木 仁，白阿拉坦高娃，崔 巍

（1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.內(nèi)蒙古大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021；3.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024200）

數(shù)學(xué)建模教學(xué)優(yōu)秀教學(xué)案例解析
——交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置與調(diào)度

木 仁1,2，白阿拉坦高娃3，崔 巍1

（1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.內(nèi)蒙古大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021；3.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024200）

隨著全球經(jīng)濟社會的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為了眾多學(xué)科領(lǐng)域中的焦點問題.各種數(shù)學(xué)建模方法的推廣依然成為了數(shù)學(xué)建模教學(xué)的必要環(huán)節(jié).一個優(yōu)秀的數(shù)學(xué)建模案例不僅能夠真實的反映現(xiàn)實問題同時也能多方面體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模方法.交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置與調(diào)度問題是一種較為理想的數(shù)學(xué)建模案例.它不僅能夠從多方面體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模方法、培養(yǎng)學(xué)生們的創(chuàng)新意識，同時也可以推廣到眾多實際問題中應(yīng)用.

Matlab；最短路；線性規(guī)劃；0-1整數(shù)規(guī)劃；非線性規(guī)劃；層次分析方法；擬合

1 引言

隨著計算機軟件功能的拓展，眾多復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模方法均得到了很好的解決[1].同時也有部分典型案例已經(jīng)在實踐當(dāng)中得到廣泛的應(yīng)有.然而，由于眾多非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生及非重點院校學(xué)生們的數(shù)學(xué)建模知識的欠缺及計算機應(yīng)用能力的短板，大部分?jǐn)?shù)學(xué)建模方法均未得到很好的推廣.在解決實際問題時數(shù)學(xué)模型的建立及求解同等重要，只懂得其中的一個往往不能很好的解決實際問題.過去的眾多數(shù)學(xué)研究工作者雖然具備了扎實的數(shù)學(xué)建模理論基礎(chǔ)，但由于計算機編程能力的缺乏不能求解出復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模問題，而新一代的數(shù)學(xué)研究工作者雖然具備了一定的編程技巧，但由于數(shù)學(xué)建模理論知識的欠缺往往不能很好的建立相關(guān)模型.這為眾多數(shù)學(xué)建模教學(xué)工作者提出了新的挑戰(zhàn).今后，應(yīng)該怎樣推廣數(shù)學(xué)建模教育，提高不同專業(yè)學(xué)生的創(chuàng)新意識，特別是非數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生及非重點院校學(xué)生們的數(shù)學(xué)建模能力及求解能力變的尤為重要[2-3].

數(shù)學(xué)建模所涉領(lǐng)域眾多，它不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生們的創(chuàng)新能力，同時也能夠為不同學(xué)科領(lǐng)域創(chuàng)造出的經(jīng)濟社會價值[4].數(shù)學(xué)建模方法多樣，需要掌握的知識點較多[5].怎樣通過數(shù)學(xué)建模的課程將眾多數(shù)學(xué)建模方法傳授給學(xué)生們是數(shù)學(xué)建模教育工作者的所追求的目標(biāo)[6].對于眾多重點院校的學(xué)生來說許多數(shù)學(xué)建模方法都能夠較快的接受.然而，對于非數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生或非重點院校學(xué)生而言數(shù)學(xué)建模方法的傳授卻是十分困難.特別是隨著大范圍的擴招，使得非重點院校根本就不能夠招收具有扎實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生.對于這些學(xué)生，應(yīng)進一步探索傳授數(shù)學(xué)建模方法的方案.其中最為可行的方法就是選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模案例對不同的數(shù)學(xué)建模方法進行全方面的解析.這使得數(shù)學(xué)建模案例的選取變的十分重要.頻繁的引進不同案例必然會導(dǎo)致大部分學(xué)生在短時間內(nèi)難以接受相關(guān)問題.如果能夠通過少數(shù)幾個案例將眾多數(shù)學(xué)建模方法傳授給學(xué)生那是最為理想的.

2011年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置與調(diào)度題目是一個較為理想的數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例.所涉及到的數(shù)學(xué)建模方法包括Matlab作圖，Matlab編程，最短路問題，行遍性問題，計算機模擬，線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，層次分析方法，數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，數(shù)據(jù)擬合，綜合評價等眾多方法.以下對其進行深入的分析討論.

2 問題的提出

由于警務(wù)資源是有限的，如何根據(jù)城市的實際情況與需求合理地設(shè)置交巡警服務(wù)平臺、分配各平臺的管轄范圍、調(diào)度警務(wù)資源是警務(wù)部門面臨的一個實際課題.

試就某市設(shè)置交巡警服務(wù)平臺的相關(guān)情況，建立數(shù)學(xué)模型分析研究下面的問題：

（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區(qū)A的交通網(wǎng)絡(luò)和現(xiàn)有的20個交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置情況示意圖，相關(guān)的數(shù)據(jù)信息見附件2.請為各交巡警服務(wù)平臺分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內(nèi)出現(xiàn)突發(fā)事件時，盡量能在3分鐘內(nèi)有交巡警（警車的時速為60km/h）到達事發(fā)地.

對于重大突發(fā)事件，需要調(diào)度全區(qū)20個交巡警服務(wù)平臺的警力資源，對進出該區(qū)的13條交通要道實現(xiàn)快速全封鎖.實際中一個平臺的警力最多封鎖一個路口，請給出該區(qū)交巡警服務(wù)平臺警力合理的調(diào)度方案.

根據(jù)現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺的工作量不均衡和有些地方出警時間過長的實際情況，擬在該區(qū)內(nèi)再增加2至5個平臺，請確定需要增加平臺的具體個數(shù)和位置.

（2）針對全市（主城六區(qū) A，B，C，D，E，F(xiàn)）的具體情況，按照設(shè)置交巡警服務(wù)平臺的原則和任務(wù)，分析研究該市現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺設(shè)置方案（參見附件）的合理性.如果有明顯不合理，請給出解決方案.

如果該市地點P（第32個節(jié)點）處發(fā)生了重大刑事案件，在案發(fā)3分鐘后接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑.為了快速搜捕嫌疑犯，請給出調(diào)度全市交巡警服務(wù)平臺警力資源的最佳圍堵方案.（具體圖及附件參見網(wǎng)站http://www.mcm.edu.cn中的2011年競賽題目）

3 數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容解析

在上一節(jié)中提出的問題所涉及數(shù)學(xué)建模方法較多.本節(jié)中將對其進行詳細的分析，并指出每一問中可傳授的數(shù)學(xué)建模方法.

數(shù)學(xué)建模方法傳授點之（一）Matlab在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

Matlab軟件因其豐富的工具箱，目前已經(jīng)成為了數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域最為得心應(yīng)手的軟件[7].同時，由于Matlab在處理數(shù)據(jù)時與Excel文檔，TXT文檔及數(shù)據(jù)庫文檔等之間的特殊接口，使得數(shù)學(xué)建模者可以隨心所欲的讀寫和處理各項數(shù)據(jù).在處理數(shù)據(jù)的同時也可將部分內(nèi)容可視化的顯示出來，這使得研究工作者對數(shù)據(jù)有了更為深層次的認識.在數(shù)學(xué)建模時不僅需要將眾多數(shù)據(jù)規(guī)范化，更需要數(shù)據(jù)結(jié)果的可視化，而在這方面Matlab軟件能夠較為簡便的實現(xiàn)具體的目標(biāo).

3.1 數(shù)據(jù)的可視化顯示方法

在題目中給出了各個節(jié)點的相關(guān)信息. 其中通過各節(jié)點的坐標(biāo)，與該點連接的節(jié)點標(biāo)號及節(jié)點是否為交巡警服務(wù)平臺等信息，可將各區(qū)的分布圖顯示出來.此時，主要通過Matlab中的簡單循環(huán)語句及作圖方法即可畫出圖形.其中繪制出的A區(qū)圖形如圖1所示.在A區(qū)中已有20個交巡警服務(wù)平臺，圖1中的圓圈就是20個交巡警服務(wù)平臺.整個城區(qū)圖形及其圍堵方案示意圖如圖2所示.圖2中帶有箭頭的線段指出了圍堵交巡警服務(wù)平臺及出口.

3.2 數(shù)據(jù)的讀寫及處理方法

在進行作圖時需要將已有數(shù)據(jù)讀到Matlab工作區(qū)中使用.具體讀取方法有以下三種：

A 直接將Excel數(shù)據(jù)拷到Matlab中的m文件中，并賦給某一變量；

B 通過Excel的加載宏工具建立Matlab數(shù)據(jù)與Excel數(shù)據(jù)之間的相互讀取功能；

C 通過Matlab中的xlsread函數(shù)將Excel中指定文件讀至Matlab工作區(qū).

圖1 A區(qū)的交通網(wǎng)絡(luò)與平臺設(shè)置的示意圖

圖2 城區(qū)的交通網(wǎng)絡(luò)與平臺設(shè)置的示意圖

3.3 Matlab函數(shù)的編寫與結(jié)果的存儲

在計算節(jié)點與節(jié)點之間的最短路時首先需要計算連接節(jié)點之間的距離.通過，Matlab中已經(jīng)讀入的數(shù)據(jù)及距離函數(shù)可計算獲得連接節(jié)點之間的距離.由于在求解最短路時需要使用該結(jié)果，故需保存該數(shù)據(jù).具體存儲方案有：

A 直接將數(shù)據(jù)保存為全局變量以便隨時進行調(diào)用；

B 通過Matlab與Excel之間的接口將其放置到Excel中；

C 通過Matlab中的xlswrite函數(shù)將數(shù)據(jù)寫入的Excel中.（低版本的Matlab軟件沒有寫入功能，需要使用Matlab7.0及以上版本）

3.4 利用工具箱求解數(shù)學(xué)模型

在Matlab工具箱中包含了眾多數(shù)學(xué)建模現(xiàn)成軟件.其中常用且較容易使學(xué)生們學(xué)會的數(shù)學(xué)建模軟件主要有：

A 線性規(guī)劃Matlab求解函數(shù)linprog：線性規(guī)劃理論[8]在數(shù)學(xué)領(lǐng)域基本趨向于完備化的階段.然而，線性規(guī)劃在實踐當(dāng)中的應(yīng)用仍然沒有得到普及.主要原因在于懂得線性規(guī)劃的研究工作者基本都是科研工作者.很少有研究工作者將其投入到實踐當(dāng)中應(yīng)用.而相反需要用到線性規(guī)劃的人并不知道線性規(guī)劃能夠為其帶來的經(jīng)濟社會價值或根本不可能學(xué)會線性規(guī)劃模型更不用說線性規(guī)劃模型的求解了.

隨著經(jīng)濟社會的發(fā)展，落后或發(fā)展中國家必然將會從勞動密集型轉(zhuǎn)化為技術(shù)進步型.而技術(shù)的進步離不開數(shù)學(xué)建模眾多方法.其中較易普及的便是線性規(guī)劃.毫不夸張的說現(xiàn)如今能夠通過軟件能夠解決復(fù)雜決策問題或不同類型決策問題的人過于缺乏,其中包括眾多教師.那么這一理論及實踐的推廣就可想而知了.從而今后的數(shù)學(xué)教育特別是非重點院校應(yīng)該更加重視學(xué)生們的理論與實踐的結(jié)合及簡單理論的深層次推廣.而不是漫無目的的傳授多種復(fù)雜的理論.但部分教師特別是學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)出身的教師過于迷醉與自己所學(xué)領(lǐng)域的探索，而并未考慮到在當(dāng)今時代本可以盛行的優(yōu)秀數(shù)學(xué)理論及其求解方法的推廣.這也在部分程度上體現(xiàn)了作為大學(xué)數(shù)學(xué)老師所缺乏的各學(xué)科全面發(fā)展的能力.

B 整數(shù)規(guī)劃Matlab求解函數(shù)：在實踐當(dāng)中整數(shù)規(guī)劃的使用率也不比線性規(guī)劃差多少.其中對于大部分決策問題0-1規(guī)劃可能更具實用性.本文中提出的題目即是一個典型的例子.這一例子還可以進一步推廣到管理中心的選擇問題等眾多問題.

在Matlab中0-1整數(shù)規(guī)劃的求解函數(shù)為bintprog.對于普通類型的整數(shù)規(guī)劃可通過線性規(guī)劃函數(shù)的四舍五入的方法獲取.對于不滿足約束條件的特殊情況可進一步對變量進行約束的方法獲取較優(yōu)的可行解.

lingo軟件當(dāng)中可直接通過變量的整數(shù)約束獲取整數(shù)規(guī)劃問題的最優(yōu)解.但lingo軟件的數(shù)據(jù)讀取及處理功能遠不及Matlab軟件.

C 非線性規(guī)劃的Matlab求解：在Matlab中提供了無約束優(yōu)化問題的求解算法.而由于非線性規(guī)劃問題可通過引進輔助函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題.

D 微分方程的Matlab求解：在Matlab中不僅可以對微分方程進行數(shù)值計算，同時也提供了微分方程的符號計算方法.

E 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計描述、分析及模擬方法.

F 回歸、插值與擬合.

數(shù)學(xué)建模方法傳授點之（二）最短路問題及行遍性問題

為了給各個交巡警服務(wù)平臺分配管轄范圍，需要計算各個節(jié)點之間的最短距離.由于已經(jīng)得知了與每個節(jié)點連接的節(jié)點標(biāo)號及連接節(jié)點之間的距離，故根據(jù)Dijkstra算法可獲得某一頂點至各個節(jié)點的最短距離的同時也可通過Floyd算法獲得每個節(jié)點之間的最短距離.算法的具體思想及方法參見參考文獻[5].

交巡警不僅需要對管轄范圍內(nèi)的案件進行快速的處理，同時為了避免案件的發(fā)生也需要對管轄范圍內(nèi)進行定期的巡邏,而這一問題正是數(shù)學(xué)建模方法中的行遍性問題.

目前隨著網(wǎng)購熱潮的興起，大部分快遞公司急需懂得快件的投放及管理的人才.在這一過程中管理者必需懂得最短路問題及行遍性問題方能更加全面快捷的投遞快件.因此將部分?jǐn)?shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生培養(yǎng)為該方面的人才是一個較好的出路.

數(shù)學(xué)建模方法傳授點之（三）線性規(guī)劃問題

在不考慮交巡警服務(wù)平臺的工作量的前提下，各個交巡警服務(wù)平臺分配管轄范圍的確定問題歸結(jié)為每個節(jié)點與服務(wù)平臺之間的距離的最小化問題.在得知各個節(jié)點之間的最短距離的前提下只需通過Matlab循環(huán)語句就可以通過逐個比對分配管轄方法.

除了上述分配管轄范圍的方法之外，還可以0-1建立線性規(guī)劃模型對其進行求解.由于為各個交巡警服務(wù)平臺分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內(nèi)出現(xiàn)突發(fā)事件時，盡量能在三分鐘內(nèi)有交巡警到達事發(fā)地，這一問題等價于為各個交巡警服務(wù)平臺分配管轄范圍，使得從交巡警服務(wù)平臺到各個節(jié)點的距離總合最短的問題.從而，可建立如下0-1整數(shù)規(guī)劃模型：

上式中xij表示第j個節(jié)點是否屬于第i個交巡警服務(wù)平臺的管轄范圍，如果屬于則xij=1，否則xij=0.約束條件表示第j個節(jié)點必須屬于某一交巡警平臺管轄范圍.dij表示第i個節(jié)點到第j個節(jié)點的最短距離.

對于重大突發(fā)事件，需要調(diào)度全區(qū)20個交巡警服務(wù)平臺的警力資源，對進出該區(qū)的13條交通要道實現(xiàn)快速全封鎖.實際中一個平臺的警力最多封鎖一個路口，請給出該區(qū)交巡警服務(wù)平臺警力合理的調(diào)度方案.該問題轉(zhuǎn)化為在20個交巡警服務(wù)平臺中選出13個交巡警服務(wù)平臺，使得該13個服務(wù)平臺到13條交通要道之間的距離總合最短.從而針對這一問題建立如下0-1規(guī)劃模型

上式中ddij表示城區(qū)A中第i個交巡警服務(wù)平臺到第j條交通要道的出口節(jié)點之間最短距離.約束條件表示第j個出口必須由某一交巡警服務(wù)平臺所封鎖；表示第i個交巡警服務(wù)平臺至多封鎖一個出口.

同理如果該市地點P（第32個節(jié)點）處發(fā)生了重大刑事案件，在案發(fā)3分鐘后接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑.為了快速搜捕嫌疑犯，需給出調(diào)度全市交巡警服務(wù)平臺警力資源的最佳圍堵方案.該問題等價于80個交巡警服務(wù)平臺對17個出口的圍堵問題，為了盡快進行圍堵，需要讓圍堵時所行使的路線長度總和最小化，從而可建立出如下0-1規(guī)劃模型：

上式中dddij表示第i個交巡警服務(wù)平臺至第j個出口的最短距離，ddddj表示第32節(jié)點至第j個出口的最短距離.約束條件dddijzij+3000≤ddddj表示第i個交巡警服務(wù)平臺如果封鎖第j個出口，則第i個交巡警服務(wù)平臺到第j個出口之間的距離再加上3分鐘的行駛時間3000m后的距離要小于等于案發(fā)現(xiàn)場到第j個出口的距離.其它約束條件的解釋與（2）式類似.

上述三個0-1整數(shù)規(guī)劃模型并不復(fù)雜. 但由于數(shù)據(jù)量較大，很難通過人工輸入系數(shù)矩陣.因此，必需借助計算機工具計算出各個最短距離，然后通過算法生成各個系數(shù)矩陣.其中存在著大量的稀疏矩陣，通過循環(huán)語句可以較快生成.

如果利用Lingo等線性規(guī)劃軟件進行求解，不僅在數(shù)據(jù)的讀寫方面存在較多問題，且隨著變量個數(shù)的提高短時間內(nèi)難以計算獲得最終結(jié)果.

數(shù)學(xué)建模方法傳授點之（四）非線性規(guī)劃問題通過模型（1）分配出來的各個交巡警服務(wù)平臺的工作量并不均衡，每個交巡警服務(wù)平臺的總發(fā)案率為

為使各個交巡警服務(wù)平臺的工作量均衡，需要調(diào)整各個交巡警服務(wù)平臺所管轄的節(jié)點或節(jié)點個數(shù)，使得每一個服務(wù)平臺的案發(fā)率盡量接近發(fā)案率平均值，即與發(fā)案率平均值之間的差距總和最小化，同時必須滿足與交巡警服務(wù)平臺之間的距離小于3000m（即3分鐘內(nèi)能夠到達案發(fā)現(xiàn)場），從而建立如下模型：

該模型等價于

上述模型為二次規(guī)劃模型，通過Matlab中的quadprog函數(shù)加以求解，但quadprog函數(shù)只能求解一般情形下的二次規(guī)劃，不能求解決策變量為0-1的二次規(guī)劃.因此模型（4）和模型（5）還需要尋求相關(guān)非線性規(guī)劃理論求解方法[9].

數(shù)學(xué)建模方法傳授點之（五）數(shù)學(xué)模型的可行求解方法

由于模型（5）是一個0-1二次規(guī)劃模型，因此當(dāng)變量的個數(shù)相對較少時完全可以通過窮舉法及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法加以求解.

由于通過最短距離容易得知與交巡警服務(wù)平臺距離小于3000m的所有節(jié)點.從而模型（5）可利用人工分配的方法加以求解.但該方法只能近似獲得最優(yōu)解.

在求解模型（5）時可獲得每個節(jié)點的最優(yōu)分配方案（將節(jié)點分配給距離最近的交巡警服務(wù)平臺）.但這必然會讓部分交巡警服務(wù)平臺的工作量過高或過低.此時，可設(shè)定每個交巡警服務(wù)平臺工作量的上線，然后逐一將各個節(jié)點分配出去.在分配過程中可根據(jù)最優(yōu)分配方案及次優(yōu)分配方案的差距分配各個節(jié)點.

數(shù)學(xué)建模方法傳授點之（六）層次分析方法

在評價交巡警服務(wù)平臺設(shè)置的合理性時，決策者需要考慮眾多因素.不同因素在不同程度上影響著交巡警服務(wù)平臺設(shè)置的合理性.同時每一個因素又受到相應(yīng)子因素的影響.在確定各個指標(biāo)權(quán)重時需要利用層次分析方法來確定.

利用Matlab不僅可以較簡單的計算出各個特征值及特征向量，同時還可以用較簡單的算法確定各個指標(biāo)的權(quán)重.相對其它眾多軟件Matlab是一個較好的層次分析方法權(quán)重確定軟件.

數(shù)學(xué)建模方法傳授點之（七）擬合

在確定交巡警服務(wù)平臺平均應(yīng)承擔(dān)的報警次數(shù)時需要考慮城區(qū)面積、城區(qū)人口及單位面積人口數(shù)量之間的關(guān)系.城區(qū)面積相對穩(wěn)定，但城區(qū)面積將隨著城市的經(jīng)濟社會發(fā)生改變.從而需要通過以往數(shù)據(jù)計算擬合[10]出交巡警服務(wù)平臺平均應(yīng)承擔(dān)的報警次數(shù)與城區(qū)面積、城區(qū)人口及單位面積人口數(shù)量之間的關(guān)系.

4 結(jié)論

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽已經(jīng)成功舉辦了20年.在這二十年期間數(shù)學(xué)建模雖然得到了一定的推廣，但數(shù)學(xué)建模的教學(xué)工作有待提高.特別是對非重點院校及非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的教學(xué)工作更需加強.數(shù)學(xué)建模的教學(xué)工作的提高應(yīng)優(yōu)先從教師做起.只有教師的數(shù)學(xué)建模能力提高的一定水平才能夠推動數(shù)學(xué)建模教育.而一個優(yōu)秀的數(shù)學(xué)建模實例，必將為教師及學(xué)生們的數(shù)學(xué)建模能力的提高起到至關(guān)重要的作用.交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置問題是一個較好的數(shù)學(xué)建模實例.且該題目可以進一步推廣到廠址的選擇問題，管理中心的確定問題等眾多熱點問題中.

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O29

A

1673-260X（2012）05-0017-05

內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學(xué)基金項目（批準(zhǔn)號：2011MS1002）；內(nèi)蒙古大學(xué)“211工程”創(chuàng)新人才培養(yǎng)項目資助