周 侃，金松坡

(中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北石家莊 050081)

0 引言

乘積碼是1954年由Elias提出，但當時的硬件水平限制了它的應用。1993年由C.Berrou等人提出Turbo碼的概念。1994年Pyndiah等人在Chase譯碼算法的基礎上稍加修改，提出了對乘積碼的軟輸入/軟輸出次優(yōu)迭代譯碼算法，由于這種算法類似于Turbo卷積碼的譯碼算法，不同的是構成碼由原來的系統(tǒng)卷積碼替換為分組碼。

Turbo乘積碼在高碼率(例如R＞0.9)可以逼近仙農限，適合于高碼率應用;在低碼率應用時其性能已接近Turbo卷積碼;在實現(xiàn)上較Turbo卷積碼具有明顯的優(yōu)勢。Turbo乘積碼還具有延時短、譯碼算法能充分利用軟判決、能夠同時糾正隨機錯誤和突發(fā)錯誤、即使在信道條件較差時仍有較好的糾錯能力等優(yōu)越性，都是RS碼等其他編碼所不擁有的。

1 Turbo乘積碼的編碼

乘積碼按照構成子碼種類的不同，可分成RS乘積碼、BCH乘積碼、擴展Hamming乘積碼和奇偶校驗乘積碼。假設乘積碼的子碼為 C1(n1，k1，δ1)和 C2(n2，k2，δ2)，其中 n、k 和 δ分別為碼長、信息位長和最小漢明距離。乘積碼P=C1?C2可以通過下面的方法得到。

①將k1*k2位信息比特按列(或者行)的方式填入k1行*k2列的數(shù)組;

②用C2碼對k1行信息進行編碼;

③用C1碼對k2列信息進行編碼。

乘積碼P的參數(shù)為n=n1*n2，k=k1*k2，δ=δ1*δ2，編碼效率R=k/n。乘積碼的編碼結構如圖1所示。

圖1 乘積碼的編碼結構

2 Turbo乘積碼的譯碼

2.1 Chase譯碼算法

通常的查表譯碼法屬于代數(shù)譯碼，代數(shù)譯碼也叫硬判決譯碼。硬判決譯碼器的輸入只有“0”和“1”兩個值，這種判決結果會損失掉接收信號中所包含的有用信息。為了充分利用接收信號波形的信息，使譯碼器能以更大的正確概率判決接收到的碼字，應把解調器輸出的抽樣電壓的量化值送給譯碼器，這種譯碼算法稱為軟判決譯碼。

軟判決的準則就是根據(jù)接收序列R，在所有碼字中尋找與R歐幾里得距離最小的碼字作為輸出。歐氏距離的計算公式為:

式中，R為具有模擬值的接收序列;C為碼字(ci∈{－1，+1})。

但是隨著信息位的增加，碼字的數(shù)量成指數(shù)增加，譯碼的過程中要想搜索所有的碼字將很不容易實現(xiàn)。Chase在1972年提出了一種簡化碼字搜索范圍的譯碼算法。

Chase譯碼算法基于這樣的思想:假設二元加性高斯白噪聲(AWGN)信道中傳輸(n，k，δ)線性分組碼字 C= (c1，…cj…cn)，經調制后的發(fā)送信號為X= (x1，…xj，…xn)，xj∈ {+1，－1}，接收信號為R= {r1，…rj，…rn}，信道噪聲為均值為0、方差為 σ2的加性高斯白噪聲，N=(n1，…nj，…nn)，三者滿足:R=X+N。對接收信號R進行最大似然譯碼，產生的碼字以極大的概率落于以Y={y1，…yj，…yn}為中心、(d－1)為半徑的球域中，d為該編碼的最小漢明距離，Y為接收信號的硬判決值。

Chase譯碼算法的步驟如下:

①根據(jù)接收序列R，計算硬判決序列Y，其中yj=(1+sign(rj))/2，yj∈{0，1}。

②確定序列Y中的p個最不可靠位。其中p一般取2，3，4(增加p，可以提升Chase譯碼的效果，但是計算量會急劇增加)。序列Y中每一位的可靠度根據(jù)接收序列R計算。

式中，∧(yj)表示序列Y中第j位的可靠度。

③ 產生2p個測試圖樣Tq。Tq定義為一組n維向量，包括“0”和“1”在p個位置上的所有組合。

④ 構造測試序列Zq，Zq=Y⊕Tq，⊕表示按位異或。

⑤用代數(shù)譯碼器對Zq進行譯碼，也就是上述提到的查表譯碼法，得到輸出碼字Ci，并將其做如下映射:0→－1，1→+1，然后歸入集合Ω。

⑥根據(jù)式(1)分別求集合Ω中的碼字Di與接收信號R之間的歐幾里得距離，距離最小的碼字D作為判決序列輸出。

2.2 硬輸出到軟輸出

為了實現(xiàn)對TPC的高性能譯碼，必須采用迭代方式，這就要求譯碼器的輸出為軟數(shù)據(jù)，即帶有可靠度度量值的數(shù)據(jù)。而Chase算法是一種針對線性分組碼的軟輸入硬輸出(Soft-Input Hard-Output，SIHO)譯碼算法，譯出的碼字為硬輸出(dj∈{－1，+1})。1994年R.Pyndiah對 Chase算法做了修改，提出了Turbo乘積碼的“軟輸入軟輸出”的迭代譯碼算法，這是一種近似的最大似然譯碼，能大大降低譯碼的復雜度。

對于軟輸入信號R，可以通過上述的Chase譯碼算法得到硬判決碼字D，然后可以根據(jù)式(3)計算碼字D中第j位dj的可靠度，也就是軟輸出。

從式(3)可以看出，計算rj'時需要2個碼字C_C和D。硬判決值D是其中一個，因此需要找到另外一個碼字C_C，稱為D的競爭碼字。C_C為碼字集合Ω中與接收信號R具有最小歐氏距離并且c_cj≠dj的碼字。

如果找不到競爭碼字，也就是說集合Ω中所有的碼字在第j位都相同，那么必須采用其他方法計算軟輸出信息。式(4)是一種有效的計算方法:

式中，m為迭代的次數(shù);β為一個大于0的常數(shù)，隨著迭代次數(shù)的增加而增大。β的經驗取值為:

2.3 Turbo乘積碼譯碼器

Turbo乘積碼的一次完整的串行迭代譯碼的結構如圖2所示，圖中“SISO譯碼”表示軟輸入軟輸出譯碼。

圖2 Turbo乘積碼迭代譯碼器結構

圖2中，［R］表示具有模擬值的接收矩陣;R［m］為外部信息矩陣，m為迭代次數(shù)。迭代譯碼算法的步驟如下:

①計算“行SISO譯碼器”的軟輸入值。

式中，α(m)為第m次迭代時的反饋系數(shù)，可以根據(jù)子碼的碼型和迭代次數(shù)進行調整，一般取經驗值。W［m］為“列SISO譯碼”器經虛線反饋回來的外部信息，初始值［W(0)］=0。

②譯碼器對軟輸入矩陣［R(m)］按Chase算法逐行進行譯碼，計算軟輸出矩陣［R'(m)］，并計算下一次迭代的外部信息:

③利用外部信息矩陣［W(m+1)］，按式(6)計算［R(m+1)］的值，并輸入“列SISO譯碼”器。列譯碼器同樣按Chase算法對［R(m+1)］逐列進行譯碼，并計算軟輸出矩陣［R'(m+1)］和外部信息矩陣［W(m+2)］，然后將外部信息矩陣［W(m+2)］通過虛線反饋給“行 SISO譯碼”器。這樣就完成了二維乘積碼的一次完整的迭代譯碼。

迭代次數(shù)達到設定值時，將列譯碼器的軟輸出值［R'(m)］做硬判決(符號判決)后輸出即可完成譯碼。

3 性能仿真分析

針對無人機信號參數(shù)，對信號調制方式和信道模型做如下假設:信號調制方式為BPSK;信道模型為衰落信道。在仿真中，采取C1=C2的編碼方法，也就是n1=n2，k1=k2，δ1=δ2。調節(jié)參數(shù)的經驗取值:α(m)=［0.0 ，0.2 ，0.3，0.5，0.7，0.9，1.0，1.0］， β(m)=［0.2，0.4，0.6，0.8，1.0，1.0，1.0，1.0］。

3.1 碼率對譯碼性能的影響

Turbo乘積碼子碼選取3種，分別為:

① BCH［63，51，5］*BCH［63，51，5］，碼率0.66;

② BCH［63，57，3］*BCH［63，57，3］，碼率0.82;

③ BCH［127，113，5］*BCH［127，113，5］，碼率0.79。

不同碼率下的Turbo乘積碼的譯碼性能如圖3所示。在仿真中，采用試探序列的數(shù)目為q=24。

圖3 3種碼率乘積碼的信噪比—誤碼率曲線

可以看出，碼率越低TPC譯碼的性能越好。這是因為BCH碼的碼率越低，則監(jiān)督位相對越多，從而可以實現(xiàn)更好的譯碼性能。譯碼性能對比如表1所示。

表1 誤碼率在10－5量級時的譯碼性能對比

3.2 測試序列對譯碼性能的影響

Chase譯碼選用的試探序列數(shù)目q=2p選擇了3種情況進行仿真，p分別為4、3和2。圖4、圖5和圖6分別為不同碼率情況下試探序列數(shù)目對誤碼性能的影響仿真曲線。

圖4 BCH［63，51，5］乘積碼的信噪比—誤碼率曲線

圖5 BCH［63，57，3］乘積碼的信噪比—誤碼率曲線

圖6 BCH［127，113，5］乘積碼的信噪比—誤碼率曲線

可以得出，測試序列越多Turbo乘積碼的譯碼性能越好。但是，如果p取值過大，計算量就會很大，不易于硬件實現(xiàn);p取值太小，譯碼器的譯碼性能變差。一般情況下p的取值為3或4即可。

4 結束語

上述對Chase算法、基于Chase算法的軟輸入軟輸出的算法進行了介紹，分析了基于Chase算法的Turbo乘積碼迭代譯碼算法的基本結構，最后通過仿真分析了碼率、測試序列個數(shù)對Turbo乘積碼譯碼性能的影響。

Turbo乘積碼在衰落信道可以獲得6.0 dB左右的編碼增益，測試序列選用16較合適，可以兼顧增益損失小和硬件實現(xiàn)簡單雙重要求。由于其簡單的硬件實現(xiàn)以及較高的編碼增益，如果可以應用在無人機測控領域，可以緩解機載設備資源緊張的情況?！?/p>

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