華能曲阜電廠 閆華龍

反演設(shè)計(jì)對(duì)束暈-混沌束包絡(luò)的非線性反饋控制

華能曲阜電廠 閆華龍

能源危機(jī)是全世界面臨的重大問(wèn)題之一，如何利用新能源造福社會(huì)是科研工作者的歷史使命。目前核聚變能已成為一種世界公認(rèn)的未來(lái)清潔型能源，核能的高效性可以充分滿(mǎn)足人類(lèi)社會(huì)生產(chǎn)和生活的需要，具有極大的推廣價(jià)值。為了使得核電系統(tǒng)能發(fā)揮其最大利用空間，科學(xué)家提出了以加速器為驅(qū)動(dòng)的放射性潔凈核能系統(tǒng)（ADS），它把加速器和反應(yīng)堆結(jié)合起來(lái)，是一種更安全、更潔凈的新一代核能系統(tǒng)。

然而該系統(tǒng)對(duì)加速器的要求極高，一些實(shí)驗(yàn)研究成果和理論模擬計(jì)算都已發(fā)現(xiàn)，在強(qiáng)流加速器的低能傳輸段，束流會(huì)產(chǎn)生一個(gè)比束核半徑大得多的低密度暈圈，我們將該現(xiàn)象稱(chēng)為束暈–混沌現(xiàn)象。束暈–混沌現(xiàn)象是目前強(qiáng)流粒子束應(yīng)用中所面臨的困難問(wèn)題之一。因此，對(duì)束暈–混沌及其控制的研究有著重要的理論和實(shí)際意義。

反演設(shè)計(jì)方法是一種基于Lyapunov穩(wěn)定性條件的遞推設(shè)計(jì)方法，近年來(lái)，該方法在非線性控制領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用。反演設(shè)計(jì)方法的主要思想是：在對(duì)具有反饋形式的非線性系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí)，從非線性系統(tǒng)的輸出變量向控制輸入變量“反演”，進(jìn)而得到一系列反饋控制律及相應(yīng)的Lyapunov函數(shù)，由此構(gòu)造反演反饋控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定控制。

一、束包絡(luò)半徑的數(shù)值模擬

令 d rb/d s＝ρ，則周期聚焦通道中滿(mǎn)足K–V分布的粒子束歸一化包絡(luò)方程如下形式：

式（1）中，K為束導(dǎo)流系數(shù)，κz（s）為聚焦場(chǎng)的幅度，rb為束匹配半徑。選取適當(dāng)?shù)膮?shù)：周期聚焦場(chǎng)的占空比η＝0.4，束導(dǎo)流系數(shù)K＝0.903 2，聚焦場(chǎng)的幅度大小κz（0）＝10.07，束匹配半徑rb0＝0.789 1。取積分步長(zhǎng)為0.02，初始條件rb（0）＝1.578，ρ（0）＝1。用四階龍格–庫(kù)塔法對(duì)式（1）進(jìn)行數(shù)值求解，得到如圖1所示的束包絡(luò)半徑的相軌道。

圖1 束包絡(luò)半徑的相軌道

二、反演設(shè)計(jì)反饋控制器

假設(shè)存在一個(gè)控制器u（s），在該控制器作用下，包絡(luò)方程變?yōu)椋?/p>

以束包絡(luò)匹配半徑rb0為控制目標(biāo)，為了得到假設(shè)的控制器u（s）的具體表達(dá)形式，引入粒子束包絡(luò)半徑的控制誤差e1，e1按下式計(jì)算：

對(duì)上式兩邊求導(dǎo)，得

引入變量a1，并令a1＝－b1e1，其中b1＞0，且b1作為控制調(diào)節(jié)因子。分別定義變量e2和Lyapunov函數(shù)V如下：

對(duì)式（5）兩邊求導(dǎo)，得e2′＝ρ′－a1′。

利用式（5）和式（5），可推導(dǎo)出Lyapunov函數(shù)V的導(dǎo)數(shù)：

將式（5）帶入上式，得

當(dāng)式（9）成立時(shí)，V′≤0恒成立。因此在Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性條件下，rb→rb0，控制目標(biāo)將得以實(shí)現(xiàn)。根據(jù)式(2）和式（9）可推導(dǎo)出K–V分布條件下控制周期聚焦場(chǎng)強(qiáng)流粒子束包絡(luò)混沌運(yùn)動(dòng)的非線性控制器u（s）的表達(dá)式：

三、對(duì)束包絡(luò)的反演反饋控制數(shù)值模擬

設(shè)置控制參數(shù)因子b1＝10，對(duì)束包絡(luò)受控方程（2）實(shí)施控制。為了便于比較有無(wú)控制時(shí)的不同效果，先讓方程式（2）自由演化3 000個(gè)積分步長(zhǎng)后，再采用式(10）所示控制器實(shí)施控制。束包絡(luò)半徑rb與控制目標(biāo)rb的誤差函數(shù)隨時(shí)間演化的情況如圖2所示。由圖2可知，未加控制時(shí)，誤差函數(shù)（束包絡(luò)半徑rb與控制目標(biāo)rb0的相對(duì)距離）無(wú)規(guī)則振蕩，即束包絡(luò)半徑的徑向運(yùn)動(dòng)處于混沌狀態(tài)。施加控制后，rb與rb0之間的相對(duì)距離很快收斂，并一直穩(wěn)定在0附近，這說(shuō)明粒子束包絡(luò)半徑被穩(wěn)定控制在束匹配半徑上，有效達(dá)到了控制目標(biāo)。

圖2 包絡(luò)半徑誤差的時(shí)間演化

四、結(jié)論

綜上，反演設(shè)計(jì)非線性反饋控制方法以Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定性理論為依據(jù)，能較好地把處于混沌狀態(tài)的失匹配束包絡(luò)半徑穩(wěn)定控制到匹配半徑，具有較快的起控速度， 對(duì)于強(qiáng)流加速器驅(qū)動(dòng)的放射性潔凈核能系統(tǒng)（ADS）領(lǐng)域的研究有著積極的意義。