楊 斌，劉惠康，代文蕤

YANG Bin1, LIU Hui-kang2, DAI Wen-rui3

(1.成都理工大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，樂山 614007；2.武漢科技大學(xué)，武漢 430080；3.武鋼冷軋硅鋼片廠 吊車車間，武漢 430080)

0 引言

橋式起重機(jī)作為一種現(xiàn)代搬運(yùn)機(jī)械，是現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)和起重運(yùn)輸中實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)過程機(jī)械化、自動(dòng)化的重要設(shè)備。它廣泛地應(yīng)用于室內(nèi)外工礦企業(yè)、鋼鐵化工、鐵路交通、港口碼頭以及物流周轉(zhuǎn)等部門和場所從事空中吊運(yùn)和裝卸任務(wù)。由于起重機(jī)在運(yùn)行過程中，吊物因慣性或受到外部干擾（如：大、小車的加減速、起動(dòng)和停車、風(fēng)力）等影響，會(huì)使得吊物離開原有的平衡位置產(chǎn)生很大的擺動(dòng)。這種擺動(dòng)不僅使得吊物的裝卸難以定位，降低了生產(chǎn)效率，而且還對周圍的吊裝人員和設(shè)備帶來嚴(yán)重的安全隱患。因此在生產(chǎn)實(shí)際中橋式起重機(jī)往往是由經(jīng)驗(yàn)豐富的專職司機(jī)人工操作。本文分析了橋式起重機(jī)在三維空間中的數(shù)學(xué)模型的仿真結(jié)果后，提出采用線性二次型最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器技術(shù)構(gòu)造一跟蹤控制器，以實(shí)現(xiàn)吊物的精確定位和消除游擺。

1 起重機(jī)三維動(dòng)力學(xué)模型

一般地，要獲得橋式起重機(jī)在三維空間中的數(shù)學(xué)模型是比較困難的。大、小車的位移，吊物的擺角以及吊物的起升高度都是隨時(shí)間和場地情況而變化的。因此在很多參考文獻(xiàn)中都只考慮了小車這一個(gè)運(yùn)動(dòng)平面，且鋼絲繩的長度為某一定值時(shí)的這一簡化情況。然而在生產(chǎn)實(shí)際中，為提高生產(chǎn)效率，通常大、小車的運(yùn)動(dòng)是同時(shí)進(jìn)行的，因此有必要研究橋式起重機(jī)在三維空間中的動(dòng)力學(xué)模型。

圖1 橋式起重機(jī)工作示意圖

圖1中已經(jīng)對橋式起重機(jī)在三維坐標(biāo)下，某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行了受力分析。其中fy和fx分別是大、小車所受的牽引力；mg為吊物的重力；l為鋼絲繩的長度；β和α分別為大、小車運(yùn)動(dòng)過程中吊物在x-o-z和y-o-z投影面上的投影產(chǎn)生的偏角；(x1,y1,z1)是吊物在三維坐標(biāo)系中的位置。

設(shè)起重機(jī)在運(yùn)動(dòng)過程中某一時(shí)刻小車在空間中的坐標(biāo)為(x,y,0)，于是有：

由分析可知，本系統(tǒng)總的動(dòng)能T為大、小車動(dòng)能和吊物動(dòng)能的三者之和，所以T可以表示為：

其中Fj為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)qj下的廣義力。在忽略摩擦阻力，并充分考慮小擺角(不超過10°)時(shí)，可對角度進(jìn)行如下近似處理：sinα≈α，sinβ≈β，cosα≈1，cosβ≈1，sinαsinβ≈0，將(1)式和(2)式代入方程(3)，整理后可得如下方程組：

由方程組(5)和(6)，大、小車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下所示。

現(xiàn)有QD型10噸雙梁橋式起重機(jī)的具體參數(shù)如表1所示。

將表1中的參數(shù)代入方程(7)和(8)，并考慮輸出方程可得如下狀態(tài)空間表達(dá)式：

表1 QD-10雙梁橋式起重機(jī)主要參數(shù)

2 系統(tǒng)開環(huán)仿真分析

由于大、小車運(yùn)動(dòng)方程式實(shí)際上在y軸和x軸上已完全解耦，所以可以單獨(dú)對大、小車的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性分別進(jìn)行分析。以小車情況為例，分析結(jié)果如下：

根據(jù)李雅普諾夫第一法，方程(9)中系統(tǒng)矩陣的4個(gè)特征值0、0、±j2.2091全部位于虛軸上，小車系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是非漸近穩(wěn)定的。對小車開環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，其仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 小車開環(huán)控制時(shí)的動(dòng)態(tài)過程

仿真結(jié)果表明，在開環(huán)狀態(tài)下，小車的位移不斷增大，而重物的擺角呈無阻尼振蕩。這樣一種動(dòng)態(tài)過程顯然是不能滿足實(shí)際控制要求的。類似的仿真結(jié)果在大車開環(huán)控制系統(tǒng)上也能夠獲得，這里不再一一贅述。

3 防擺控制器的設(shè)計(jì)

橋式起重機(jī)防擺控制問題實(shí)際上是一個(gè)跟蹤控制問題，其控制目標(biāo)是保證系統(tǒng)的輸出量無靜差地跟蹤外部給定的輸出量 。因此該問題很容易地能夠轉(zhuǎn)化為線性二次型最優(yōu)輸出跟蹤控制問題，即設(shè)計(jì)一個(gè)最優(yōu)輸出跟蹤器。

對于橋式起重機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(9)和(10)，考慮性能指標(biāo)函數(shù)：

其中，e(t)= (t)-yr(t)為實(shí)際輸出量y(t)對給定輸出量yr(t)的跟蹤誤差。于是系統(tǒng)的輸出跟蹤器的最優(yōu)控制規(guī)律為：

其中u1(t)為狀態(tài)反饋控制；u2(t)為yr(t)驅(qū)動(dòng)的控制作用；P矩陣滿足如下代數(shù)黎卡提方程：

而待定向量ξ為：

針對小車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程式(9)，分別取R=1，Q=5×107；應(yīng)用MATLAB可以方便地求解上述黎卡提方程，并計(jì)算出狀態(tài)反饋矩陣K和輸入控制矩陣Ky。

此時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為：－0.2962±2.1765i，－0.5625±0.7397i。應(yīng)用Simulink對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行仿真，并設(shè)置仿真初值為：

當(dāng)給定輸入信號為u=10時(shí)，小車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 小車系統(tǒng)最優(yōu)輸出跟蹤器的動(dòng)態(tài)過程

以上的仿真結(jié)果表明，按照線性二次型最優(yōu)輸出跟蹤控制設(shè)計(jì)的橋式起重機(jī)防擺控制器完全能夠滿足任務(wù)要求，即小車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在吊物的初始擺角α=0.1rad時(shí)，從初始值1m的地方運(yùn)動(dòng)到終止值10m的地方，小車能夠在17秒鐘內(nèi)運(yùn)動(dòng)到終值，并且位移和擺角所產(chǎn)生超調(diào)完全在控制范圍以內(nèi)。這充分說明了最優(yōu)輸出跟蹤器能夠使得小車精確地停車并有效地消除吊鉤的游擺。類似的仿真結(jié)果在大車運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)上同樣能夠獲得。

4 結(jié)論

本文詳細(xì)地闡述了橋式起重機(jī)在三維空間下的建模方法、開環(huán)狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)特性以及最優(yōu)輸出跟蹤器的設(shè)計(jì)原理和它的動(dòng)態(tài)過程仿真及分析。由于橋式起重機(jī)被廣泛地應(yīng)用于冶金工業(yè)的各個(gè)領(lǐng)域，因此其鉤頭或吊物的精確定位和消除停車后鉤頭或吊物的游擺對提高生產(chǎn)效率、解放勞動(dòng)力有著深遠(yuǎn)的意義。本文中所論述的最優(yōu)輸出跟蹤器的防擺控制解決方案，其仿真結(jié)果表明該方案可以獲得滿意的控制效果，能夠安全、快速地實(shí)現(xiàn)了橋式起重機(jī)的定位和消除吊物的游擺，且算法簡單、易于實(shí)現(xiàn)橋式起重機(jī)的無人化遠(yuǎn)程控制。

[1]YangBin,XiongBin.Application of LQR techniques to the anti-sway controller of overhead crane[J].Advanced materials research,2010,139-141:1933-1936.

[2]Li Maoqing.Controller design for 2-DOF under actuated mechanical systems based on controlled Lagrangians and application to the Acrobot control[J].Frontiers of Electrical and Electronic Engineering in China,2009,4(4):417-439.

[3]Nenad Muskinja,Boris Tovornik.Swing up and stabilization of a real inverted pendulum[J].IEEE Trans on Industrial Electronics,2006,53(2):631-639.

[4]Han B,Lin X G.Adapt steady state Kalman gain using the normalized autocorrelation of innovations[J].IEEE Signal Processing Letters,2005,12(11):780-783.

[5]Hou M.Controllability and Elimination of Impulsive Modes in Descriptor Systems[J].IEEE Trans on Automatic Control,2004,49(10):1723-1727.

[6]Masoud Z N,Nayfeh A H,AI-Mousa A.Delayed Position-Feedback Controller for the Reduction of Payload Pendulations of Rotary Cranes[J].Journal of Vibration and Control,2003,9(3-4):257-277.

[7]Omar H M,Nayfeh A H.Gain Scheduling Feedback Control for Tower Cranes[J].Journal of Vibration and Control,2003,9(3-4):399-4l8.

[8]Al-mousa A,Nayfeh A H,Kachroo P.Control of Rotary Cranes Using Fuzzy Logic[J].Shock and Vibration,2003,10(2):81-95.

[9]Jin Ho SUH, Jin Woo Lee,Young Jin Lee.Antisway control of an ATC using NN predictive PID control[C].Proceedings of the 30th annual conference of the IEEE industrial electronics society,Busan,Korea,2004,3:2998 -3003.

[10]G B Kang,Y B Kim,S B An.A new approach to antisway system design for a container crane[C].Proceedings of SICE annum conference,Fukui:SICE Press,2003,2289-2291.

[11]王留芳,曹玲芝,牛超.基于變指數(shù)趨近律的起重機(jī)自適應(yīng)滑模控制[J].自動(dòng)化儀表,2010,8:1-4.

[12]曾昭龍,田凱.艦載特種起重機(jī)軌跡跟蹤吊重防擺控制[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào),2005,26(4):457-461.