(shí)測值小于均值，但如此一來，“較好”等級中的隸屬度就為“0”，即完全不屬于此等級。而根據(jù)模糊數(shù)學(xué)的思想，隸屬度即表示隸屬于某定義域內(nèi)的隸屬程度，越接近“1”表示越貼近“是”，而越接近“0”表示越貼近“否”。對于本例，當(dāng)實(shí)測值小于均值時，僅僅是隸屬于“較好”程度更小而已，不應(yīng)該完全排除在“較好”等級之外，具體將通過下文的新建隸屬函數(shù)與原函數(shù)計(jì)算結(jié)果對比進(jìn)行論證。

2.2.4 文中數(shù)學(xué)運(yùn)算有誤 2文均是如此，此處僅以“文1”中的身高為例

計(jì)算μ1：將x=150.0 cm與s=153.3 cm代入μ1隸屬函數(shù)：

其實(shí)測值為153.3，隸屬于x＜155.75區(qū)間，因此，其在“良好”的隸屬度為0，而原文結(jié)果為0.76。

同理，依次求出 μ2、μ3、μ4、μ5分別為 0.287、0.2137、0.287、0，按原文要求歸一處理，結(jié)果分別為 0、0.365、0.270、0.365、0，而與原文中的 0.76、0.24、0、0、0 分歧較大。結(jié)合實(shí)際思考，較易發(fā)現(xiàn)，153．3 cm 的身高大于均值（150．0 cm），但小于 x+s=（x+s=150．0+5．75=155．75），即起碼應(yīng)隸屬于“一般”及以上，但絕對不屬于“良好”等級范疇，而原文給出“良好”的隸屬度為0．76，“較好”的隸屬度為0．24，顯然，與實(shí)際并不相符，因此，其隸屬函數(shù)方程及數(shù)學(xué)運(yùn)算值得商榷。

2 隸屬函數(shù)的確立及應(yīng)用

2.1 理論簡述[15]

隸屬函數(shù)確定的常用方法主要有4種，體質(zhì)綜合評價(jià)中，往往采用模糊統(tǒng)計(jì)方法和指派方法，鑒于從建立隸屬函數(shù)的角度出發(fā)，此處重點(diǎn)探討指派方法。

所謂指派方法，就是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)，常用的模糊分布有矩形分布、梯形分布等。為了便于操作，在這里給出指派（或選擇）的大致方向。

偏小型模糊分布適合描述像“小”、“冷”、“差”等偏向小的模糊現(xiàn)象，其隸屬函數(shù)的一般形式為：，其中a為常數(shù)，而f（x）是非增函數(shù)。

偏大型模糊分布適合描述像“大”、“熱”、“優(yōu)”等偏向大的模糊現(xiàn)象，其隸屬函數(shù)的一般形式為：，其中a為常數(shù)，而f（x）是非減函數(shù)。

中間型模糊分布適合描述像“中”、“暖和”、“中等”等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象，其隸屬函數(shù)可以通過中間型模糊分布表示。需要特別指出的是，確定模糊集隸屬函數(shù)的方法多種多樣，但這些方法所給出的隸屬函數(shù)只是近似的。因此，需要在實(shí)踐中不斷通過學(xué)習(xí)，加以修改，使之逐步完善。

2.2 “4等級”、“5等級”常用隸屬函數(shù)的確立

個體體質(zhì)健康評價(jià)中，隸屬函數(shù)建立原理、步驟大同小異，故此處只以“5等級”隸屬函數(shù)建立為例。

2.2.1 臨界點(diǎn)的確定 體質(zhì)評價(jià)中等級確定往往采用百分位數(shù)法、離差法等，2文所選方法均是離差法。在定義等級時，若取“5 等級”，即為人們所熟知的“優(yōu)”、“良”、“中”、“下”、“差”，表示為：

特別指出：上述等級劃分僅依據(jù)“文1”列出，目的在于更好地理解2文提出的隸屬函數(shù)建立方法，因此，沒有對等級進(jìn)行更多地理論論證和實(shí)踐調(diào)查。臨界點(diǎn)的確定不具有普遍推廣意義，但等級的不同劃分不影響隸屬函數(shù)建立的原理，只是臨界值做相應(yīng)的調(diào)整即可，等級劃分的詳細(xì)原理及方法可參考《體育測量與評價(jià)》[16]。另外，此處列舉等級劃分時僅以數(shù)值越大其分值越高的指標(biāo)為例（如握力），指標(biāo)數(shù)值越大其分值越小的指標(biāo)，根據(jù)上述等級定義時正好相反，即“優(yōu)”應(yīng)當(dāng)是x≤x－2s，而“差”應(yīng)當(dāng)是 x≥x－2s，這類指標(biāo)常見時間類項(xiàng)目（如反應(yīng)時）。

2.2.2 “5等級”隸屬函數(shù)的確立 （1）“優(yōu)”等隸屬函數(shù)。根據(jù)等級臨界點(diǎn)可知，此體質(zhì)評價(jià)隸屬函數(shù)呈梯形分布，“優(yōu)”等隸屬函數(shù)屬于偏大型分布（見圖1）。

圖1 “優(yōu)”等隸屬函數(shù)分布示意圖Figure 1 The schematic dagram of“excellent”fuzzy membership function

所以“優(yōu)”等隸屬函數(shù)為：

特別指出：上述函數(shù)僅適用于指標(biāo)數(shù)值越大分值越高的項(xiàng)目（如握力），因此，等級內(nèi)為遞增函數(shù)。而對于時間類項(xiàng)目（如反應(yīng)時），則應(yīng)是遞減函數(shù)，但其隸屬函數(shù)建立原理與此類似，此處不再另外闡述，以下做相同處理。

（2）其他等級隸屬函數(shù)。根據(jù)已界定好的等級臨界點(diǎn)，繪出其它隸屬函數(shù)（見圖 2：a為“良”，b為“中”，c為“下”，d 為“差”）。其中，a、b、c為中間型模型分布，而d為偏小型模型分布。

按照求“優(yōu)”等隸屬函數(shù)的方法依次求出“良”、“中”、“下”、“差”4個等級的隸屬函數(shù)，結(jié)果為：

2.2.3 “4等級”隸屬函數(shù)的確立 依據(jù)“五等級”隸屬函數(shù)建立原理確立“4等級”隸屬函數(shù)，結(jié)果如下：

2.3 新隸屬函數(shù)的應(yīng)用——基于2文的原始數(shù)據(jù)

2.3.1 “5等級”隸屬函數(shù)的應(yīng)用 以“文1”身高為例

x=153．3 cm 在“良好”等級的隸屬度：x=153．3＜x+s=150．0+5．75=155．75，因此，在“優(yōu)”的隸屬度為 0，即 μ1=0。

圖2 “良”（a）、“中”（b）、“下”（c）、“差”（d）隸屬函數(shù)模型分布圖Figue 2 The schematic diagram of"good"（a），"average"（b），"below average"（c），"poor"（d）fuzzy membership function model

同理，求出 μ3、μ4、μ5的結(jié)果分別為：0．713、0．213、0。歸一化處理后 μ1、μ2、μ3、μ4、μ5的結(jié)果分別為：0、0．459、0．416、0．124、0，根據(jù)最大隸屬原則可知，此人身高隸屬“較好”。

2.3.2 “4等級”隸屬函數(shù)的應(yīng)用 以“文2”身高為例：x為170．99 cm，s=5．74 cm，x=172．2 cm。

求解過程同“2．3．1”，隸屬度歸一化處理后，μ1、μ2、μ3、μ4、μ5分別為：0、0．404、0．596、0，根據(jù)最大隸屬原則可知，此人身高隸屬“一般”。

3 討 論

3.1 有效地解決體質(zhì)評價(jià)中的尷尬事件

仍以身高為例，設(shè)有甲、乙2少年，其身高分別為151 cm和154 cm，借用“文1”中的等級分級標(biāo)準(zhǔn)、均值和標(biāo)準(zhǔn)差cm，s=5．75 cm）。根據(jù)分級可知：x－s=150－5．75=144．25；x+s=150+

若按原始等級標(biāo)準(zhǔn)判斷，則甲的身高應(yīng)屬于“中”等。同理，乙雖極其靠近“較好”，但根據(jù)原始等級標(biāo)準(zhǔn)仍判定為“中等”。由此可知，甲、乙屬同一等級，但乙明顯靠近“較好”，且遠(yuǎn)離“中等”中心，顯然評價(jià)不合理。若乙數(shù)據(jù)是甲在n年后的身高再測結(jié)果，雖然其已長高3 cm，但由于仍屬同一等級，其長高這一結(jié)果難以體現(xiàn)。若此指標(biāo)是某身體素質(zhì)指標(biāo)，那么其積極參與鍛煉后的效果不明顯，使得不合理評價(jià)可能挫傷其鍛煉的積極性。

若按新建立的隸屬函數(shù)計(jì)算，甲的隸屬度結(jié)果為：μ1=0、μ2=0．587、μ3=0．913、μ4=0．413、μ5=0；乙為：μ1=0、μ2=0．848、μ3=0．652、μ4=0．152、μ5=0。根據(jù)最大隸屬原則，甲身高屬“中等”，而乙則屬“較好”，與原始等級評價(jià)存在差異。

比較發(fā)現(xiàn)：運(yùn)用新隸屬函數(shù)不僅有效地區(qū)別甲與乙的實(shí)際差距，且根據(jù)隸屬程度大小還很容易發(fā)現(xiàn)其身高真實(shí)屬性，對乙而言，其身高隸屬“較好”，隸屬度貼近“1”，這與154 cm特別接近“較好”等級下限155．75 cm實(shí)際情況相符合。而甲的隸屬度0．913幾乎接近“1”，這與其身高151 cm無限接近“中等”中心150．0 cm 完全符合。

綜上所述，若直接使用經(jīng)典數(shù)學(xué)中的{0,1}取值，實(shí)踐應(yīng)用效果受限，而采用模糊數(shù)學(xué)思想，則有效地、合理地解決這類邊界模糊的評價(jià)，隸屬函數(shù)呈現(xiàn)出一定的緩沖段，“軟著陸”的方式與實(shí)際情況更符合、更易接受。

3.2 新建隸屬函數(shù)彌補(bǔ)區(qū)間僅為[0，0.5]的缺陷

新建任一非“0”和“1”的隸屬函數(shù)中，都保證模糊函數(shù)的隸屬度區(qū)間為[0，1]，彌補(bǔ)之前 2 文中區(qū)間僅為[0，0．5]且不連續(xù)的缺陷。如使用新建隸屬函數(shù)計(jì)算2文身高等級情況時，身高隸屬度結(jié)果就有大于0．5的情況存在，符合模糊函數(shù)求隸屬度的目的及意義。

3.3 新建隸屬函數(shù)解決原文中部分隸屬函數(shù)定義域不全的情況

新建隸屬函數(shù)中，每個等級隸屬度求解過程實(shí)測值都能找到相應(yīng)的定義域及其定義域所對應(yīng)的隸屬函數(shù)，即包含所有情況。

此處仍以鉛球?yàn)槔眯陆`屬函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。按“文2”給出的鉛球相關(guān)原始值進(jìn)行隸屬度計(jì)算，當(dāng)實(shí)測值為853 cm時，其隸屬度 μ1、μ2、μ3、μ4分別為：0．055、0．891、0．445、0，歸一化處理后結(jié)果為 0．039、0．640、0．320、0。顯然，實(shí)踐檢驗(yàn)過程中，沒有出現(xiàn)找不到相應(yīng)定義域的情況。

3.4 弱化原隸屬函數(shù)模糊時略顯絕對化趨勢

2文中間型等級隸屬函數(shù)，僅僅對相鄰的2個區(qū)間進(jìn)行模糊處理，出現(xiàn)如同“文1”中“較好”隸屬等級時，只要實(shí)測值小于均值，則在“較好”等級中的隸屬度就為“0”，即完全不屬于此等級。為更好地解釋其絕對化現(xiàn)象，此處以“文1”的“中”等為例進(jìn)行說明（見圖3）。

“文1”規(guī)定，當(dāng)實(shí)測值小于x－s或者大于x+s時，隸屬“中”等隸屬程度為“0”，即完全排除在“中”等外。而實(shí)際情況并非如此，以某少年實(shí)測值為x+1．2s為例，分3種情況進(jìn)行評價(jià)：

（1）在經(jīng)典集合理論中，其隸屬于“較好”等級，但不能否定的是，也特別接近“中等”等級（與中等下限 僅0．2 s的差距），顯然，用經(jīng)典集合理論評價(jià)出的結(jié)果說服力不足。

圖3 新建隸屬函數(shù)與“文1”原函數(shù)“中等”臨界點(diǎn)選擇對比Figue 3 The contrast of“average”critical point between new membership function and the primary function of“Literatures 1”

（2）按改進(jìn)后的隸屬函數(shù)計(jì)算結(jié)果為（改進(jìn)時去掉分母“2”，且完善其定義域）：μ1=0.2，μ2=0.8，μ3=0，μ4=0，μ5=0。

（3）用新建的隸屬函數(shù)分別求出其在各個等級的隸屬度：μ1′=0.2，μ2′=0.8，μ3′=0.4，μ4′=0，μ5′=0，根據(jù)最大隸屬度原則，其隸屬于“較好”等級。

不難看出，第（1）種評價(jià)方式明顯不合理，而第（2）和第（3）種評價(jià)的差別在于“中等”的取值：新函數(shù)中（μ′）為 0.4，而“文1”的（μ3）僅為 0。結(jié)合實(shí)際可知，x+1.2s隸屬于“較好”但也貼近“中”，只是貼近程度不如“較好”而已。顯然，隸屬度值更加直觀、詳細(xì)地描述與各個等級之間的貼近關(guān)系，不僅更加符合實(shí)際，也更迎合模糊數(shù)學(xué)“亦此亦彼”的思想。

4 結(jié)論與建議

4.1 結(jié)論

（1）指出當(dāng)前體質(zhì)評價(jià)中使用指派方法建立模糊隸屬函數(shù)時的一些質(zhì)疑點(diǎn)，并以商榷的形式引起后續(xù)相關(guān)研究的關(guān)注。

（2）基于對疑點(diǎn)的總結(jié)，依據(jù)模糊隸屬函數(shù)建立理論，建立體質(zhì)評價(jià)中常用“4等”和“5等”隸屬函數(shù)。

4.2 建議

（1）血壓、脈搏這類指標(biāo)不宜簡單使用“離差法”進(jìn)行等級劃分，其在正常范圍并非是越高或者越低越好，建議參照劉勵[10]提供的方法進(jìn)行評價(jià)。

（2）模糊數(shù)學(xué)評價(jià)的優(yōu)勢不僅僅解決單一指標(biāo)的評價(jià)，其關(guān)鍵作用在于能合理解決邊界模糊、量綱不統(tǒng)一的多類指標(biāo)的綜合評價(jià)。隸屬函數(shù)的建立只是模糊數(shù)學(xué)使用中關(guān)鍵的一環(huán)或者其中一種方式，真正應(yīng)用于實(shí)踐時還需結(jié)合實(shí)際情況綜合考慮。

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