田紅亮 朱大林 秦紅玲

（三峽大學(xué) 機(jī)械與材料學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

結(jié)合材料是利用某種結(jié)合方法（如螺栓、雙頭螺柱、螺釘、緊定螺釘、鍵、花鍵、銷、鉚釘、榫齒連接等）把兩種不同或者相同的材料連接在一起使用的結(jié)構(gòu)或組合材料，而結(jié)合材料的結(jié)合部統(tǒng)稱為界面［1］，界面占機(jī)床總?cè)岫鹊?0%.隨著各類功能材料、復(fù)合材料等先進(jìn)材料的工業(yè)應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大，由不同材料組成的界面的力學(xué)行為，越來越受到人們的重視.一方面在宏觀范圍內(nèi)，各類結(jié)構(gòu)及材料的結(jié)合部，如薄膜涂層材料的涂層界面、金屬／陶瓷結(jié)合界面、異種金屬結(jié)合界面、功能器件與承載構(gòu)件的結(jié)合界面、復(fù)合材料層合板的層間等，對材料或結(jié)構(gòu)整體的力學(xué)行為乃至其功能性能有著十分重要甚至是支配性的影響；另一方面在細(xì)觀范圍內(nèi)，纖維與基體材料等的界面、晶粒界面、顆粒增強(qiáng)體與基體的界面、介在物與基體的界面等的力學(xué)行為，對先進(jìn)材料的性能設(shè)計(jì)與開發(fā)及其結(jié)構(gòu)壽命的精確評價(jià)等，具有舉足輕重的意義.界面問題有它許多自身固有的特性，現(xiàn)實(shí)生活中總在自覺或不自覺地利用界面的特性.例如，利用粘接界面的抗剝離能力較弱的特性，來設(shè)計(jì)包裝的封口，或引入復(fù)合材料中的橋聯(lián)增韌機(jī)構(gòu)等.然而，在新材料和新結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)開發(fā)中，則一般要求界面強(qiáng)度達(dá)到一定的要求，甚至為了提高界面強(qiáng)度，而不斷進(jìn)行結(jié)合方法、工藝和界面結(jié)構(gòu)的革新.20世紀(jì)末，許多更為可靠和有效的結(jié)合手段應(yīng)運(yùn)而生，如擴(kuò)散結(jié)合、錫焊、激光焊接等，使得結(jié)合界面更為精致，甚至出現(xiàn)了結(jié)合部位的強(qiáng)度超過被結(jié)合的母材的情況.由于界面層一般很薄，通常在幾微米，大至數(shù)百個(gè)微米的量級，因此界面沒有厚度，卻有自身固有的強(qiáng)度特性、彈性特性.界面有3類：完全結(jié)合界面、剝離界面、接觸界面.其中接觸界面有2類：固定接觸界面、滑移接觸界面.

以線性或非線性的彈簧，來表征雙材料結(jié)合部的相互約束，即為界面的彈簧模型.通過引入法向和切向的彈簧，必要時(shí)甚至可以引入相應(yīng)的阻尼，理論上應(yīng)該可以描述界面層材料對界面兩側(cè)材料的約束作用.彈簧模型的特點(diǎn)是，界面處的面力是連續(xù)的，而位移則通常有一個(gè)落差，是不連續(xù)的，這種模型較適宜于描述結(jié)合相對較軟的界面.山田昭夫和角張毅［2］引入GW模型［3］從理論上研究了接觸面全體的法向剛度、切向剛度.Burdekin等［4］給出了機(jī)床結(jié)合部變形量－界面名義接觸壓應(yīng)力方程.Thornley等［5］給出了機(jī)床結(jié)合部平均界面壓應(yīng)力－法向變形量的加載、卸載曲線.Gao等［6－7］給出了單峰法向、切向彈性剛度的解析解.張學(xué)良等［8］引用 MB模型［9］首次提出粗糙表面的法向接觸剛度.

本文根據(jù)Hertz接觸理論推導(dǎo)兩個(gè)微凸體間互相作用的法向接觸靜彈性剛度.利用改進(jìn)分形幾何理論給出結(jié)合部的總法向接觸靜彈性條件剛度、總條件載荷的解析解.依靠文獻(xiàn)［10］的機(jī)床結(jié)合部變形量－界面壓應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)冪律關(guān)系形式，推導(dǎo)界面靜彈性剛度、總載荷.

1 分形幾何理論的改進(jìn)

Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)能模擬一個(gè)表面輪廓的幾何形貌，根據(jù) Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)能夠計(jì)算一個(gè)單峰頂端的變形量，法向彈性載荷與一個(gè)單峰頂端的變形量、分形維數(shù)D、分形粗糙度G等參數(shù)有關(guān)，故法向彈性載荷與 Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)間接有一定的聯(lián)系.處處連續(xù)、統(tǒng)計(jì)學(xué)自相似性、點(diǎn)點(diǎn)不可微的Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)為

式中，X為表面上高度是Z的一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)；L為取樣長度；G為分形粗糙度；D為表面輪廓的分形維數(shù)；γ為與表面輪廓頻譜密度相關(guān)的參數(shù).

引入以下3個(gè)無量綱參數(shù)

式（1）可改寫為

考慮工程粗糙表面的最低頻率，式（5）可改寫為

式中，n1為最低頻率的初始項(xiàng).

需要強(qiáng)調(diào)的是：式（6）是嚴(yán)格的無量綱形式，式（6）與文獻(xiàn)的式（1）有本質(zhì)區(qū)別，式（6）中的γn無量綱，文獻(xiàn)中γn的量綱是 m－1.

當(dāng)g＝0.01，γ＝1.5，n1＝1，n＝n1～100時(shí)，式（6）表達(dá)不同分形維數(shù)的表面輪廓高度如圖1所示.

圖1 不同分形維數(shù)的無量綱表面輪廓高度

依照式（1），一個(gè)單峰頂端的變形量由 Weierstrass－Mandelbrot分形函數(shù)決定，取決于余弦函數(shù)的波峰和波谷的幅值（即諧波分量的系數(shù)）［9］，故一個(gè)單峰頂端的變形量為

式中，a為一個(gè)接觸點(diǎn)的面積，且

赫茲的峰頂曲率半徑為

值得一提的是：式（9）不同于文獻(xiàn)［9］的式（7）.

式中，K＝H／σy，H 為硬度，0.5≤K≤3；σy為較軟材料的屈服強(qiáng)度；φ＝σy／E′為材料特性.

值得指出的是：式（10）也不同于文獻(xiàn)［9］的式（9）.

式（7）／式（10），得

式中，ac為劃分彈塑性區(qū)域的臨界面積，且

需要指出的是：式（12）亦不同于文獻(xiàn)［9］的式（10）.

一個(gè)接觸點(diǎn)面積a的尺寸分布為

式中，aL為最大的接觸點(diǎn)面積.

面積在a與a＋da之間的接觸點(diǎn)數(shù)是n（a）da，故實(shí)際接觸面積為

單峰承受垂直于界面的法向彈性載荷為

需要指出的是：式（15）亦不同于文獻(xiàn)［8］的式（1）.將式（9）的第一部分δ＝代入式（15）得

將式（9）代入式（16）得

值得一提的是：式（17）亦不同于文獻(xiàn)［9］的式（14）.

單峰承受的法向塑性載荷為

當(dāng)aL＞ac時(shí)，總法向載荷為

根據(jù)L＇Hospital法則，可得極限

將式（13）代入式（19）并顧及式（20）得

需要指出的是：式（21）也不同于文獻(xiàn)［8］的式（15a）、式（15b）.由式（14）得

式中，Aa為表觀接觸面積；＝為接觸率.

根據(jù)式（20）及式（22），可將式（21）化為無量綱形式

需要指出的是：式（23）也不同于文獻(xiàn)［11］的式（11）.

2 固定接觸界面的法向靜彈性剛度

由式（15）可得函數(shù)Pe（δ）對自變量δ的導(dǎo)數(shù)為

必須明確的是：在兩個(gè)微凸體間互相作用的法向接觸靜彈性剛度kn不能按照文獻(xiàn)［12］提供的“集中載荷除以撓度”方法

可以看出，式（24）中的系數(shù)“2”不同于式（25）中的系數(shù)“4／3”.

將式（9）的變形式a＝πRδ代入式（24）得

根據(jù)式（26），可得整個(gè)界面的總法向剛度為

將式（13）代入式（27）且鑒于式（20）得

根據(jù)式（20）暨式（22），可將式（28）化為無量綱形式

值得指出的是：文獻(xiàn)［13］中的函數(shù)g3（D）＝應(yīng)為

根據(jù)式（23），P＊是（圖2）的顯函數(shù)，一般的，用對應(yīng)關(guān)系P＊＝φ（）表達(dá).同理根據(jù)式（29），也是的顯函數(shù)，用＝ψ（）表示.因此，通過中間變量可確定與P＊間的參數(shù)方程

故自變量P＊和因變量確定了一個(gè)隱函數(shù)

圖2 工程粗糙表面的實(shí)際接觸面積

3 工程粗糙表面實(shí)例與實(shí)驗(yàn)比較

當(dāng)K＝1，G＊＝10－10，D＝1.5，最小材料特性、總法向接觸剛度如圖3所示.由圖3（a）可知最小有效材料特性為2.641×10－5.

圖3 最小有效材料特性、總法向接觸剛度

當(dāng)K＝1，φ＝10－2，D＝1.9，最大有效分形粗糙度、總法向接觸剛度如圖4所示.按照圖4（a）可獲得最大有效分形粗糙度為0.000 38.

圖4 最大有效分形粗糙度、總法向接觸剛度

當(dāng)K＝0.5，φ＝10－2，G＊＝10－10，最小有效分形維數(shù)、總法向接觸剛度如圖5所示.由圖5（a）可得到最小有效分形維數(shù)為1.251.

圖5 最小有效分形維數(shù)、總法向接觸剛度

文獻(xiàn)［10］通過位移傳感器測量35個(gè)圓環(huán)體的法向、切向變形量，給出機(jī)床結(jié)合部變形量－界面壓應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)冪律關(guān)系形式

式中，λn為法向變形量，單位是（μm）；pn為表觀法向壓應(yīng)力，單位是（Pa）；對研磨－手動刮拋光表面，C＝0.001 3，m＝0.46；對研磨－研磨拋光表面，C＝0.001 4，m＝0.5.

由式（33）得

界面法向靜彈性剛度為

式（36）、界面總載荷的無量綱形式分別為

圖6 文獻(xiàn)［10］的實(shí)驗(yàn)法向壓應(yīng)力、法向剛度

通過上述數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)比較，可得下列結(jié)論：①圖3（b）、圖4（b）、圖5（b）都說明，總法向接觸靜彈性剛度線性地隨總法向載荷增加而增加，這與圖6（b）總法向剛度－載荷微凸弧曲線的實(shí)驗(yàn)結(jié)論基本一致.②圖5（b）說明，總法向接觸靜彈性剛度隨分形維數(shù)增加而增加，因?yàn)楸砻嬖酱植?，分形維數(shù)越小.③圖4（b）顯示，總法向接觸靜彈性剛度隨分形粗糙度減小而增加，因?yàn)椴糠謴椥越佑|面積隨分形粗糙度增加而減小.④圖3（b）論證，總法向接觸靜彈性剛度隨材料特性增大而增大，因?yàn)椴牧咸匦栽叫?，部分彈性接觸面積減小.

4 結(jié) 論

根據(jù)Hertz接觸理論推導(dǎo)兩個(gè)微凸體之間互相作用的法向接觸靜彈性剛度.引用改進(jìn)分形幾何理論給出結(jié)合部的總法向接觸靜彈性條件剛度、總條件載荷的解析解.按文獻(xiàn)［10］的機(jī)床結(jié)合部變形量－界面壓應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)冪律關(guān)系形式，推導(dǎo)界面靜彈性剛度、總載荷.工程粗糙表面的算例表明，本文的總法向剛度－載荷曲線與文獻(xiàn)［10］的實(shí)驗(yàn)結(jié)論基本一致.

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