蔣名超，劉 萍

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

近年來，化學(xué)趨化問題成為了人們感興趣的一個(gè)研究課題，1950年P(guān)atlakh和1970年的Keller、Segel所發(fā)表的文章［1］都是我們研究化學(xué)趨化問題的基礎(chǔ).Horstmann在他的文章［2］中對(duì)Keller-Segel模型進(jìn)行了細(xì)致的分析.基于對(duì)化學(xué)趨化作用在生物體中影響的了解將化學(xué)趨化項(xiàng)加入到數(shù)學(xué)模型中，并研究帶有化學(xué)趨化項(xiàng)后對(duì)數(shù)學(xué)模型的一些結(jié)構(gòu)的影響，通過研究數(shù)學(xué)模型中解的結(jié)構(gòu)及其隨著時(shí)間的變化等性質(zhì)有利于進(jìn)一步了解生物體的發(fā)展變化.

1 預(yù)備知識(shí)

從哺乳動(dòng)物到微生物，確定食物來源的準(zhǔn)確位置，避免遇到捕食者以及吸引異性等都是必要的本領(lǐng).細(xì)胞和有機(jī)物朝著化學(xué)梯度方向的運(yùn)動(dòng)稱之為化學(xué)趨化.例如螞蟻向葡萄糖多的地方聚集就是典型的化學(xué)趨化作用.化學(xué)趨化在數(shù)學(xué)中廣泛應(yīng)用于物質(zhì)因受化學(xué)物質(zhì)刺激而產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)，這種刺激既包括吸引又包括排斥.化學(xué)趨化不僅能夠影響物質(zhì)的分布而且會(huì)影響其增長，有時(shí)甚至可以作為一個(gè)物種與其他具有少的或多的化學(xué)趨化影響的物種間競爭有限資源的絕對(duì)優(yōu)勢.基于化學(xué)趨化對(duì)生物體的影響，在數(shù)學(xué)模型中討論化學(xué)趨化項(xiàng)對(duì)方程的影響是很重要的.

令u(x，t)和v(x，t)分別表示在位置x時(shí)刻t時(shí)由于受到化學(xué)趨化的作用物質(zhì)的密度及物質(zhì)的集中，假設(shè)化學(xué)物質(zhì)是擴(kuò)散的，則由Fick定律，自由擴(kuò)散流量可表示為-D2Δv，其中D2為大于零的任意常數(shù);假設(shè)細(xì)胞的流通與自由擴(kuò)散流通和化學(xué)趨化流通均有關(guān)，所以細(xì)胞的流量可表示為，其中 χ為常數(shù)，D1為大于零的常數(shù)，φ'(u)＞0，D2是細(xì)胞的自動(dòng)力，測量著細(xì)胞自由擴(kuò)散的能力，χ叫做化學(xué)趨化系數(shù)，測量著細(xì)胞受化學(xué)物質(zhì)影響的大小，當(dāng)起到吸引作用時(shí)χ為正的，當(dāng)起到排斥作用時(shí)χ為負(fù)的，φ(u)叫敏感函數(shù)，在化學(xué)趨化項(xiàng)中我們需要用φ'(u)去反應(yīng)在不同化學(xué)程度下細(xì)胞敏感程度的大小.所以一般情況下的帶有化學(xué)趨化項(xiàng)的數(shù)學(xué)模型有如下形式:

這是最基本的帶有化學(xué)趨化項(xiàng)的偏微分方程，隨著知識(shí)的積累以及對(duì)生物體的進(jìn)一步了解與研究，在Keller-Segel模型的基礎(chǔ)上，很多數(shù)學(xué)家將帶有化學(xué)趨化項(xiàng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了廣泛的推廣，這里我們研究如下模型:

其中 d1，d2，χ，f，g 均為正常數(shù)，v∈［0，)

1 預(yù)備知識(shí)

引理1［3］非線性平面系統(tǒng)的形式為:

一個(gè)平衡解(x0，y0)∈ R2滿足 f(x0，y0)=0和g(x0，y0)=0.該系統(tǒng)在(x0，y0)的線性化方程為=J·Y，這里J是Jacobian矩陣:

若 F=(f，g):R2→ R2是連續(xù)可微的，(x0，y0)是一個(gè)平衡點(diǎn)，T，D是Jacobian矩陣J(x0，y0)的跡和行列式.對(duì)于系統(tǒng)的平衡點(diǎn);

(1)當(dāng)D＜0時(shí)，平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn);

(2)當(dāng)D＞0且T＜0(＞0)時(shí)，平衡點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)或螺旋(不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)或螺旋);

(3)若T，D滿足其他條件，穩(wěn)定性無法由J決定.

2 主要結(jié)論

2.1 建立方程組求平衡解

2.2 平衡解的穩(wěn)定性

系統(tǒng)(1)相應(yīng)線性系統(tǒng)的Jacobian矩陣為:

則:

其中T為矩陣J(u，v)的跡，D為矩陣J(u，v)的行列式.那么特征值方程為:

對(duì)于這三個(gè)平衡解我們有以下結(jié)論:

(1)平衡解(0，0):

此時(shí)跡T=-v-g＜0，行列式D=vg＞0，特征值方程有兩個(gè)負(fù)特征值 -v，-g，所以(0，0)為(2)的局部穩(wěn)定的常數(shù)平衡解.

此時(shí)跡T=-1+v-g＜0，行列式D=(1-v)g＞0，特征值方程有兩個(gè)負(fù)特征值-1+v，-g，所以()為(2)的局部穩(wěn)定的常數(shù)平衡解.

此時(shí)行列式D=-(-v2+v)g，當(dāng)時(shí)，-v2+v＞0，所以D＜0，特征值方程有一個(gè)負(fù)特征值，一個(gè)正特征值，所以為(2)的局部穩(wěn)定的常數(shù)平衡解.其相圖如圖1所示:

圖1

［1］ Keller E F，Segel L A.Initiation of slime mold aggregation viewed as an instability.J TheorBiol，1970，26:399-415.

［2］ Dirk Horstmann，F(xiàn)rom 1970 until now:The Keller-Segel model in chemotaxis and its consequences I and II.Jahresber.2003，105(2):51-69.

［3］ 丁同仁，李承治.常微分教程.北京:高等教育出版社，2008.