徐銘鞠，徐明躍

(哈爾濱師范大學(xué))

1 狀態(tài)描述

在過(guò)去的數(shù)十年中，非線性系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)問(wèn)題是一個(gè)非常積極的領(lǐng)域，出現(xiàn)了大量這方面的文獻(xiàn)專著.非線性系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器可以分為全維觀測(cè)器和降維觀測(cè)器.降維觀測(cè)器只需估計(jì)與系統(tǒng)輸出獨(dú)立的部分狀態(tài)即可.因此，和全維觀測(cè)器相比，維數(shù)得以降低，即降維觀測(cè)器可以由較少的積分器構(gòu)成進(jìn)而使整個(gè)控制系統(tǒng)變得相對(duì)簡(jiǎn)單.一般而言，非線性系統(tǒng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)有兩種方法.第一種是基于一種非線性狀態(tài)變換，令動(dòng)態(tài)誤差系統(tǒng)線性化，因此設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器需運(yùn)用到線性技術(shù).第二種方法是則是不需要進(jìn)行變換，直接基于原始的系統(tǒng)進(jìn)行觀測(cè)器設(shè)計(jì)［1-3，5-6，8-10］.

為便于敘述，本文引入如下記法:

考慮如下的一類Lipschitz非線性系統(tǒng):

其中 x∈Rn，u∈Rm，y∈Rp，A∈Rn×n，C ∈Rp×n，Φ(x，u):Rn→Rn關(guān)于x是非線性的.

筆者總是假定(A，C)可觀測(cè)，并且C是行滿秩的.

定義1.1 對(duì)于n維的向量函數(shù)Φ(x，u)，如果存在常數(shù)γ使得

則 γ稱為 Φ(x，u)關(guān)于 x的 Lipschitz常數(shù).稱Φ(x，u)是關(guān)于x的Lipschitz非線性函數(shù).對(duì)于n維的向量函數(shù)Φ(x，u)，如果存在正定矩陣P和依賴于P的常數(shù)vp使得

則vp稱為Φ(x，u)關(guān)于x的單邊Lipschitz常數(shù)稱Φ(x，u)是關(guān)于x的單邊Lipschitz非線性函數(shù).

對(duì)于n維的向量函數(shù)Φ(x，u)，如果

其中f(x，u)=PΦ(x，u)，P是待求正定陣，M是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣(不必負(fù)定或正定)稱為PΦ的帶有擬單邊常數(shù)矩陣.稱Φ(x，u)是關(guān)于x的擬單邊Lipschitz非線性函數(shù)［6］，不等式(2)，(3)和(4)分別叫做Lipschitz條件，單邊Lipschitz條件和擬單邊Lipschitz條件.

注1.1 一個(gè)單邊Lipschitz函數(shù)［5］顯然是一個(gè)擬單邊Lipschitz函數(shù).另外，通過(guò)文獻(xiàn)［11］中的注2知一個(gè)Lipschitz非線性函數(shù)一定是一個(gè)擬單邊 Lipschitz非線性函數(shù).即，擬單邊Lipschitz條件是單邊Lipschitz條件的推廣，單邊Lipschitz條件是Lipschitz條件的推廣.

首先給出如下假設(shè):

假設(shè)(i) 系統(tǒng)(1)滿足單邊Lipschitz條件(2)，并且存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣K和P(P是正定矩陣)，使得下式成立

假設(shè)(ii) 系統(tǒng)(1)滿足擬單邊Lipschitz條件(4)，并且存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣K和P(P是正定矩陣)，且下面的不等式成立

盡管擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣在非線性系統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)上更優(yōu)于單邊Lipschitz常數(shù)和Lipschitz常數(shù)，但很難獲得(4-5)的正定解P［13］，原因有兩個(gè):(Ⅰ)很難去計(jì)算(4)(5)中的Mp.(Ⅱ)即使可以從中計(jì)算出來(lái)Mp，但是矩陣不等式(4)(5)的可行性和可解性一樣是很難討論，因?yàn)?Mp要依賴于正定解 P.即不等式(4)(5)并不是LMIS.因此研究其可行性和可解性就變得尤為重要.

2 文獻(xiàn)的結(jié)論

考慮系統(tǒng)(1)的如下形式的觀測(cè)器

則誤差系統(tǒng)為

下面先介紹幾個(gè)引理［5，6，11］.

引理2.1［6］如果假設(shè)(ii)成立，則(7)為系統(tǒng)(1)的漸進(jìn)穩(wěn)定估計(jì).

引理2.2［12］假定(4)的正定解P有分塊矩陣表示形式

其中 P1∈ Rp×p，P2∈ Rp×(n-p)，P3∈ R(n-p)×(n-p).如果C=(IpO)并且條件(i)成立，則帶有單邊Lipschitz條件(2)的非線性系統(tǒng)(1)有一個(gè)如下形式的降維觀測(cè)器:

下面的引理指出假定C有形式(IpO)并不是至關(guān)重要的.

引理2.3［12］對(duì)于帶有單邊Lipschitz條件(2)的系統(tǒng)(1)，如果C是行滿秩的且可以選擇一個(gè)增益陣K，使得下列不等式

有一個(gè)正定對(duì)稱解P，則系統(tǒng)(1)有由(7)給出的全維觀測(cè)器，以及如下的降維觀測(cè)器:

其中

3 主要結(jié)論

在這一節(jié)，將提出非線性系統(tǒng)(1)在幾種重要情況下觀測(cè)器存在性的充分條件.給出的結(jié)論至少是已有文獻(xiàn)的補(bǔ)充，并且較之已有條件要減少保守性.結(jié)論表明對(duì)于大量的非線性系統(tǒng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣要優(yōu)于單邊Lipschitz常數(shù)和Lipschitz常數(shù).首先，類似引理2.2和引理2.3，我們給出下面重要的定理

定理3.1 (1)如果C=(IpO)，并且條件(ii)成立，那么帶有擬單邊Lipschitz條件(3)的非線性系統(tǒng)(1)具有一個(gè)全維觀測(cè)器(7)及降維觀測(cè)器(9).

(2)如果C是行滿秩的，并且條件(ii)成立，那么帶有擬單邊Lipschitz條件(9)的非線性系統(tǒng)(1)有一個(gè)全維觀測(cè)器(7)及降維觀測(cè)器(10).

其證明完全類似于引理2.2.和引理2.3，在此省略.

注3.1 如果C=(IpO)，對(duì)于滿足條件(3)的系統(tǒng)(1)來(lái)說(shuō)，如果只考慮降維觀測(cè)器，那么擬單邊Lipschitz條件(3)可以減弱為

現(xiàn)在我們研究不等式(4)和(5)的可行解.通過(guò)注1.1知不等式(5)是不等式(4)的延伸，所以只需研究不等式(5)的可行解即可.

下面對(duì)于特定結(jié)構(gòu)的Φ(x，u)研究如何將矩陣不等式(5)變換為一個(gè)線性矩陣不等式(LMI).

3.1 假定

其中fi(x，u)(i=1，2，…，n)是帶有Lipschitz常數(shù)γi的 非線性Lipschitz函數(shù).

定理3.2 考慮系統(tǒng)(1)帶有假定條件(2).如果存在正實(shí)數(shù) m1，m2，…，mn和增益矩陣K使得下列LMI:

注3.2 如果只考慮降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)，則由(14)式及注3.1的(11)式可知是PΦ的擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣，且可以通過(guò)m1，m2，…，mn來(lái)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和的值.

3.2 在上一種情形中

LMI(13)給出了一類非線性系統(tǒng)觀測(cè)器存在性的充分條件.然而它需要(13)式的正定解P下面我們考慮不等式(5)的正定解可以是任意結(jié)構(gòu)的情況.

假設(shè)系統(tǒng)(1)的非線性部分Φ有以下結(jié)構(gòu):

其中fi(xi，u)(i=1，2，…，n)單調(diào)遞增且關(guān)于xi可微，且滿足，則有定理3.3.考慮系統(tǒng)(1)的非線性系統(tǒng)部分滿足如上假設(shè)，如果存在增益矩陣K使得下列LMI:

有正定解P，其中，

則非線性系統(tǒng)(1)具有(7)形式的全維觀測(cè)器及(11)形式的降維觀測(cè)器(當(dāng)C=(IpO)時(shí)為(9)).

證明 根據(jù)定理3.1知只需證對(duì)于任意的正定矩陣P，Mp=是 PΦ 的擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣.下面分情形由特殊到一般給予證明:

對(duì)于任意正定矩陣 P=(pij)n×n× Rn×n，令

該矩陣表示中空白的部分為0元素，非空白部分的元素在第k行k列.顯然TkPTk＞0，且可推得TkPTk＞P(k).因此，對(duì)于任意的正定矩陣P∈Rn×n，由中值定理知存在 ξ∈ Co(xk，)使得

因此，Mp=γkTkPTk是PΦ的擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣.

對(duì)于一般情形我們可以將Φ(x，u)寫(xiě)成如下形式:

3.3 第三種情形可由下述定理直接闡述

定理3.4 如果非線性系統(tǒng)(1)滿足下列條件:

有一個(gè)正定解P，那么(9)是系統(tǒng)(1)的降維觀測(cè)器.

證明 依據(jù)向量值函數(shù)中值定理，對(duì)于任意的正定矩陣P=(pij)m×n∈Rm×n及x-^x=(0，0，…，xn-^x)T∈ Rn，存在 ξ∈ Co(x，^x)使得

因此，Φ(x，u)滿足注3.1中的不等式(10)，其中Mp=vP.依據(jù)定理3.1和注3.1知，(9)是系統(tǒng)(1)的降維觀測(cè)器.

4 數(shù)值算例

在這一章，將通過(guò)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證本文所給結(jié)論的有效性.

例 考慮在文獻(xiàn)［7］中研究的三角Lipschitz非線性系統(tǒng):

圖1 x的仿真結(jié)果

初始條件為 x(0)=(0.5，1)'，^x(0)=(4，6)'.

下面考慮該系統(tǒng)的降維觀測(cè)器，我們可以利用定理3.8，解LMI(3.13)即

從降維觀測(cè)器(9)，我們得到x2的狀態(tài)仿真圖2，其中初始條件為x2(0)=1，^x2(0)=4.4.

5 結(jié)束語(yǔ)

圖2 x的狀態(tài)仿真

擬單邊Lipschitz條件是對(duì)單邊Lipschitz條件的推廣，單邊Lipschitz條件是Lipschitz條件的推廣.論文表明對(duì)于大量非線性系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)而言，擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣要優(yōu)于單邊Lipschitz常數(shù)和Lipschitz常數(shù).我們希望mp可以盡可能多的利用非線性部分所提供的信息進(jìn)行觀測(cè)器設(shè)計(jì)，但這樣的mp是很難找到的，并且解不等式(5)也存在困難，原因是不等式(5)并非直接就是LMI.本文研究了不等式(5)的可行性和可解性.對(duì)幾種重要的情況加以討論，獲得了使不等式(5)成為L(zhǎng)MI的的擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣mp.需要指出的是所給結(jié)論不僅可以直接應(yīng)用于一些重要的Lipschitz非線性系統(tǒng)，同時(shí)對(duì)一些非傳統(tǒng)意義的Lipschitz非線性系統(tǒng)(只需是擬單邊Lipschitz非線性系統(tǒng))也同樣適用，所提出的方法是對(duì)文獻(xiàn)［11，12］中相關(guān)理論的補(bǔ)充.最后給出仿真算例對(duì)結(jié)論加以驗(yàn)證.

［1］ Besancon G，Hammouri H.On uniform oberservationnonuniformly observable systems，Syst.Control Lett.，1996，29:9-19.

［2］ Besancon G，Hammouri H.Reduced order observer for a classof nonuni-formly observable systems，in Proc.34th Conf.Decision and Control，New Orleans，L A，1995:121-125.

［3］ Dawson D M.On the state observation and output feedbackproblems for nonlinear uncertain dynamic systems，Syst.ControlLett，1992，18:217-222.

［4］ Dekker K，Verwer J G.Stability of Runge-Kutta methods for Stiff Nonlinear Differential Equations.Amsterdam:North-Holland.

［5］ Guangda H，2006，Observers for one-sided Lipschitz nonlinear Systems.IMA J.Math.Control Inf，1984，23:395-401.

［6］ Guangda H.A note on observer for one-sided Lipschitz non-linear Systems.IMA J.Math.Control inf，2008，25:297-303.

［7］ Gauthier J P.Hammouri H，Othman S.A simple observer fornonlinear system.Applications to bioreactors，IEEE Tran.Automat.Contro.，1992，37(6)，875-880.

［8］ Ibrir S.Circle-criterion approach to discrete-time nonlinear observer design，Automatica，2007，43，1432-1441.

［9］ Kazantzis N，Kravaris C.Nonlinear observers design using Lyapunoov’s auxiliary theorem，Systems and Control Letters，1998，34:241-247.

［10］ Khalil H K，Esfandiari F.Semiglobal stabilization of a class of nonlinear systems using output feedback，IEEE Trans.Automat.Contr，1993，38:1412-1415.

［11］ Mingyue X，Guang da H，Yan bin.Reduced-order observer design for one-sided Lipschitz non-linear systems.IMA J Math Control Inf，2009，26(2):299-311.

［12］ Zhu F，Han.Anote on observer for Lipschitz nonlinear systems.IEEE Trans，Autom Control，2002，47(2):1751-1754.