杜 釗，李宏偉，張建忠

（1．空軍工程大學(xué)電訊工程學(xué)院，陜西西安 710077;2．中國人民解放軍94159部隊(duì) 52分隊(duì)，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

L波段數(shù)字航空通信系統(tǒng)（L-DACS）是由國際民航組織領(lǐng)導(dǎo)的未來通信研究小組與美國航空航天局、歐洲航天署確定的未來航空通信系統(tǒng)。它工作在960～1024 MHz的航空L波段，被設(shè)計(jì)來滿足未來20年和更長時(shí)間的航空通信要求。它分為兩類，即 L-DACS1與 L-DACS2，其中，LDACS1是采用正交頻分復(fù)用OFDM技術(shù)的航空通信系統(tǒng)［1］。

目前在L波段中應(yīng)用著諸如測(cè)距裝置（DME）、二次監(jiān)視雷達(dá)（SSR）、軍用多功能信息分發(fā)系統(tǒng)（JTIDS）等系統(tǒng)，這些系統(tǒng)的存在對(duì)L-DACS1的應(yīng)用有著不同程度的干擾，并且隨著現(xiàn)代信號(hào)環(huán)境日益復(fù)雜，如何將接收機(jī)接收來的通信混合信號(hào)準(zhǔn)確的分離，為下一步進(jìn)行信號(hào)分析和識(shí)別提供依據(jù)成為現(xiàn)代通信的一大瓶頸問題。信號(hào)分離技術(shù)為解決該問題提供了新的思路。

信號(hào)分離的算法包括批處理和自適應(yīng)處理兩類，在時(shí)變信道或?qū)崟r(shí)性要求比較高的通信環(huán)境中，一般采用自適應(yīng)在線算法，目前，對(duì)在線分離問題已有許多成熟有效的自適應(yīng)算法，如，等變化自適應(yīng)獨(dú)立分離（EASI）算法、信息最大化算法、迭代求逆算法及自然梯度算法等。但都存在一個(gè)步長因子的選取問題，即當(dāng)步長取常數(shù)時(shí)，則存在收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，步長大，則收斂快，穩(wěn)定性差，反之，收斂慢，但穩(wěn)態(tài)性能好。解決以上矛盾一般采取步長遞減的方法，但是若信號(hào)在分離初期步長就降至很小，則混合信號(hào)將永遠(yuǎn)無法得到分離。為了解決該問題，許多研究者提出自適應(yīng)步長的方法，本文在文獻(xiàn)［2］方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合文獻(xiàn)［3］算法思想，給出一種適用于通信環(huán)境中的峭度變步長的EASI（Q-EASI）算法，即通過峭度方差來表征混合信號(hào)的分離狀態(tài)，同時(shí)將優(yōu)選估計(jì)函數(shù)引入該算法中，加快了收斂速度，提高分離精度。經(jīng)驗(yàn)證該算法可有效地分離通信混合信號(hào)，具有良好的收斂速度和穩(wěn)定性。

1 信號(hào)分離問題

信號(hào)分離是指在信號(hào)傳播過程當(dāng)中，源信號(hào)和傳播信道都未知的情況下，僅僅通過觀測(cè)到的混合信號(hào)來恢復(fù)源信號(hào)的問題，其混合方程可以描述如下式

其中，S（t）=［s1（t），s2（t），…sn（t）］T是個(gè)n維源信號(hào)，X（t）=［x1（t），x2（t），…xn（t）］T是傳感器接收到的混合信號(hào)，A為混合矩陣，決定了源信號(hào)的混合情況。信號(hào)分離的目的就是在混合矩陣A和S（t）未知的情況下，只根據(jù)X（t）確定一個(gè)分離矩陣W使得變換后的輸出信號(hào)滿足下式

其中，P為正交矩陣，D為對(duì)角矩陣，使得Y（t）和X（t）只是在幅度和排列順序上有所差異［2］。

2 EASI算法

Cardoso J F［4］等人在1996年提出的 EASI算法為

由于信號(hào)在盲分離之前，都需對(duì)觀察信號(hào)進(jìn)行白化預(yù)處理，白化的目的就是尋找一個(gè)白化矩陣Q，使得變換后得到的矢量相關(guān)矩陣為單位陣。若將白化和分離過程合并，此時(shí)總的分離矩陣為下式［6］

其中，Q是白化矩陣?；喓蟮玫降淖儾介L的EASI（VS-EASI）算法如下

其中，η（k）為步長因子。

由式（3），式（5）可以看出EASI算法的基本結(jié)構(gòu)如下

其中，EASI算法的性能完全由步長η（k）和估計(jì)函數(shù)Fv（yk）決定。本文從這2個(gè)方面對(duì)EASI算法提出優(yōu)化。

2．1 步長的優(yōu)化

在信號(hào)分離過程中，互信息可以很好地表征分離狀態(tài)，在信號(hào)分離的初始階段，互信息較大，所需較大的步長以得到較快的收斂速度，隨著信號(hào)的分離過程的進(jìn)行信號(hào)的互信息逐漸減小，步長應(yīng)隨之減小以獲取較高的分離精度，當(dāng)信號(hào)完全分離，互信息為零［5］。但在通信中對(duì)互信息的估計(jì)是不容易的，針對(duì)該問題文獻(xiàn)［3］建立了峭度與分離狀態(tài)之間的關(guān)系如下

其中，k4（i）稱作信號(hào)的峭度。Jall（yi）為信號(hào)邊緣負(fù)熵總和，由于I（y）=J（y）－Jall（yi），則Jall（yi）可以間接表征分離狀態(tài)。提出的步長因子更新規(guī)則如下

即步長的變化僅依賴于系統(tǒng)輸出峭度平方和的負(fù)指數(shù)。

在信號(hào)分離的初始階段，信號(hào)之間的相關(guān)性較大，數(shù)據(jù)樣本較少，信號(hào)峭度估計(jì)不準(zhǔn)確，峭度曲線波動(dòng)很大，隨著信號(hào)逐漸被分離，輸出信號(hào)的峭度將漸近收斂于其真實(shí)值，峭度曲線漸趨平穩(wěn)。根據(jù)這一理論，本文提出從峭度曲線的波動(dòng)情況推斷信號(hào)的分離狀態(tài)，而方差恰是用以描述隨機(jī)變量波動(dòng)狀況的函數(shù)，因此，可以采用峭度方差來控制步長的更新。

首先利用滑動(dòng)平均模型對(duì)輸出信號(hào)的峭度及其均值和方差進(jìn)行在線估計(jì)

ρ（n）趨近于零的程度表征了信號(hào)的分離狀態(tài)，并仿照LMS步長更新方式，提出用ρ（n）來控制步長的更新規(guī)則如下

式中 η0為步長的初始值，a為正數(shù)控制步長遞減的速率。隨著信號(hào)的分離過程的進(jìn)行，ρ（n）隨之減小，ρ（n）2增大，而步長則隨著ρ（n）2的增大呈指數(shù)型減小。這樣步長的選取與信號(hào)的分離狀態(tài)緊密聯(lián)系，且分離狀態(tài)也可進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)。

2．2 估計(jì)函數(shù)的優(yōu)化

估計(jì)函數(shù)確定了算法的搜索方向，因此，它決定了算法收斂、穩(wěn)定以及適用與否。文獻(xiàn)［7］討論了估計(jì)函數(shù)對(duì)分離算法的影響，有的估計(jì)函數(shù)能使算法快速收斂，但穩(wěn)態(tài)性較差，有的估計(jì)函數(shù)則與之相反。由于最優(yōu)估計(jì)函數(shù)取決于源信號(hào)的概率分布，但是在通信偵察中概率密度無法確定，而一般的估計(jì)函數(shù)即使不是最優(yōu)的，只要它能始終指向代價(jià)函數(shù)的下降方向，則也能實(shí)現(xiàn)信號(hào)的盲分離。例如:最大似然估計(jì)函數(shù)

其中，?（yk）為列矢量，I為單位矩陣。Amari和Cardoso由盲信號(hào)分離的半?yún)?shù)化統(tǒng)計(jì)模型［6］出發(fā)，證明漸進(jìn)最優(yōu)類估計(jì)函數(shù)具有如下形式

其中，ψ（yk）為非線性列矢量，K（W）為恒等算子。綜合以上分析，優(yōu)化估計(jì)函數(shù)后的算法如下

其中，F(xiàn)v（yk）是一個(gè)開關(guān)函數(shù)，在分離的初始階段，由于缺少先驗(yàn)知識(shí)，使用最大似然估計(jì)函數(shù)如式（14），以獲得較快的收斂速度。隨著信號(hào)的分離，可以對(duì)源信號(hào)的部分統(tǒng)計(jì)特性準(zhǔn)確估計(jì)時(shí)，則采用漸進(jìn)最優(yōu)類估計(jì)函數(shù)如式（15），使得分離精度提高。

本文將優(yōu)選函數(shù)的思想與Q-EASI算法相結(jié)合得出新算法如下式表示

其整個(gè)過程可描述如下:

在信號(hào)盲分離過程中，利用式（9），式（10），式（11），式（12）實(shí)時(shí)估計(jì)信號(hào)的峭度方差平均值ρ（n），且步長根據(jù)式（13）實(shí)時(shí)更新。在信號(hào)分離初始階段估計(jì)函數(shù)用F1（yk），即最大似然估計(jì)函數(shù);隨著信號(hào)的分離，當(dāng)ρ（n）小于一個(gè)很小的門限值ξ時(shí)，估計(jì)函數(shù)改用最優(yōu)類估計(jì)函數(shù)F2（yk）。其中ξ是一個(gè)很小的值，根據(jù)初始步長的不同，根據(jù)實(shí)際情況選取。

3 仿真驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)1:為驗(yàn)證本文算法的有效性，本文對(duì)敵方假設(shè)的3個(gè)通信信號(hào)（調(diào)相信號(hào)，調(diào)幅信號(hào)，方波信號(hào)）經(jīng)A混合后并添加5 dB的高斯白噪聲的觀察信號(hào)進(jìn)行分離實(shí)驗(yàn)。

S1調(diào)相信號(hào):sin（2π1000t－6cos 2π60t）;

S2調(diào)幅信號(hào):sin 2π9t/10000 sin 2π300t;

S3方波信號(hào):sgn（cos 2π155t/10000）．

采樣頻率為10 kHz，混合矩陣A的元素為在［－1，1］區(qū)間均勻分布，其中，η0=0．0005，a=10－5，ξ=2 ×10－4，算法性能可用串音誤差來衡量［7］

其中，ck=［cpq］=WkA表示整個(gè)系統(tǒng)的傳遞矩陣。

仿真結(jié)果如圖1所示，通過觀察，本文算法可將通信混合信號(hào)成功分離，并且分離信號(hào)與源信號(hào)之間僅存在著幅度大小和排列順序上的差異，這些差異可以通過式（2）說明。而這些差異并不影響識(shí)別敵方通信信號(hào)，說明本文提出的算法可以有效地分離通信混合信號(hào)。

圖1 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖Fig 1 Simulation experiment results

實(shí)驗(yàn)2:為了衡量本文算法的分離性能，采用固定步長EASI算法，VS_EASI算法和Q-EASI算法分別進(jìn)行盲分離實(shí)驗(yàn)。

仿真參數(shù)如下:

EASI算法:η0=0．001;VS-EASI算法:η0=0．001，ρ1=10－5;Q-EASI:η0=0．001，α =10－5，ξ=2 ×10－4。

仿真結(jié)果如圖2，圖3所示。

圖2 峭度變化曲線Fig 2 Curve of kurtosis change

圖3 三種算法的性能分析Fig 3 Characteristic analysis of three algorithms

圖2是本文算法仿真得到的3個(gè)源信號(hào)峭度曲線。由于通信信號(hào)屬于亞高斯信號(hào)，其峭度均為負(fù)值。S1，S2峭度曲線在2000點(diǎn)左右趨于平穩(wěn)，S3峭度在接近2500點(diǎn)處峭度方差接近于零，此時(shí)信號(hào)已經(jīng)完全分離，圖3的串音誤差值也趨于零。說明峭度曲線的波動(dòng)情況可以很好地表征信號(hào)的分離狀態(tài)。

由圖3可以看出:對(duì)于固定步長的EASI算法，收斂速度較快，在1300點(diǎn)左右處達(dá)到收斂，但精度不高。而VSEASI收斂速度明顯比EASI快，在1000點(diǎn)左右就能達(dá)到收斂。但是VS-EASI只有在步長的初始值較小時(shí)收斂速度才有所改善，而且只要當(dāng)ρ取到合適的參數(shù)時(shí)VS-EASI算法在收斂速度和穩(wěn)定性能之間達(dá)到一個(gè)較好的平衡［1］。

Q-EASI算法在1000點(diǎn)左右開始收斂，而在1900點(diǎn)左右ρ（n）小于ξ值，估計(jì)函數(shù)改用最優(yōu)類估計(jì)函數(shù)F2（yk），以獲得更高的分離精度，在1900點(diǎn)左右串音誤差值明顯減小，接近于零值。相對(duì)于以上2種算法，本文提出的Q-EASI算法，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值選取合適初始步長η0和參數(shù)ξ，在提高收斂速度的同時(shí)減小了穩(wěn)態(tài)誤差，獲得最優(yōu)的性能，分離精度明顯優(yōu)于EASI算法和VS-EASI算法。

4 結(jié)論

本文提出了Q-EASI算法，采用峭度變步長的算法，該算法有效解決收斂速度和穩(wěn)定性兩者之間的矛盾，且結(jié)合了優(yōu)選估計(jì)函數(shù)和峭度變步長2種算法的優(yōu)點(diǎn)，既提高算法收斂速度又減小了穩(wěn)態(tài)誤差，獲得最優(yōu)的性能，能有效地應(yīng)用于L-DACS1的接收機(jī)中。

［1］ Gilbert T，Jin J，Berger J，et al．Future aeronautical communication infrastructure technology investigation［R］．ITT Corporation，Herndon，Virginia，NASA/CR，2008．

［2］ 孫守宇，鄭君里，吳里江，等．峭度自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的盲信源分離［J］．電子學(xué)報(bào)，2005，33（3）:473 －476．

［3］ 張賢達(dá)，朱孝龍，保 錚．基于分階段學(xué)習(xí)的盲信號(hào)分離［J］．中國科學(xué):E 輯，2002，32（5）:693－703．

［4］ Cardoso J F．On the stability of source separation algorithms［J］．Journal of VLSI Signal Processing，2000，26（1）:7 －14．

［5］ 張賢達(dá)，保 錚．盲信號(hào)分離［J］．電子學(xué)報(bào)，2001，29（12A）:1766－1771．

［6］ 朱孝龍，張賢達(dá)．基于選優(yōu)估計(jì)函數(shù)的盲信號(hào)分離［J］，西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2003，30（3）:335－339．

［7］ Cruces-Alvarez S，Cichocki A，Castedo-Ribas L．An iterative inversion approach to blind source separation［J］．IEEE Trans on Neural Networks，2000，11（6）:1423 －1437．