周楠楠，薛國強(qiáng)，孔祥儒

（中科院礦產(chǎn)資源研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，中國科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所 北京 100029）

0 前言

瞬變電磁法屬于時間域電磁感應(yīng)方法，它利用不接地回線或者接地導(dǎo)線向地下發(fā)射階躍電流，觀測由地下介質(zhì)電磁感應(yīng)所引起的純二次場場值。由于觀測的是時間域的場值，早期信號反應(yīng)淺層地電特征，晚期信號到達(dá)較晚，反應(yīng)較深部的地電信息，從而達(dá)到測深的目的。電偶源瞬變電磁測深方法采用接地導(dǎo)線源裝置，將長接地導(dǎo)線直接作為偶極源處理，觀測位于偶極源較遠(yuǎn)距離處的場值響應(yīng)［1～5］。

電偶源瞬變電磁測深法具有工作效率高，對地電斷面分辨能力強(qiáng)，可以同時彌補(bǔ)頻率測深方法探測深度不足，以及MT方法使用天然場為場源的數(shù)據(jù)不足的缺點(diǎn)。該方法屬于深層瞬變電磁測深和回線源的瞬變電磁測深，具有很好的互補(bǔ)性，在煤田、油氣田、地?zé)崽锖偷貧ど畈刻綔y方面有著重要作用［6～12］。

在國際上，陸地和海洋的多道電源瞬變電磁研究，已經(jīng)取得了重要進(jìn)展，可為油氣勘探中識別油氣水和監(jiān)測液體流動提供重要依據(jù)。對電性源瞬變電磁響應(yīng)進(jìn)行深入研究非常必要，目前我國也開始籌備電源多道瞬變電磁儀器，準(zhǔn)備為研制和使用電性源多道瞬變電磁儀開展資源探測建立試驗(yàn)場地。目前在電偶源場值響應(yīng)的推導(dǎo)過程中存在大量的近似，這種近似的存在制約著電偶源測深精確測深的發(fā)展，因此，我們需要對電偶源測深響應(yīng)計(jì)算中存在的誤差進(jìn)行分析討論，使我們在使用電偶源測深時對電偶源的數(shù)據(jù)處理和解釋有更加清晰的認(rèn)識。

作者在本文通過計(jì)算，對電性源瞬變電磁響應(yīng)計(jì)算中的理論誤差進(jìn)行研究，研究結(jié)果對電性源瞬變電磁法的推廣應(yīng)用具有重要的意義。

1 偶極源本身有長度時的誤差

對于電偶極子的定義不是有限長度線源的電荷分布，而是區(qū)域分布的概念［13］。理論上，我們在討論電偶極源的問題時，應(yīng)該假設(shè)源為點(diǎn)源。但在實(shí)際的應(yīng)用中，我們往往以遠(yuǎn)區(qū)條件作為偶極子近似的標(biāo)準(zhǔn)，那么這種近似會帶來多大的計(jì)算誤差呢？我們將以有線長度的天線赤道向上產(chǎn)生的水平電場為例，分析天線長度不為“1”產(chǎn)生的場值及相對應(yīng)的視電阻率的修正問題。

將記錄點(diǎn)設(shè)在物探遠(yuǎn)區(qū)場，以保證近似條件的滿足，如圖1所示，并假設(shè)發(fā)射天線上的電流是均勻的。

圖1 偶極子天線源場值計(jì)算示意圖Fig.1 Schematic map of dipole antenna

計(jì)算赤道向的Ex處理方式是，把發(fā)射天線源分為許多地小段，當(dāng)段數(shù)足夠多時，對每一小段就可以使用偶極子公式進(jìn)行計(jì)算。設(shè)r為發(fā)射天線中心點(diǎn)到觀測點(diǎn)的距離，r′為天線上某一小段（x，x＋dx）到觀測點(diǎn)的距離：

另外，對以該小段來說，觀測點(diǎn)也不再是赤道向，其角度為α：

納米吉安［14］給出了均勻半空間模型下的，平行于電偶極源的電場Ex的表達(dá)式（3）。

將式（2）代入式（3）中，并運(yùn)用三角函數(shù)關(guān)系cos2α＝2cos2α－1，可以得到式（4）。

對于層狀模型的情況，水平分層情況下的物探遠(yuǎn)區(qū)場的表達(dá)式與均勻半空間的模型相似，只是在其中的σ乘上一個因子。

因此，最終我們得到如圖1所示的一小段天線在觀測點(diǎn)所產(chǎn)生的電場x分量（用dEx表示），可以通過偶極子公式來計(jì)算：

在物探遠(yuǎn)區(qū)｜kr′｜?1，在式（5）中，含有e－ikr′的項(xiàng)都可以略去，因此得到遠(yuǎn)區(qū)物探場的電場分量的表達(dá)式為：

然后，再對各小段產(chǎn)生的場疊加起來，就可以得到總的Ex。當(dāng)段數(shù)無限多時，求和就成為對dx的積分，積分的結(jié)果是：

位于中心點(diǎn)的偶極子產(chǎn)生的場為：

另外，在進(jìn)行場強(qiáng)測量時，由于接收天線有一長度所測的場不是某一點(diǎn)的值，而是該點(diǎn)附近的平均值，因此需要做一個修正。以物探遠(yuǎn)區(qū)赤道向的Ex為例，設(shè)接收天線的長度為l′，同樣得到實(shí)測的電場ˉEx與接收天線中心點(diǎn)的Ex的關(guān)系為：

在發(fā)射天線和接收天線都比較長時，可以將兩個修正因子乘起來，于是在赤道向有式（11）。

表1 發(fā)射長度為“1”時，收發(fā)距不斷變化引起的視電阻率的校正因子表Tab.1 Correction factor of apparent resistivity for different offset at the length of 1

2 均勻半空間頻率域場響應(yīng)計(jì)算時的近似

2.1 準(zhǔn)靜態(tài)條件下的位移電流影響

納米吉安［14］指出在有限源問題中，通常只有發(fā)射和接收裝置均置于地面，且頻率足夠低，因而可以采用準(zhǔn)靜態(tài)近似時，才能方便地求得解析解。

在層狀介質(zhì)下的Ex表達(dá)式為

在均勻半空間的介質(zhì)條件下：

式（13）是在層狀介質(zhì)下的場的表達(dá)式，通過準(zhǔn)靜態(tài)近似得到均勻半空間下的場的解，在準(zhǔn)靜態(tài)條件下，忽略位移電流的影響。因此，λ和k1之間存在著近似的對等，這種誤差的影響較小，但在理想電介質(zhì)中這種誤差不可忽略。在常見的地質(zhì)結(jié)構(gòu)中，電導(dǎo)率值相對理想電介質(zhì)較高，而且電偶源瞬變電磁的發(fā)射頻率屬于低頻的范圍，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于位移電流需要考慮時的高頻值。

2.2 比擬過程中的誤差分析

為了得到諧變電偶極源的場的特點(diǎn)，往往采用比擬的方法，即將諧變的發(fā)射頻率設(shè)為零，在求頻率等于零的均勻半空間表面上，當(dāng)水平電偶極子形成的電磁場特征時，存在一種假設(shè)條件［15］即：

使得原本的均勻半空間介質(zhì)的頻率域的電場徑向分量從式（14），在頻率等于零時（恒定電流場），簡化成式（15）。

式中 ρ表示均勻半空間的電阻率值。

這種級數(shù)的省略帶來了一定的計(jì)算誤差，我們以ex不同階數(shù)的展開式為例進(jìn)行分析，設(shè)x不斷變化時，各級數(shù)項(xiàng)省略帶來的計(jì)算誤差。

相對誤差＝（精確值－各階次近似）／精確值。所有數(shù)值小數(shù)點(diǎn)后顯示六位有效數(shù)字。

表2（見下頁）為ex的麥克格林級數(shù)展開的不同次數(shù)近似的相對誤差分析。

2.3 遠(yuǎn)區(qū)勘探近似公式存在的誤差分析

表2 ex的麥克格林級數(shù)展開的不同次數(shù)近似的相對誤差表Tab.2 Relative error for different power at the Maclaurin series

（1）近區(qū)：Kr?1的區(qū)域。

（2）遠(yuǎn)區(qū)：Kr?1的區(qū)域。

不論近區(qū)和遠(yuǎn)區(qū)，都同時有感應(yīng)場和輻射場存在，不過若將兩者比較起來：在近區(qū)感應(yīng)場較強(qiáng)，輻射場可忽略；在遠(yuǎn)區(qū)，輻射場較強(qiáng)，感應(yīng)場可以忽略。因而近區(qū)主要顯現(xiàn)感應(yīng)場的性質(zhì)，遠(yuǎn)區(qū)主要顯現(xiàn)輻射場的性質(zhì)。盡管在近區(qū)內(nèi)輻射場比感應(yīng)場小，但仍比遠(yuǎn)區(qū)的輻射場大很多，否則就會得出離波源越遠(yuǎn)，輻射場越強(qiáng)的錯誤結(jié)論。實(shí)際上，輻射場由近及遠(yuǎn)隨著距離的增加而逐漸衰減。

均勻大地情況水平電偶極子的物探場，理論計(jì)算的物探場值為：

在遠(yuǎn)區(qū)，k1r?1，式（16）中包含eik1r的項(xiàng)略去，則有：

由于在實(shí)際使用中的發(fā)射頻率較低，而且探測區(qū)電阻率相對真空小的多，因此，忽略eik1r不會帶來較大的相對誤差，可以忽略。

3 時間頻率域轉(zhuǎn)換的誤差存在分析

雖然，在某種條件下頻域數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)換成時域數(shù)據(jù)，但就一次場對觀測結(jié)果的影響而言，兩者截然不同。以往先求得頻域公式，然后經(jīng)由頻域到時域的轉(zhuǎn)換，利用已有的時域場的結(jié)果來研究時域問題，不失為一種重要的方法。但是，有時候很難確定在頻率域中采取的哪些近似會對時域影響不大；哪些近似影響較大，可能會掩蓋時域最本質(zhì)的屬性。根據(jù)因果律，無論何種形式的時間域～頻率域轉(zhuǎn)換，都會引起截?cái)嗾`差和混跌計(jì)算誤差。比如，按照偶極子疊加由頻域轉(zhuǎn)換得到的回線源時域解，感應(yīng)電動勢往往在回線邊框附近迅速增長，產(chǎn)生奇異。實(shí)際上，由于時域中的因果關(guān)系，對于以階躍函數(shù)下降沿觸發(fā)的瞬變場，當(dāng)電源關(guān)斷后，在原來的源點(diǎn)處，不會發(fā)生奇異，這也是時域瞬變場能夠?qū)崿F(xiàn)頻域無法實(shí)現(xiàn)的同點(diǎn)裝置的原因。在恒定電流場時，偶極源的場解在源點(diǎn)時是奇異的。但我們在野外實(shí)際觀測的數(shù)據(jù)是存在的，因?yàn)楹愣娏鲌霾淮嬖趫鲈吹年P(guān)斷，而瞬變電磁法勘探中場源關(guān)斷后的場解是非奇異的。這也是時間域瞬變電磁測深優(yōu)于頻率域測深的地方。

4 水平層狀介質(zhì)的電偶源場值響應(yīng)常規(guī)計(jì)算的誤差分析

針對電偶源，一般使用數(shù)字濾波等方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換。在轉(zhuǎn)換中存在計(jì)算誤差，通過分析與解析解的對比，分析誤差存在。

納米吉安［14］給出層狀模型下的水平電偶源的垂直磁場頻域解的表達(dá)式：其中 I表示激發(fā)電流；ds代表偶極源長度；y表示觀測點(diǎn)到偶極源的赤道距離；r為收發(fā)距；J1（λρ）為一階貝塞爾函數(shù)；λ2＝＋，k0表示波數(shù)。

對于N層大地，地表導(dǎo)納為：

對式（18）進(jìn)行傅里葉變換式，可得：

得到時域瞬變電磁場響應(yīng)公式

圖2為坐標(biāo)點(diǎn)（0，1）分別使用均勻半空間的精確解和數(shù)字濾波方法計(jì)算出的場值相對誤差曲線。

在遠(yuǎn)區(qū)情況下，選取坐標(biāo)點(diǎn)（0，1000），給出該點(diǎn)的數(shù)字濾波方法場值與精確解的相對誤差曲線。

通過圖2和圖3的對比發(fā)現(xiàn)，在收發(fā)距較小的近區(qū)，場值響應(yīng)使用數(shù)字濾波方法求解漢克爾變換和余弦變換時存在一定的計(jì)算誤差，尤其是在時間較大時。但對于遠(yuǎn)區(qū)點(diǎn)時，在瞬變電磁測深的觀測時間范圍內(nèi)，數(shù)字濾波的計(jì)算偏差可以忽略。以（0，1000）點(diǎn)為例，在10ms時，相對誤差只有6.782 97E－07，可以滿足野外實(shí)際觀測的需要。

5 結(jié)論

通過上述分析，我們發(fā)現(xiàn)在電偶極源瞬變電磁測深的場值響應(yīng)的推導(dǎo)過程中存在著多處近似，這些近似有的帶來較大的計(jì)算偏差，如偶極子自身有長度時的誤差和數(shù)值計(jì)算近區(qū)場值時相對誤差，需要引起我們的注意。同時，在勘探電磁學(xué)中，往往需要先在頻域中求得穩(wěn)態(tài)場，然后經(jīng)傅里葉或拉普拉斯變化得到時間域的解這一轉(zhuǎn)換的過程掩蓋了因果律，同時在實(shí)際的時～頻域的變換時帶來了計(jì)算誤差。

盡管瞬變電磁法測深方法和頻域場測深方法幾乎同時出現(xiàn)，但由于傳統(tǒng)的電磁場理論著重研究單一頻率的電磁波，直接在時域進(jìn)行瞬變電磁場研究還屬于探索階段。我們認(rèn)為有必要尋找一種直接時域求解的方法，以避開頻率域求解場值公式時帶來的近似和計(jì)算偏差。

以時變點(diǎn)電荷為基本單元，不再經(jīng)過傅里葉或拉普拉斯變換，直接在時間域中推導(dǎo)層狀介質(zhì)表面上的瞬變場解析式，研究時域輔助函數(shù)的選取，時變點(diǎn)電荷載流元的處理等，經(jīng)過一系列處理，分析瞬變場在典型地層和不同場區(qū)的響應(yīng)特征，為瞬變電磁法的進(jìn)一步發(fā)展和實(shí)際勘探提供理論基礎(chǔ)。

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