孫文艷，錢方生

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

該文中群皆指有限群，所有術(shù)語和符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的.

樊惲、郭秀云等在文獻(xiàn)［1］中提出了半覆蓋遠(yuǎn)離性的概念后，引起了眾多群論工作者的興趣，不僅推廣了C-正規(guī)的概念，而且推廣了覆蓋遠(yuǎn)離性的概念，并獲得關(guān)于超可解的充分或必要條件.筆者利用4階循環(huán)子群的半覆蓋遠(yuǎn)離性和極小子群的一些基本性質(zhì)，給出了冪零群的兩個(gè)充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1］設(shè)H是群G的一個(gè)子群，如果存在群G的一個(gè)主群列，1=G0＜G1＜… ＜Gt=G，使得對(duì)每一個(gè) j=1，2，…，t，或者 H 覆蓋Gj/Gj-1，或者H遠(yuǎn)離Gj/Gj-1，則稱H在群G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性.

定義2［2］稱群G的元素x為群G中一個(gè)弱左Engle元，如果y是群G的任一階與x的階互素的素?cái)?shù)冪階元，則總有自然數(shù)n，使

引理1［3］設(shè)H是群G的一個(gè)子群，如果H在群G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性，那么對(duì)任意滿足H≤M≤G的子群M，H在群M中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性.

引理2［4］設(shè)群G為內(nèi)冪零群，于是

(1)|G| 為 pαqβ，其中 p，q 為相異的素?cái)?shù).

(2)G=PQ，P ∈ Sylp(G)，Q ∈ Sylq(G)，P?G，Q=〈a〉，不正規(guī)于 G.

(3)設(shè)c∈P，于是c是P的一個(gè)生成元的充分必要條件是c與a不可換.

(4)若P為交換群，則P為初等交換群.

(5)當(dāng)p≠2時(shí)，exp(P)=p;當(dāng)p=2時(shí)，exp(P)≤4.

(6)若 c為 P的一個(gè)生成元，則［c，a］ =c-1ca也是P的生成元.

(7)設(shè)N是群G真含在P內(nèi)G的極大正規(guī)子群N= Φ(P)=P'，其中Φ(P)為Frattini的子群，P'為 P的導(dǎo)群 Z(G)=Φ(G)=Φ(P)×Φ(Q).

(8)P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群.

證明 (1)至(7)顯然的.

(8)假設(shè)結(jié)論不成立，設(shè) P1/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群，而

則Φ(P)?P1?P，這與Φ(P)是含在P中的G的極大正規(guī)子群矛盾，故結(jié)論(8)成立.

引理 3［5］設(shè) G 是有限群，a，b，c∈ G，則［a，b］c= ［ac，bc］.

推論 設(shè)G是有限群，a，b，c∈G，n是自然數(shù)，則

2 主要結(jié)果

定理1 如果群G的每個(gè)素?cái)?shù)階元都是群G的弱左Engle元，2∈π(G)，群G的每個(gè)4階循環(huán)子群在群G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性，則G冪零群.

證明 假設(shè)定理結(jié)論不成立，設(shè)G為極小階反例.

由題設(shè)條件知子群遺傳的，所以群G為內(nèi)冪零群，由引理2知|G|=pαqβ，P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G)，P?G，Q=〈a〉不正規(guī)于 G.

若p＞2，則由引理2知exp(P)=p，P有p階生成元，由題設(shè)條件知，c為G的弱左Engle元，可得自然數(shù) n，使，由引理2知［c，a］仍是P的生成元，產(chǎn)生矛盾.若P交換，則由引理2知P是初等交換群，同上知矛盾.所以p=2，P不交換.故P有4階生成元c.由于群G是內(nèi)冪零群，由引理2可知，P是G的正規(guī)子群，且P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群.由題設(shè)條件知，〈c〉在G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性，從而存在G的一個(gè)主群列，1=G0＜G1＜… ＜Gt=G，使得對(duì)每一個(gè)j=1，2，…，t，〈c〉或者覆蓋Gj/Gj-1，或者遠(yuǎn)離Gj/Gj-1，由于c∈G，所以存在正整數(shù)k，使得c?Gk，但是c∈Gk+1，于是Gk∩〈c〉≠Gk+1∩〈c〉，從而〈c〉覆蓋 Gk+1/Gk，即 Gk〈c〉=Gk+1〈c〉=Gk+1.由P∩Gk?G和P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群，有(P∩Gk)Φ(P)=P或Φ(P).如果(P∩Gk)Φ(P)=P，則(P∩Gk)=P，這與c?(P∩Gk)矛盾.故(P∩Gk)Φ(P)=Φ(P)，從而(P∩Gk)≤Φ(P)，再考慮G的正規(guī)子群，則有P=(P∩Gk+1)Φ(P)=(P∩〈c〉Gk)Φ(P)=〈c〉(P∩Gk)Φ(P)=〈c〉，這與P不交換產(chǎn)生矛盾.

故極小階反例不存在，所以定理成立.

定理2 設(shè)N?G，G/N冪零，2∈π(G)，若N的素?cái)?shù)階元均為群G的弱左Engle元，且N每個(gè)4階循環(huán)子群也在G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性，那么G冪零.

證明 假設(shè)定理結(jié)論不成立，設(shè)G為極小階反例.

由題設(shè)條件知子群遺傳的，所以G為內(nèi)冪零群，由引理2 知 |G|=pαqβ，P ∈ Sylp(G)，Q ∈Sylq(G)，P?G，Q=〈a〉不正規(guī)于 G.

(1)P≤/N中，則P1=P∩N?P，而P1?G，從而(P∩N)Q=P1Q＜PQ=G，于是P1Q為冪零群，所以 P1Q =P1×Q，G/P1=P/P1·QP1/P1，QP1/P1∈Sylp(G/P1)為冪零群.由G/P及G/N冪零，知G/P1冪零，所以QP1/P1?G/P1，所以Q char QP1?G，從而Q?G，與引理2中Q循環(huán)矛盾.

(2)若p＞2，則exp(P)=p，P有p階生成元c.由定理?xiàng)l件知，c為群G的弱左Engle元，即可得自然數(shù)n，使.由引理2知［c，a］仍是 P 的生成元，產(chǎn)生矛盾，p=2，P 不交換.

(3)由題中條件知，P有4階生成元c.由于群G是內(nèi)冪零群，由引理2可知，P是G的正規(guī)子群，且P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群.由題設(shè)條件知，〈c〉在G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性 ，從而存在G的一個(gè)主群列，1=G0＜G1＜… ＜Gt=G，使得對(duì)每一個(gè) j=1，2，…，t，〈c〉或者覆蓋Gj/Gj-1，或者遠(yuǎn)離 Gj/Gj-1，由于 c∈G，所以存在正整數(shù)k，使得c?Gk，但c∈Gk+1，于是Gk∩〈c〉≠Gk+1∩〈c〉，從而〈c〉覆蓋Gk+1/Gk，即Gk〈c〉=Gk+1〈c〉=Gk+1.由 P ∩ Gk?G 和 P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群，有(P∩Gk)Φ(P)=P或Φ(P).如果

(P ∩Gk)Φ(P)=P，則(P∩Gk)=P，這與c?(P∩Gk)矛盾.(P∩Gk)Φ(P)=Φ(P)，從而(P∩Gk)≤Φ(P)，再考慮G的正規(guī)子群，則有P=(P∩Gk+1)Φ(P)=(P∩〈c〉Gk)Φ(P)=〈c〉(P∩Gk)Φ(P)=〈c〉，這與P不交換產(chǎn)生矛盾.所以P＜N.

(4)b∈ N，|b|=q，由引理 2知 G的Sylow-q子群都循環(huán)，故G的Sylow-q子群的q階元都共軛，所以對(duì)任意g∈G，有bg肯定是群G的某個(gè)Sylow-q子群的q階元.由P?G知對(duì)任意c∈P，g∈G，有cg∈P.由題條件知b為G的弱左Engle元，即存在正整數(shù)n，使.由此可知，G的所有q階元都為G的弱左Engle元.

(5)若p=2知G的2階元和4階元均為G的弱左Engle元，從而4階循環(huán)子群在群G中具有半覆蓋遠(yuǎn)離性，由(4)和定理1知G為冪零群，產(chǎn)生矛盾.

故極小階反例不存在，所以定理成立.

［1］ 樊惲，郭秀云，岑嘉評(píng).關(guān)于子群的兩種廣義正規(guī)性的注記［J］.數(shù)學(xué)年刊，2006，27A(2):169-176.

［2］ 王坤仁.極小子群與冪零性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1995(2):16-20.

［3］ Guo X Y，Guo P F，Shum K P.On semi coveravoiding subgroups of finite groups［J］.Journal of Pure and Applied A lgebra，2007，209.151-158.

［4］ 陳重穆.內(nèi)外ε-群與極小非ε［M］.重慶:西南師范大學(xué)出版社，1998.

［5］ 徐明耀.有限群導(dǎo)引(上)［M］.北京:科學(xué)出版社，2001.