汪良防

淺談高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的哲學(xué)思想

汪良防

高等數(shù)學(xué)作為一門反映現(xiàn)實(shí)世界空間形式，表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，其自身內(nèi)部是在一定的矛盾統(tǒng)一體相互作用而不斷發(fā)生和發(fā)展的。在這一過程中，高等數(shù)學(xué)的發(fā)展也遵循自身的規(guī)律。而這其中的規(guī)律可以用哲學(xué)的思想來進(jìn)行解釋。以高等數(shù)學(xué)中的哲學(xué)思想為研究對(duì)象，分析與闡述了蘊(yùn)含其間的有限與無限、特殊與一般、運(yùn)動(dòng)與靜止、近似與精確等哲學(xué)思想。

高等數(shù)學(xué)；哲學(xué)思想；研究

偉大的思想家、哲學(xué)家恩格斯曾經(jīng)說過：“要想表示物質(zhì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、形成和發(fā)展過程，唯一可以實(shí)現(xiàn)或者達(dá)到這一目的的只有微積分?！备叩葦?shù)學(xué)從本質(zhì)上來分析是一種表示和展現(xiàn)變量的科學(xué)。它所能研究的不僅僅是靜止的，更應(yīng)該是運(yùn)動(dòng)的和過程的。因此，從整個(gè)高等數(shù)學(xué)的研究過程來看，在這其中所運(yùn)用的觀點(diǎn)和方法都與初等數(shù)學(xué)表現(xiàn)出了本質(zhì)上的不同。高等數(shù)學(xué)中的辯證唯物主義思想所表現(xiàn)的是事物之間對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系。這種關(guān)系在高等數(shù)學(xué)中各個(gè)方面都有體現(xiàn)。比如：高等數(shù)學(xué)中的有限與無限之間的關(guān)系、特殊與一般之間的關(guān)系、量變與量變累計(jì)到質(zhì)變之間的關(guān)系，等等。

哲學(xué)思想強(qiáng)調(diào)，任何事物之間都存在著一定程度的聯(lián)系，這種聯(lián)系是普遍存在的。對(duì)于高等數(shù)學(xué)而言，這一觀點(diǎn)也同樣適用。例如，我國(guó)高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的著名學(xué)者、科學(xué)家楊樂和張廣厚，就曾經(jīng)針對(duì)函數(shù)值分布論中的概念進(jìn)行了創(chuàng)新性的思考和研究，他們?cè)谘芯康倪^程中大量借鑒了唯物辯證法中普遍聯(lián)系的觀念，首次提出了并解釋了“虧值”和“奇異方向”之間的具體聯(lián)系。這一研究結(jié)果引起了數(shù)學(xué)界的高度重視。

自覺運(yùn)用唯物辯證法聯(lián)系的觀點(diǎn)指導(dǎo)函數(shù)理論的研究，第一次發(fā)現(xiàn)了函數(shù)值分布論中兩個(gè)主要概念“虧值”和“奇異方向”之間的具體聯(lián)系，受到了國(guó)內(nèi)外函數(shù)論專家的重視。而這只是漫長(zhǎng)高等數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)亮點(diǎn)而已?；仡櫿麄€(gè)高等數(shù)學(xué)理論發(fā)展歷程，這樣的矛盾與統(tǒng)一無處不在。正是在解決和發(fā)現(xiàn)矛盾的過程中，高等數(shù)學(xué)自身也得到了向前發(fā)展的動(dòng)力和支持。通過不斷的實(shí)現(xiàn)對(duì)立和統(tǒng)一、否定之否定、量變與質(zhì)變等過程，高等數(shù)學(xué)不斷給我們展示著哲學(xué)中的各種辯證關(guān)系，使數(shù)學(xué)學(xué)科成為一門真正的學(xué)科。

一、有限與無限

我們都曾經(jīng)經(jīng)歷或目睹過兩個(gè)小孩子在進(jìn)行數(shù)量比較的過程中，一個(gè)孩子可能會(huì)說：“我有1000”，另外一個(gè)孩子可能會(huì)說：“那我有10000，比你多吧？”然后前一個(gè)孩子可能會(huì)說：“不管你有多少，我都比你多一個(gè)”。后一個(gè)孩子最后可能會(huì)說：“我有整個(gè)宇宙的數(shù)量。”這樣的例子，其實(shí)就是高等數(shù)學(xué)關(guān)于“有限”和“無限”之間的關(guān)系。

在哲學(xué)上來看，“有限”和“無限”是一對(duì)矛盾的統(tǒng)一體，二者之間存在一定的聯(lián)系。無限是有限的發(fā)展，無限是由有限所組成的。按照高等數(shù)學(xué)的思想，無限是“部分和”的極限，這就是利用有限來認(rèn)識(shí)無限的過程?？梢?，我們?cè)趯W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)概念的過程中就把辯證統(tǒng)一的思想融入了其中。

“有限”和“無限”概念的提出也是區(qū)別高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志之一。根據(jù)數(shù)學(xué)推到的思想我們很容易地認(rèn)識(shí)到：既然無限是有限的發(fā)展，那么以前針對(duì)有限適用的相關(guān)命題，當(dāng)其推廣到無限的時(shí)候是否依然成立呢？經(jīng)研究我們發(fā)現(xiàn)，這其中的一些命題依然正確，但是也有一些命題是不正確的。這便是矛盾統(tǒng)一思想的真實(shí)寫照。例如，由1＜2，2＜3，…，n＜n+1，…推得l+2+…十…n+…＜2+3+…+(n+1)+…。若記x=2+3+…+(n+1)+…，則有1+x＜x，即1＜0。很顯然，這樣的推算得到了矛盾的結(jié)果。因此，在高等數(shù)學(xué)不斷的發(fā)展過程中，我們會(huì)研究到底哪些是普遍適用的，哪些具有特殊的意義。在這過程中，需要特別給予重視的是：當(dāng)推廣不成立時(shí)，其中是否有特殊命題可以推廣？如果經(jīng)過相關(guān)的研究和總結(jié)分析后發(fā)現(xiàn)可以推廣，并推廣成功，那么我們就得到了一個(gè)新的發(fā)現(xiàn)和新的創(chuàng)造。這就是矛盾中的不斷發(fā)展。

從有限到無限的發(fā)展，對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展來說具有重要的歷史意義。它的開創(chuàng)對(duì)于微積分中相關(guān)概念的理解起到了極大的促進(jìn)作用，為高等數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定的基礎(chǔ)。總之，作為高等數(shù)學(xué)微積分中的基本概念——有限與無限，是我們理解和發(fā)展微積分的重要工具。而在這種理解和發(fā)展的過程中，正是借助哲學(xué)中的辯證統(tǒng)一思想把微積分一步步引向深入。無限能夠通過有限來進(jìn)行表示，而有限可以通過一定的方式轉(zhuǎn)化成無限。這就是事物思考的過程、發(fā)展的過程和變化的過程。這也真正體現(xiàn)了恩格斯的觀念——“無限來自于有限，永久來自于暫時(shí)”。

二、特殊與一般

數(shù)學(xué)實(shí)際上是一門認(rèn)識(shí)世界數(shù)量關(guān)系和組合形式和方法的科學(xué)。可是，我們面對(duì)的世界是一個(gè)紛繁復(fù)雜的世界，充斥著普遍性與特殊性，即個(gè)性和共性同時(shí)存在。如果用數(shù)學(xué)的工具來表示這一觀念，就是特殊與一般的辯證關(guān)系?；仡櫢叩葦?shù)學(xué)推導(dǎo)和發(fā)展的過程，我們不難發(fā)現(xiàn)：每個(gè)概念或者原理的發(fā)展，最初都是通過特殊例子引出的。通過對(duì)特殊例子的詳細(xì)分析，形成一定的抽象，于是便得出了相關(guān)的新的數(shù)學(xué)概念。例如在求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的公式以及求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)等時(shí)，我們的研究和認(rèn)識(shí)過程往往是先研究分析特殊項(xiàng)目，然后運(yùn)用歸納、概括的方法得出一般項(xiàng)。這就是從特殊到一般的過程。

三、運(yùn)動(dòng)與靜止

“一切皆變，無物常住”，這是一個(gè)原始的樸素的世界觀。辯證唯物主義認(rèn)為，世上萬物處于運(yùn)動(dòng)之中，運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，靜止是存在的，但又不是絕對(duì)的靜止，而是相對(duì)的、有條件的靜止。這一原理啟發(fā)我們，“動(dòng)”和“靜”是不能完全割裂的，解題中有時(shí)動(dòng)中求靜，把動(dòng)態(tài)問題暫時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)來觀察、分析，可以獲得成功；有時(shí)卻靜中覓動(dòng)，運(yùn)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來研究，又會(huì)收到事半功倍的效果。

總之，動(dòng)與靜是中國(guó)哲學(xué)史上的一對(duì)重要范疇，關(guān)于兩者關(guān)系的探討，最早見于老子哲學(xué)。他說：“反者，道之動(dòng)；弱者，道之用?！崩献诱J(rèn)為萬事萬物的運(yùn)動(dòng)變化都是循環(huán)反復(fù)的，事物的發(fā)展必然要走到自己的反面，這就是“道”的運(yùn)動(dòng)。誠(chéng)然，老子把靜看成是絕對(duì)的，并不正確，但他看到了動(dòng)和靜之間的關(guān)系不是截然對(duì)立的，而且他是歷史上第一個(gè)辯證揭示動(dòng)靜關(guān)系的思想家。事實(shí)上，對(duì)動(dòng)和靜的辯證把握，正是中國(guó)哲學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)之一。明清之際的思想家王夫之說得十分透徹：“動(dòng)極而靜，靜極而動(dòng)……方動(dòng)即靜，方靜即動(dòng)，靜極含動(dòng)，動(dòng)不舍靜?！眲?dòng)與靜是事物相互依存的兩種狀態(tài)，它們是對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系。同時(shí)運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止是相對(duì)的。

四、近似與精確

高等數(shù)學(xué)中的近似與精確，在哲學(xué)思想中也是一個(gè)矛盾的統(tǒng)一體。雖然是對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，但是在一定程度上也可以互相轉(zhuǎn)化，而這種轉(zhuǎn)化就是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)核所在。在高等數(shù)學(xué)研究過程中，我們經(jīng)常提到的“部分和”、“平均速度”以及“圓內(nèi)接正多邊形面積”等概念，實(shí)質(zhì)上都是一種近似的概念，所運(yùn)用的就是“無窮級(jí)數(shù)和”、“瞬時(shí)速度”、“圓面積”等的近似值，在借助之前我們所分析和闡述的“極限”的概念，這種“近似”就變成了“精確”。

從高等數(shù)學(xué)解決問題的思路出發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)，高等數(shù)學(xué)解決的問題大多屬于非均勻分布或非均勻變化的問題。因此，解決問題的過程較為復(fù)雜，運(yùn)用和使用的公式不是簡(jiǎn)潔和完美的。所以，研究過程應(yīng)該是一個(gè)從有限到無限的過程，從量變到質(zhì)變的過程。這其實(shí)也體現(xiàn)了對(duì)立統(tǒng)一的哲學(xué)思想。

五、高等數(shù)學(xué)與文化的滲透研究

數(shù)學(xué)是一門古老而又年輕的科學(xué)。說它古老，是因?yàn)樗鼩v史悠久，可以追溯到結(jié)繩計(jì)數(shù)時(shí)代；說它年輕，是因?yàn)橹钡浆F(xiàn)在數(shù)學(xué)的發(fā)展也沒有停止過，現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的日新月異與數(shù)學(xué)的發(fā)展密切相關(guān)。

正是大自然中的千變?nèi)f化，影響著我們?nèi)ニ伎己桶l(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)理念和數(shù)學(xué)方式。諸如：大數(shù)學(xué)家歐拉在聽到“哥尼斯堡七橋問題”的故事后得到了一定的啟發(fā)，與其所研究的事物發(fā)生了聯(lián)系，才最終使得現(xiàn)代數(shù)字中拓?fù)鋵W(xué)得到了產(chǎn)生和發(fā)展。而最著名的貝努利也正是受到“滑梯”形式的特點(diǎn)，總結(jié)并提煉出了著名的“最速下降線問題”。由此可見，高度數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到我們生活的方方面面。高等數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展將進(jìn)一步推動(dòng)其他自然學(xué)科的不斷發(fā)展和壯大。

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A

1673-1999（2012）10-0039-03

汪良防，男，泉州經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院（福建泉州362411）講師。

2012-02-12