中鐵大橋局集團(tuán) 第一工程有限公司 李付偉

96251部隊(duì) 劉靈杰

中鐵大橋局集團(tuán) 第一工程有限公司 王曉智

斜軸墨卡托投影的長(zhǎng)度變形分析

中鐵大橋局集團(tuán) 第一工程有限公司 李付偉

96251部隊(duì) 劉靈杰

中鐵大橋局集團(tuán) 第一工程有限公司 王曉智

一、斜軸墨卡托投影

在工程測(cè)量中，經(jīng)常需要對(duì)地面點(diǎn)的投影進(jìn)行計(jì)算，以獲得工程測(cè)量必需的數(shù)據(jù)。地面點(diǎn)投影的實(shí)質(zhì)是雙重投影，即先進(jìn)行球面投影，再沿路線方向進(jìn)行斜軸墨卡托投影。具體投影主要有兩種方法：一是先將地面點(diǎn)歸算至相應(yīng)的參考橢球面，再將參考橢球面點(diǎn)投影到球面；二是直接將地面點(diǎn)投影至球面，之后進(jìn)行斜軸墨卡托投影。

斜軸墨卡托投影作為地面點(diǎn)投影計(jì)算的重要步驟，其計(jì)算的精度將直接影響最終的結(jié)果。無論是將地面點(diǎn)投影至參考橢球面，再將參考橢球面點(diǎn)投影至球面；還是直接將地面點(diǎn)投影至球面，再進(jìn)行斜軸墨卡托投影，每一步都將產(chǎn)生長(zhǎng)度變形。本文，筆者分析了球面投影的長(zhǎng)度變形，并比較了斜軸墨卡托投影和高斯投影的變形情況，總結(jié)了斜軸墨卡托投影長(zhǎng)度變形的大小和規(guī)律，對(duì)工程測(cè)量具有指導(dǎo)作用。

一、球面投影的長(zhǎng)度變形

1.投影點(diǎn)在參考橢球面上投影時(shí)的長(zhǎng)度變形分析。球面投影公式如下：

式（1）中，λ為球面經(jīng)度，L為參考橢球面經(jīng)度，φ為球面緯度，μ為參考橢球面投影至球面的長(zhǎng)度變形，R為測(cè)區(qū)平均曲率半徑，B為參考橢球面緯度，N為卯酉圈曲率半徑，ω為角度變形。α，U和K分別按下式計(jì)算。

式（2）、（3）和（4）中，B0為參考橢球面平均緯度，e為第一偏心率，φ0為測(cè)區(qū)平均緯度經(jīng)球面投影后的緯度（φ0＝arcsin（sinB0）/α），U0按下式計(jì)算。

在同一參考橢球面上，球面投影長(zhǎng)度變形與測(cè)區(qū)平均緯度B0和投影點(diǎn)緯度B有一定的關(guān)系，而與經(jīng)度無關(guān)。取測(cè)區(qū)平均緯度B0的平均曲率半徑作為投影球面半徑，若球面投影在平均緯度為B0的緯線圈上沒有變形（長(zhǎng)度比μ＝m＝n＝1，面積比p＝1，ω＝0），則稱B0為該緯線的標(biāo)準(zhǔn)緯線。

取WGS–84為參考橢球參數(shù)，測(cè)區(qū)平均橢球面緯度取B＝33°00′00″，假設(shè)地面點(diǎn)在參考橢球面上。隨著緯度變化，球面投影長(zhǎng)度也不斷變化。兩者變形情況見表1。

表1 點(diǎn)位于參考橢球面上、緯度變化時(shí)球面投影長(zhǎng)度變形統(tǒng)計(jì)

由表1可知，取標(biāo)準(zhǔn)緯度線B0＝33°，在緯度相差4°、南北距離達(dá)440 km的情況下，當(dāng)投影點(diǎn)投影到參考橢球面上時(shí)，球面投影長(zhǎng)度變形最大只有0.009/100 000。對(duì)于一些普通工程測(cè)量來說，要求投影長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)變形不大于1/40 000；因此在有些工程測(cè)量中，該長(zhǎng)度變形可以忽略不計(jì)。

2.當(dāng)投影點(diǎn)不在參考橢球面上，而在不同高程面上時(shí)對(duì)投影長(zhǎng)度變形的影響。

（1）當(dāng)?shù)孛纥c(diǎn)平均大地高不大時(shí)，直接將地面點(diǎn)地理坐標(biāo)投影至由相應(yīng)參考橢球參數(shù)和測(cè)區(qū)中心緯度計(jì)算出的球面上。由式（1）可知：

式（6）中，R＝c0/（1＋e′2cos2B0），為測(cè)區(qū)中心點(diǎn)（B0，L0）處的平均曲率半徑，式中c0為（B0，L0）處橢球極曲率半徑；N＝c/（1＋e′2cos2B）1/2，為投影點(diǎn)位置處卯酉圈的曲率半徑，式中c為投影點(diǎn)處的極曲率半徑。

對(duì)于某一測(cè)區(qū)來講，α為常數(shù)，令ν0＝（1＋e′2cos2B0）1/2，ν＝（1＋e′2cos2B）1/2，e′為（B0，L0）處橢球第二偏心率，則公式（6）可變?yōu)?/p>

式（7）即為直接將地面點(diǎn)投影至球面時(shí)的長(zhǎng)度變形公式。

（2）當(dāng)?shù)孛纥c(diǎn)距離參考橢球面較遠(yuǎn)時(shí)，可將地面點(diǎn)先歸化至相應(yīng)參考橢球面后再進(jìn)行球面投影。在這一投影過程中，為減小長(zhǎng)度變形，須重新計(jì)算新的參考橢球參數(shù)，并且須將測(cè)區(qū)用作首級(jí)控制點(diǎn)的國(guó)家大地坐標(biāo)經(jīng)緯度轉(zhuǎn)換為新參考橢球面上的大地坐標(biāo)經(jīng)緯度，再按公式（1）計(jì)算球面投影。

目前，在采用參考橢球參數(shù)計(jì)算時(shí)，認(rèn)為新橢球和國(guó)家坐標(biāo)系相應(yīng)參考橢球的扁率相等，第一偏心率和第二偏心率與國(guó)家坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的參考橢球的參數(shù)相等。即

則新橢球的長(zhǎng)半軸計(jì)算公式為

式（9）中，e表示國(guó)家橢球的第一偏心率，a表示國(guó)家橢球長(zhǎng)半軸，Bm表示測(cè)區(qū)中心在國(guó)家橢球中的緯度，e′表示國(guó)家橢球的第二偏心率，Hm表示測(cè)區(qū)在國(guó)家橢球中的平均大地高（通常用正常高代替）或抵償面大地高。

其他點(diǎn)在新參考橢球面上的計(jì)算同國(guó)家橢球，國(guó)家控制點(diǎn)在國(guó)家參考橢球面上的地理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到新參考橢球面上的地理坐標(biāo)計(jì)算公式如下：

式（10）和（11）中，B，L和H為國(guó)家控制點(diǎn)大地坐標(biāo)；Δa為國(guó)家橢球與新橢球長(zhǎng)半軸之差，Δa＝a新－a；M，N分別為參考橢球子午圈、卯酉圈曲率半徑。M，N和ΔH的計(jì)算公式如下：

取測(cè)區(qū)中心橢球面標(biāo)準(zhǔn)緯度為B＝33°00′00″，國(guó)家橢球參數(shù)取WGS–84。采用上述兩種方法，將不同高程面的地面點(diǎn)投影至球面時(shí)投影長(zhǎng)度變形和球面歸化長(zhǎng)度變形見表2。

表2 不同高程面上投影長(zhǎng)度變形和橢球面歸化長(zhǎng)度變形

由表2可知，在高度條件不超過100 m時(shí)，高程對(duì)球面投影長(zhǎng)度的變形，以及地面點(diǎn)歸化到所參考的橢圓球面的長(zhǎng)度變形，可以說是完全相同的。應(yīng)用雙重投影建立抵償高程面，其高度是63 m（長(zhǎng)度變形0.989/10 0000），這與高斯投影的歸化高程抵償面的高程是相同的。

三、斜軸墨卡托投影的長(zhǎng)度變形

斜軸墨卡托投影長(zhǎng)度變形公式如下：

斜軸墨卡托投影是沿球面與圓柱的切線為投影中線的等角投影，在投影中線上Z＝90°，取地球平均曲率半徑R＝6 371 km，斜軸墨卡托投影長(zhǎng)度變形隨Z角的變化而變化，由式（15）可知，斜軸墨卡托投影長(zhǎng)度變形沿投影中線兩側(cè)呈對(duì)稱分布，與投影中線的距離S＝（π/2－Z），由參考橢球面歸算到高斯平面的平面坐標(biāo)長(zhǎng)度變形公式如下：

式（16）中，R為測(cè)區(qū)平均曲率半徑，取地球平均曲率半徑R＝6 371 km代替；y表示高斯投影橫坐標(biāo)（自然值），即距離投影中央子午線的距離。在距離投影中線或中央子午線不同距離處，斜軸墨卡托投影長(zhǎng)度變形與高斯投影長(zhǎng)度變形比較結(jié)果見表3。

表3 斜軸墨卡托投影和高斯投影長(zhǎng)度變形的比較

由表3可知，斜軸墨卡托投影沿投影中線投影，兩側(cè)長(zhǎng)度變形大小呈對(duì)稱分布，距離投影中線愈遠(yuǎn)則長(zhǎng)度變形愈大，在長(zhǎng)度變形接近1/100 000時(shí)，距離投影中線為28 km，投影帶寬為56 km。與高斯投影相比較，高斯投影長(zhǎng)度變形沿中央子午線兩側(cè)呈對(duì)稱分布，隨距離中央子午線距離的增加而增加，如果規(guī)定投影長(zhǎng)度變形不大于1/100 000，帶寬也是56 km，兩種投影長(zhǎng)度變形的大小基本相等。

四、結(jié)論

斜軸墨卡托投影長(zhǎng)度的變形主要和地面點(diǎn)高程及距離投影中線的距離有關(guān)：高斯投影長(zhǎng)度的變形主要和地面點(diǎn)高程與距離中央子午線的距離有關(guān)。兩種投影方法長(zhǎng)度變形的大小基本相同，長(zhǎng)度變形的特點(diǎn)相似，但應(yīng)用中前者較后者靈活得多，尤其是線形工程測(cè)量，斜軸墨卡托投影更為合適。