喻明秋，祝 兵，張斗龍

（1．攀枝花市規(guī)劃和建設局，四川攀枝花 617000；2．西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031；3．檀慕信息技術(shù)（上海）有限公司成都分公司，四川成都 610031）

基于Newmark－β顯式直接積分法的三塔斜拉橋非線性地震響應分析①

喻明秋1，祝 兵2，張斗龍3

（1．攀枝花市規(guī)劃和建設局，四川攀枝花 617000；2．西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031；3．檀慕信息技術(shù)（上海）有限公司成都分公司，四川成都 610031）

三塔單索面斜拉橋在空間動力行為方面有其獨特之處。以濟南建邦黃河公路大橋為例，運用有限元方法建立橋梁的空間動力數(shù)值分析模型，構(gòu)建結(jié)構(gòu)特征方程，在頻率范圍1 600～0cps，頻移為1cps基礎上運用lanczos法解此方程獲得結(jié)構(gòu)空間動力特性；進而利用擬相對速度反應譜SV和擬絕對加速度反應譜SA之間的數(shù)學關(guān)系，在大量地震記錄中選擇與場地特征周期基本一致的波譜，對其峰值加速度和持續(xù)時間進行調(diào)整后直接輸入動力數(shù)值模型；采用質(zhì)量和剛度因子法計算結(jié)構(gòu)各振型阻尼比，以恒載作用下結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)作為初始狀態(tài)，運用Newmark－β顯式直接積分法迭代求解結(jié)構(gòu)動力微分方程組，并取γ≥0．5且β≥γ／2以滿足其無條件穩(wěn)定；考慮恒載作用在地震發(fā)生過程中對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的二階效應，獲得非線性地震響應數(shù)值解，并由此總結(jié)出該類橋型的地震響應一般規(guī)律。結(jié)果可為該類橋型的抗震設計提供參考。

三塔單索面斜拉橋；動力特性；無條件穩(wěn)定；二階效應；Newmark－β顯式直接積分法

Abstract：Cable－stayed bridge with three towers and single cable plane has uniqueness on dynamic behavior in space．In this paper，the Jianbang Yellow River Highway Bridge in Jinan is taken，as example，using finite element method to build spatial dynamic numerical analysis model of the bridge，and to form a structural characteristic equation，the space dynamic characteristics of the structure is obtained with frequency range of 1 600～0cps and frequency shift 1cps by using lanczos methods for the solution of the equation．The mathematical relationship between pseudo relative velocity response spectrum SVand pseudo absolute acceleration response spectrum SAis used to select the spectra with basically same characteristic site period in a large number of seismic records，whose peak acceleration and duration are adjusted to directly be input to the dynamic numerical analysis model．Using mass and stiffness factor method in calculation on damping ratio of every vibration type，taking stressed state of the structure under dead load as the initial state，Newmark－βexplicit scheme direct integration method withγ≥0．5andβ≥γ／2which make the method being no－conditional stable is used to the solution of the structure dynamic differential equations．Considering the second order effect from dead load in the structure during an earthquake，the numerical solution of nonlinear seismic response is obtained．Furthermore，general laws on seismic response of such bridge type is concluded to provide a feasible basis for seismic design of such bridge type．

Key words：Cable－stayed bridge with three towers and single cable plane；Dynamic characteristics；No－conditional stable；Second order effect；Newmark－βexplicit scheme direct integration method

0 引言

大跨度橋梁結(jié)構(gòu)準確的地震響應計算是其抗震設計的前提和基礎，而地震響應計算結(jié)果的可信度與計算方法息息相關(guān)。1899年至今結(jié)構(gòu)地震響應計算方法經(jīng)歷了靜力法—反應譜法—時程法和隨機振動法的發(fā)展歷程［1－2］。靜力法由于忽略了結(jié)構(gòu)自身的動力特性，只有當結(jié)構(gòu)基本周期比場地特征周期小很多時才能成立，因此存在很大的局限性［1］；反應譜法盡管在一定程度上考慮了結(jié)構(gòu)的動力特性，但設計反應譜源于強震記錄的統(tǒng)計分析，而過去大多使用的模擬式強震儀在長周期部分嚴重失真［1］，因此對于基本周期較長的大跨度斜拉橋反應譜法的計算結(jié)果難以令人信服。上世紀60年代后，隨著計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展時程分析法被引入到大跨度橋梁的分析當中。動態(tài)時程分析法從選定合適的地震動輸入出發(fā)，采用多節(jié)點多自由度的結(jié)構(gòu)有限元動力計算模型建立地震振動方程，然后采用逐步積分法對方程進行求解，計算地震過程中每一瞬時結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度反應，從而分析出結(jié)構(gòu)在地震作用下彈性和非彈性階段的內(nèi)力變化以及構(gòu)件逐步開裂、損壞直至倒塌的全過程［2］。本文在簡要介紹Newmark－β顯式非線性直接積分法算法思想的基礎上，選擇濟南建邦黃河公路大橋為研究對象，通過在大量原始地震記錄中篩選特征周期和場地特征周期基本一致的地震記錄，然后將經(jīng)過強度和持續(xù)時間調(diào)整后的地震波直接輸入模型，構(gòu)建結(jié)構(gòu)動力微分方程組，采用質(zhì)量和剛度因子法計算結(jié)構(gòu)各振型阻尼比，運用Newmark－β直接積分法求解動力微分方程組，并從結(jié)構(gòu)體系的特點出發(fā)，分析結(jié)果的合理性。

1 Newmark－β顯式直接積分法概述

當滿足γ≥0．5，β≥γ／2時，Newmark－β顯式法具有無條件穩(wěn)定的優(yōu)點［3］。采用Newmark－β法求解結(jié)構(gòu)動力微分方程組的具體過程如下［1，3－4］。

單自由度質(zhì)量系統(tǒng)動力方程的增量形式寫為

Newmark－β法中設

從式（2）、（3）可求出

將（4）、（5）兩式代入式（1）得

式中

通過式（6）計算出位移增量Δy（t）后就可以由式（5）求出速度增量Δ˙y（t），由此可以得出下一段的起始值：

如此一個時間步長計算完畢。重復以上步驟可以一步一步地計算下去，查到所需時程范圍為止。Newmark－β方法中關(guān)鍵是先取β，γ值。其中γ控制人工阻尼，當γ＝0．5時，無人工阻尼；當滿足γ≥0．5，β≥0．5γ，Newmark－β法是無條件穩(wěn)定。通常取γ＝0．5，通過調(diào)整β值以期達到對加速度的各種修正。

2 橋梁工程概況

濟南建邦黃河公路大橋為三塔單索面斜拉橋，跨度布置為53．5m＋56．5m＋2×300m＋56．5m＋53．5m（圖1）。主梁橫斷面采用單箱四室斜腹板截面，梁高3．5m，頂板寬30．5m，底板寬9m，兩側(cè)懸臂長4m。中塔采用塔、梁、墩固結(jié)，與塔、墩相交處各設1道橫梁，厚7m。中塔下塔柱分為兩部分：一是高6．2m、直徑16m的圓柱體，二是分開兩邊高16．25m、半徑8m的半園斜柱體，橫向?qū)挾葹? m，兩部分均為實體結(jié)構(gòu)。中塔上塔柱均采用空心矩形斷面，橫向?qū)挾染鶠?m，縱向塔頂寬為8m，豎向經(jīng)半徑為260m的圓弧過渡至主梁頂外側(cè)至外側(cè)寬20m，并在距梁頂22．54m高度處分離為兩個寬為4．9～6m的斜腿；上塔柱高86．64m，索錨區(qū)基本壁厚為橫橋向0．7m，順橋向1．4m，在分開成斜腿上部一定范圍內(nèi)橫向壁厚逐漸加厚，斜腿部分基本壁厚為橫橋向1．2m，順橋向1．4m。邊塔下塔柱高18．1m，橫橋向等寬9m、順橋向等寬7 m，采用單箱四室截面，基本壁厚橫橋向1．0m，中間隔板2．0m，順橋向1．0m，中間隔板0．8m；上塔柱橫向?qū)挾染鶠?m，縱向塔頂寬為7m，上塔柱高67．4m，索錨區(qū)基本壁厚為橫橋向0．7m，順橋向1．4m。

圖1 濟南建邦黃河公路大橋立面圖（單位：m）Fig．1 Elevation of Jianbang Yellow River Highway Bridge in Jinan（unit：m）．

3 動力數(shù)值模型與輸入地震波

運用有限元方法建立橋梁的動力數(shù)值模型過程中做如下考慮：

（1）數(shù)值模型中恒載包括結(jié)構(gòu)自重、預應力和斜拉索成橋索力，以結(jié)構(gòu)在恒載作用下的受力狀態(tài)作為初始狀態(tài)，動力微分方程組的求解過程即是以此初始狀態(tài)為時間零點的迭代過程。由于在迭代過程中引入了結(jié)構(gòu)的恒載，因此計算結(jié)果中包含了恒載各分量耦合產(chǎn)生的二階效應。

（2）在實際地震作用前將恒載效應以單元初始內(nèi)力的形式輸入模型，真實地震續(xù)接恒載作用，可以真實反映震前結(jié)構(gòu)內(nèi)力和應力狀態(tài)。

（3）模型中橋面部分采用脊梁模式，將原主梁的軸向剛度、彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度和剪切剛度均集中到主梁上，可以采用一致剛度和一致質(zhì)量矩陣來描述。

（4）主梁、塔柱采用空間梁單元進行模擬，單元劃分基本與施工節(jié)段一致；斜拉索采用桁架單元模擬，用Ernst公式修正彈性模量以考慮垂度效應，一個單元即為一根拉索。

（5）斜拉索錨固點與主梁、主塔的相對位置準確設定，確保斜拉索傾斜角度精確，采用剛性連接的辦法連接拉索錨固點與主梁和主塔。

（6）主梁和中塔采用共節(jié)點和剛性連接的方式模擬塔梁固結(jié)，主梁與邊塔連接按照實際的約束關(guān)系采用彈簧單元模擬。

（7）橫隔板重量、二期恒載和邊跨壓重是結(jié)構(gòu)重力的組成成分，計算中轉(zhuǎn)換為節(jié)點質(zhì)量考慮。

因缺乏橋址處地震危險性分析資料，本文場地特征周期按Ⅲ類場地取用。根據(jù)建筑抗震設計規(guī)范［5］的規(guī)定，地震分組為第二組，場地特征周期為0．55s。利用擬相對速度反應譜SV和擬絕對加速度反應譜SA之間存在的近似數(shù)學關(guān)系計算出地震波的圓頻率ω，從而獲得地震波特征周期，在大量地震記錄中選擇與在建場地特征周期基本一致的James rd地震波做強度和持續(xù)時間調(diào)整。通過建筑抗震設計規(guī)范［5］可知，濟南市抗震設防烈度為Ⅵ度，鑒于該橋的重要性，本文提高一度進行考慮，峰值加速度調(diào)整為0．12g，地震持續(xù)時間取40s，其中最后2s加速度取為0，以觀察地震激勵停止后結(jié)構(gòu)的動力反應。調(diào)整后的James rd地震波如圖2所示。

圖2 調(diào)整后的James rd地震波Fig．2 Adjusted James rd seismic wave．

4 地震響應結(jié)果與分析

將調(diào)整后的地震波分別沿橋梁縱向、橫向、豎向和三向耦合輸入，分別計算結(jié)構(gòu)在地震激勵下的內(nèi)力和位移響應，并對結(jié)構(gòu)地震響應規(guī)律作出分析總結(jié)。限于篇幅，僅列出縱向輸入和三向耦合輸入計算結(jié)果。

4．1 恒載作用

將恒載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形作為后續(xù)實際地震作用的初始狀態(tài)，可以幫助我們把握實際地震激勵作用于結(jié)構(gòu)上時地震荷載本身對結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形的貢獻，同時，恒載作用參與動力微分方程組的迭代過程，可以很好的考慮其二階效應的影響。恒載作用下典型部位內(nèi)力值如表1所示。

4．2 縱向地震波單獨作用

縱向地震波單獨作用下結(jié)構(gòu)典型部位動力響應結(jié)果如表2所示，東邊塔與中塔縱向移峰值包絡圖、中塔塔頂縱向位移時程曲線與中塔塔根彎矩時程曲線分別如圖3（a）、（b）、（c）、（d）所示。

表1 恒載作用下典型部位內(nèi)力響應值

表2 James rd地震波縱向作用下典型部位內(nèi)力響應值

在縱向地震作用下結(jié)構(gòu)主要表現(xiàn)為縱向響應。內(nèi)力方面主要體現(xiàn)在主梁軸力和中塔塔根縱向彎矩與縱向剪力。其中中塔塔根部位縱向彎矩值和縱向剪力值均非常大，其中彎矩為162 263．50kN·m，剪力為6 566．12kN。筆者認為地震荷載造成結(jié)構(gòu)這一受力特點的原因在于橋梁的兩邊塔對主梁縱向沒有約束而中塔與主梁固結(jié)，主梁在縱向地震激勵下的強大慣性力大部分通過中塔傳遞給基礎，使得中塔承受了很大的縱向力，這一縱向力在塔根部位形成了巨大的彎曲和剪切作用。設計中必須考慮抗震鋼筋的配置并進行承載力驗算。位移方面，兩邊塔縱向最大位移較中塔更大，其中西邊塔與東邊塔縱向最大位移均為32mm，而中塔縱向最大位移小于兩邊塔位移，為30mm。筆者認為造成這一變形特點的原因有兩點：①中塔側(cè)面采用倒“Y”和“Y”形相結(jié)合的結(jié)構(gòu)形式，其縱向剛度遠大于邊塔；②中塔與主梁固結(jié)，而邊塔與主梁之間沒有縱向約束，因此中塔的懸臂長度應從主梁處算起為168．8m，而邊塔的懸臂長度應從塔根部算起為170．2m，說明盡管中塔高度大于邊塔，但中塔的懸臂長度卻比邊塔更小，因此中塔縱向位移較邊塔更小。從圖3（c）、（d）可以看出，地震波輸入初期，中塔塔頂縱向位移時程曲線和中塔塔根縱向彎矩時程曲線的走勢與地震波波譜具有一定的相似性，但時程曲線波峰與波谷出現(xiàn)的時間與地震波存在差異且衰減速度更慢，當縱向地震激勵趨近于零時，對應時間的中塔塔頂縱向位移和中塔塔根縱向彎矩卻并不為零，說明縱向地震停止后結(jié)構(gòu)仍然有一段時間處于縱向振動狀態(tài)。

4．3 三向地震波耦合作用

三向地震波耦合作用下結(jié)構(gòu)典型部位內(nèi)力響應見表3所示，兩橋塔縱向位移峰值包絡圖、主梁東西兩側(cè)中跨跨中豎向位移時程分別如圖4（a）、（b）、（c）、（d）所示。

圖3 James rd地震波縱向作用下結(jié)構(gòu)典型部位響應Fig．3 Response diagrams of the typical site on the bridge under longitudinal effect of James rd seismic wave（Peak envelope of displacement and time－h(huán)istory curve）．

表3 James rd地震波三向耦合作用下典型部位內(nèi)力響應值

三向地震波耦合作用下結(jié)構(gòu)三個方向均發(fā)生明顯振動。從表3可知，盡管結(jié)構(gòu)幾何對稱，主梁西側(cè)中跨跨中縱向彎矩較東側(cè)大10%，中塔西側(cè)主梁縱向彎矩較中塔東側(cè)主梁大19．7%，東邊塔根部縱向彎矩較西邊塔大20．4%。筆者也曾將地震波反向輸入模型，發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果與上述結(jié)果基本相反，說明即使結(jié)構(gòu)對稱，其地震響應并不一定是對稱的，還與地震波的輸入角度有關(guān)。設計時應考慮地震輸入角度的影響，選擇最不利狀態(tài)考慮。此外，對比表3和表2可以看出，地震波三向耦合作用下主梁東側(cè)中跨跨中軸力、西邊塔根部縱向彎矩均小于地震波縱向作用下結(jié)構(gòu)的響應值，表明三向地震波耦合作用下結(jié)構(gòu)響應值不一定為最大。因此三向地震波耦合作用結(jié)果未必就一定是結(jié)構(gòu)的最不利受力狀態(tài)，單維地震響應計算同樣具有現(xiàn)實意義。

5 結(jié)論

利用有限元方法完成了橋梁在地震激勵作用下振動狀態(tài)的模擬，獲得以下結(jié)論：

（1）橋梁基本周期為3．03s，第一振型為主梁反對稱豎向彎曲，結(jié)構(gòu)反對稱效應較為明顯，設計中應考慮豎向地震的影響；兩邊塔上主梁縱向漂浮使得縱向地震對中塔根部縱向彎矩和剪力影響均較大，設計時應配置足夠的抗震主筋和箍筋。

（2）結(jié)構(gòu)振動響應具有明顯的方向性，與地震波的輸入方向基本一致；但結(jié)構(gòu)振動的衰減速度低于地震激勵的衰減速度，地震激勵基本停止后結(jié)構(gòu)仍有一段時間保持著振動狀態(tài)。

（3）考慮恒載作用初始狀態(tài)對于判斷地震作用是否控制結(jié)構(gòu)構(gòu)件的設計具有重要的意義。

（4）結(jié)構(gòu)諸多對稱部位的縱向彎矩相差較大，說明即使結(jié)構(gòu)對稱其地震響應結(jié)果也并不一定對稱。

（5）三向地震波耦合作用下結(jié)構(gòu)某些部位的響應小于地震波單獨作用時的響應，因此三向地震波耦合作用未必就一定是結(jié)構(gòu)的最不利受力狀態(tài)，單維地震動響應分析同樣具有非?，F(xiàn)實的意義。

圖4 James rd地震波耦合作用下結(jié)構(gòu)典型部位響應圖形Fig．4 Response diagrams of the typical site on the bridge under coupling effect of James rd seismic wave．

（6）地震作用初期結(jié)構(gòu)地震響應時程曲線的走勢與地震波譜走勢具有一定的相似性，地震響應時程與地震波譜在統(tǒng)計意義上是否存在一種定量的數(shù)值關(guān)系，且這一關(guān)系是否僅與結(jié)構(gòu)的類型相關(guān)，是一個值得進一步研究的問題。

［1］ 范立礎．橋梁抗震［M］．上海：同濟大學出版社，1997．

［2］ 葉愛君．橋梁抗震［M］．北京：人民交通出版社，2002．

［3］ Newmark N M．A Method of Computation for Structural Dynamics［J］．Journal of the Engineering Mechanics Division，ASCE，1959，85（2）：67－94．

［4］ 翟婉明．大型結(jié)構(gòu)動力分析的Newmark－β顯式算法［J］．重慶交通學院學報，1991，10（2）：33－41．

［5］ 中華人民共和國建設部，國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局．GB 50011－2001．建筑抗震設計規(guī)范［S］．北京：中國建筑工業(yè)出版社，2001．

［6］ 華孝良，徐光輝．橋梁結(jié)構(gòu)的非線性分析［M］．北京：人民交通出版社，1997．

［7］ 任慧，尚守平，李剛．非勻質(zhì)場地地震反應的模態(tài)疊加法解［J］．西北地震學報，2009，31（1）：26－30

［8］ Wang P H，Yang C G．Parametric studies on cable－stayed bridges［J］．Computers and Structures，1996，60（2）：243－260．

［9］ 高大峰，劉伯棟，張靜娟．中承式鋼筋混凝土拱橋自振特性分析［J］．西北地震學報，2009，31（1）：75－79．

［10］ 翟婉明．非線性結(jié)構(gòu)動力分析的Newmark頂測——校正積分模式［J］．計算結(jié)構(gòu)力學及其應用，1990，7（2）：51－58．

［11］ Clough R W，Penzien J．王光遠，譯．結(jié)構(gòu)動力學［M］．北京：科學出版社，1985．

［12］ Park K C．An Improved Stiffly Stable Method for Direct Integration of Nonlinear Structural Dynamic Equations［J］．Journal of Applied Mechanics，ASME，1975，42（2）：464－470．

［13］ 梁慶國，韓文峰．強震區(qū)巖體地震動力破壞特征［J］．西北地震學報，2009，31（1）：15－20．

［14］ 重慶交通科研設計院．JTG／T B02－01－2008．公路橋梁抗震設計細則［S］．北京：人民交通出版社，2008．

Nonlinear Earthquake Response Analysis on Three－tower Cable－stayed Bridge Based on Newmark－βExplicit Scheme Direct Integration Method

YU Ming－qiu1，HU Bing2，ZHANG Dou－long3

（1．Bureau of Planning and Construction Administration of Panzhihua city，Sichuan Panzhihua 617000，China；2．School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；3．Chengdu Branch of Tanmu Information Technology（Shanghai）Co．，Ltd，Chengdu 610031，China）

U448．27

A

1000－0844（2012）03－0245－05

10．3969／j．issn．1000－0844．2012．03．0245

2010－03－08

中鐵大橋勘測設計院橫向課題

喻明秋（1983－），男，碩士研究生，四川遂寧人，主要從事橋梁抗震理論與應用研究．