劉程，李鐵山，陳納新

(1.大連海事大學(xué) 航海學(xué)院，遼寧大連116026;2.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240;3.大連海事大學(xué)數(shù)學(xué)系，遼寧大連116026)

近年來(lái)，航運(yùn)業(yè)迅速發(fā)展，對(duì)于船舶航行安全、節(jié)能、降低船員的勞動(dòng)強(qiáng)度的要求日益增強(qiáng)，所以船舶航向控制問(wèn)題得到了大家的關(guān)注.尤其是從70年代以來(lái)，各種控制技術(shù)不斷應(yīng)用于航向控制，如自適應(yīng)控制［1-2］、H∞控制［3-5］、魯棒控制［6-8］以及先進(jìn)智能控制［9］等.然而，迄今為止，很多控制算法還不能應(yīng)用于工程實(shí)際.究其原因主要是一方面，船舶動(dòng)態(tài)具有高度非線性、長(zhǎng)時(shí)滯、大慣性等特性，同時(shí)風(fēng)、浪、流等外擾的隨機(jī)性以及航行工況(裝載、航速等)的頻繁變化使船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型呈現(xiàn)明顯的不確定性.這些特性使得很多控制算法不能適用;另一方面，一些控制算法本身由于算法復(fù)雜、計(jì)算負(fù)擔(dān)重，在線執(zhí)行耗時(shí)明顯而限制了其在工程實(shí)踐中的應(yīng)用.因此，研發(fā)易于工程實(shí)現(xiàn)的自動(dòng)舵控制算法正成為目前船舶控制領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn).

本文針對(duì)帶有舵機(jī)特性的非線性船舶航向控制系統(tǒng)，提出了一種計(jì)算量小、易于工程實(shí)現(xiàn)的自動(dòng)舵控制算法.

利用Lyapunov方法證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了方法的有效性.

1 問(wèn)題的提出

非線性船舶航向控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的舵角δ和航向φ的關(guān)系可以用下面的數(shù)學(xué)模型描述:

式中:K、T分別表示時(shí)間增益和時(shí)間常數(shù)，它們都是船舶前進(jìn)速度和船長(zhǎng)的函數(shù).H(φ·)是φ·的非線性函數(shù)，可以近似表示為［10］

式中:ai(i=1，2，3，…)是實(shí)值常數(shù).

由于船舶的舵機(jī)系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)階躍操舵，忽略舵機(jī)特性將影響控制系統(tǒng)的性能品質(zhì)［11］.因此，從實(shí)際應(yīng)用來(lái)看，為了獲得良好的航向控制性能，還應(yīng)考慮舵機(jī)伺服系統(tǒng)的特性.船舶舵機(jī)的動(dòng)力特性可以描述為

式中:δE為舵機(jī)發(fā)出的命令舵角，δ為實(shí)際舵角，KE為舵機(jī)控制增益，TE為舵機(jī)時(shí)間常數(shù).

定義 x1=φ，x2=，x3= δ及 u= δE，由式(1)、(3)可得到包含舵機(jī)特性的非線性船舶航向控制系統(tǒng)模型:

式中:f2=－(1/T)H)，g2=K/T，f3= － (1/TE)，g3=KE/TE.

本文的目標(biāo)是針對(duì)系統(tǒng)(4)設(shè)計(jì)一種簡(jiǎn)單、計(jì)算量小的自適應(yīng)模糊控制器使閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)都有界，且使跟蹤誤差z1=x1(t)－yd(t)能夠任意小.

首先，對(duì)上述系統(tǒng)做如下假設(shè):

假設(shè)1 控制增益gi(i=2，3)是嚴(yán)格正的或者負(fù)的，即滿(mǎn)足不等式0＜bmin≤|gi|≤bmax，其中 bmin，bmax是上下界.不失一般性，假設(shè)0＜bmin≤gi.

假設(shè)2 系統(tǒng)函數(shù)f2和f3是完全未知的.

假設(shè)3 參考信號(hào)yd(t)光滑有界且具有2階連續(xù)有界的導(dǎo)數(shù)，即存在一個(gè)正的常數(shù)B0，使得集合∏0∶B0}成立.

2 T-S模糊系統(tǒng)

一般來(lái)說(shuō)，T-S型模糊系統(tǒng)可以按照以下K條模糊規(guī)則構(gòu)造:

式中:aij(i=1，2，…，K;j=1，2，…，n)是未知常數(shù)，表示輸入模糊變量.采用乘積模糊推理機(jī)評(píng)估ANDS模糊規(guī)則，經(jīng)過(guò)中心平均解模糊器去模糊化，T-S模糊系統(tǒng)的輸出可以表示為

式中:ξ(x)=［ξ1(x) ξ2(x) … ξK(x)］，ξi(x)=)］稱(chēng)為模糊基函數(shù)，(xj)稱(chēng)為模糊隸屬度函數(shù)，矩陣

下面的引理1表明，T-S模糊模型可以做為通用函數(shù)逼近器，在任意的凸緊集上，以任意精度逼近任意光滑非線性函數(shù)［12］.

引理1 對(duì)于任意給定的連續(xù)函數(shù)f(x)，在論域U∈Rn內(nèi)，?ε＞0，存在一個(gè)如式(5)所示的T-S模糊系統(tǒng)x，Ax)，使得下式成立:

式中:ε 表示逼近誤差［10］.

3 控制設(shè)計(jì)

由于系統(tǒng)(4)是一個(gè)非匹配系統(tǒng)，可以采用后推方法(backstepping)進(jìn)行設(shè)計(jì).而傳統(tǒng)的后推方法在每一步都要對(duì)虛擬控制律進(jìn)行重復(fù)求導(dǎo)，導(dǎo)致較高階虛擬控制律和最終控制器所含項(xiàng)隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加爆炸性膨脹，導(dǎo)致計(jì)算膨脹，從而限制了這種方法在實(shí)際工程中的應(yīng)用.而動(dòng)態(tài)面控制(DSC)方法［13］能夠解決該問(wèn)題.

現(xiàn)在將DSC思想融入后推方法，對(duì)系統(tǒng)(4)進(jìn)行自適應(yīng)模糊跟蹤控制設(shè)計(jì).其遞歸設(shè)計(jì)過(guò)程包含3步.在每一步，設(shè)計(jì)虛擬控制量ai+1.最后，在第3步，構(gòu)造實(shí)際控制律.下面將給出設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)要過(guò)程.

1)定義誤差變量z1=x1－yd，則

將x2看做式(6)的虛擬控制量，并取其理想值，即虛擬控制律α2如下:

式中:k1是正的設(shè)計(jì)常數(shù).

現(xiàn)在借助DSC思想，引入新變量s2，令α2通過(guò)帶有時(shí)間常數(shù)η2的一階濾波器［14］:

2)定義誤差變量z2=x2－s2，則有

由于f2未知，采用T-S模糊系統(tǒng)(5)逼近，則有

然后可得

由于

類(lèi)似地，選擇虛擬控制律α3如下:

式中:λ2=;k2、γ2、δ2是設(shè)計(jì)參數(shù);、分別是λ2和θ2的估計(jì)值，其自適應(yīng)律將在后面給出.

現(xiàn)在引入變量s3，令α3經(jīng)過(guò)時(shí)間常數(shù)為η3的一階濾波器:

3)定義 z3=x3－s3，則有

類(lèi)似地，f3可以近似為

類(lèi)似地

現(xiàn)在來(lái)選擇控制輸入u:

式中:λ3=;k3、γ3、δ3是正常數(shù)分別是λ3和θ3的估計(jì)值.

定理1 考慮由式(4)、(7)、(13)、(19)和(20)組成的閉環(huán)系統(tǒng)，如果給定一個(gè)正數(shù)p2，所有初步條件滿(mǎn)足，(i=1，2，3).則存在 k、γ 、δ、iiiσi1、σi2、Γi1和 Γi2使得閉環(huán)系統(tǒng)的解有界.并且，對(duì)于任意給定的一個(gè)正數(shù)μ1＞0，可以通過(guò)調(diào)整控制器參數(shù)而使得跟蹤誤差充分小，即使得z1=y(t)－yd(t)滿(mǎn)足|z1(t)|≤μ1.

證明 (略).

首先，定義一個(gè)新的誤差變量:

式中:B2(·)是式(22)右邊的剩余項(xiàng)，是一個(gè)連續(xù)函數(shù).類(lèi)似地，有

同樣，B3也是一個(gè)連續(xù)函數(shù).

考慮到xi+1=zi+1+si+1和 si+1=yi+1+αi+1，整個(gè)誤差系統(tǒng)可以表示為

將αi+1(i=1，2)和控制輸入u代入式(24)得

考慮如下Lyapunov預(yù)選函數(shù):

注意到

由于 z2z1≤(z2/2)2+z21，y2z1≤(y2/2)2+z21，同時(shí)注= －y/n意到ii(i=2，3)，

則式(27)變?yōu)?/p>

現(xiàn)在考察式(33)右邊最后2項(xiàng)的屬性.先考察Bi+1(i=1，2)的屬性.

由于集合∏0∈R3和∏i∈)(其中 Nj是的維數(shù))都是緊的，因此∏0×∏i∈i∈)也是緊的.因而|Bi+1|在∏0×∏i上具有一個(gè)最大值M［11］.

現(xiàn)在選取 σi1/2λmax(bmin)= σi2/2λmaxα0為一個(gè)正的常數(shù).如果選擇γ＜1，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，則式(34)變?yōu)?/p>

由上文可見(jiàn)，閉環(huán)系統(tǒng)的所有解都是有界的.并且，對(duì)于任意的 μ1＞(ρ/α0)1/2，存在一個(gè) T ＞0，使得對(duì)于所有的t≥t0+T，都有‖z1(t)≤μi‖成立.這是因?yàn)橥ㄟ^(guò)選取適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)參數(shù) k1、γ1、δ1、η2、σ11、σ12、Γ11和Γ12，可以使得(ρ/α0)1/2任意小.從而使得跟蹤誤差z1=y(t)－yd(t)盡可能地小.定理1證畢.

4 計(jì)算機(jī)仿真算例

在這部分，以大連海事大學(xué)遠(yuǎn)洋教學(xué)實(shí)習(xí)船“育龍”號(hào)進(jìn)行仿真.其船型參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)［6］.跟蹤信號(hào)選為能夠代表某一實(shí)際性能要求的模型:

式中:φm表征了船舶航向的理想系統(tǒng)性能，而φr(t)是命令輸入信號(hào)，其值從0到30°變化，以300 s為周期.

圖1 航向跟蹤控制與跟蹤誤差的變化曲線Fig.1 Curves of course-tracking control and tracking error

在仿真中，對(duì)于系統(tǒng)(4)中的每一個(gè)變量定義5個(gè)模糊集，分別標(biāo)記為(NL)、(NM)、(ZE)、(PM)、(PL)，用以下隸屬函數(shù)描述:

選取設(shè)計(jì)參數(shù)為 k1=0.1，k2=40，k3=5，Γi1=Γi2=2，σi1=σi2=0.001，==0，γi=0.5(i=2，3)，δ2=δ3=100.初始條件選取為:φm的初始狀態(tài)為 20°，x1、x2、x3的初始狀態(tài)都為零.仿真結(jié)果見(jiàn)圖1、2.

圖1表明航向跟蹤效果理想且跟蹤誤差有界，圖2表明輸入舵角及舵角變化率都滿(mǎn)足性能要求.

圖2 控制舵角和舵角速率變化曲線Fig.2 Curves of control rudder angle and rudder angle rate

5 結(jié)束語(yǔ)

論文研究了船舶航向非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤控制問(wèn)題.結(jié)合DSC和MLP技術(shù)，提出了一種自適應(yīng)模糊控制算法，能夠同時(shí)解決“維數(shù)災(zāi)難”和“計(jì)算膨脹”問(wèn)題，學(xué)習(xí)參數(shù)少，計(jì)算量大為減少，易于在工程中實(shí)現(xiàn).計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果證明了算法的有效性.這種方法在工程實(shí)踐中具有潛在的應(yīng)用和推廣價(jià)值.

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