高立龍，王新晴，蔣文峰

（解放軍理工大學工程兵工程學院，南京 白下 210007）

循環(huán)平穩(wěn)信號分析方法作為一個嶄新的信號處理工具，利用信號本身的周期時變特征來揭示分析對象的特征信息，具有較強的解調(diào)能力。最近幾年，循環(huán)平穩(wěn)理論已經(jīng)成為機械狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷領(lǐng)域的熱門研究對象，并取得了不少的成果。在工程實際中大量的循環(huán)平穩(wěn)信號，如汽車發(fā)動機的振動信號、汽車傳動軸運轉(zhuǎn)振動信號等均具有循環(huán)平穩(wěn)特性。

根據(jù)循環(huán)譜分析理論我們知道，循環(huán)自相關(guān)函數(shù)對于單分量信號具有較好的解調(diào)能力，但對多分量信號進行循環(huán)自相關(guān)函數(shù)分析時會引入交叉項，出現(xiàn)虛假頻率，影響能量的分布，難以判斷信號中的真實成分。

本文利用EMD方法將多分量信號分解為物理意義明確的一系列本征模式函數(shù)（IMF）之和，對這些IMF分量進行循環(huán)自相關(guān)分析，然后再將分析結(jié)果相加，得到循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的累加圖，可消除交叉項干擾。

1 循環(huán)自相關(guān)函數(shù)對多調(diào)制信號解調(diào)能力分析

設(shè)信號 x（t）包含兩個加性調(diào)幅信號，即：x（t）=x1（t）+x2（t）

式中各參數(shù)的意義與上面相同。其時變自相關(guān)為：

則根據(jù)循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的定義【2】，可得：

因此信號 x（t）的循環(huán)自相關(guān)函數(shù) Rxα（τ）由四部分組成，即 x1（t）的循環(huán)自相關(guān)函數(shù) Rx1α（τ）、x2（t）的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)Rx2α（τ）、x1（t）和的循環(huán)互相關(guān)函數(shù) Rx1x2α（τ）、Rx2x1α（τ）。

當上述兩個加性調(diào)幅信號 x1（t）和 x2（t）之間嚴格獨立時，兩者之間的循環(huán)互相關(guān)函數(shù) Rx1x2α（τ）、Rx2x1α（τ）為零，此時 Rxα（τ）=Rx1α（τ）+Rx2α（τ）。 然而由于 x1（t）和 x2（t）之間的相關(guān)性事先并不能獲知，一般情況下兩者并不嚴格獨立，因此兩者之間的循環(huán)互相關(guān)函數(shù) Rx1x2α（τ）、Rx2x1α（τ）一般不為零，故 Rxα（τ）≠Rx1α（τ）+Rx2α（τ），此時就產(chǎn)生了交叉干擾項 Rx1x2α（τ）+Rx2x1α（τ）。

產(chǎn)生交叉項的原因在于，循環(huán)自相關(guān)函數(shù)是二次型變換，當信號包含多個加性或耦合的調(diào)制信號時，對其求解循環(huán)自相關(guān)函數(shù)時會不可避免地產(chǎn)生交叉項。交叉項的存在影響了正常的信號分布，且引入了難以解釋的各種干擾頻率，這就為信號的進一步分析帶來了困難。

為了解決這個問題，本文提出基于經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）處理方法。根據(jù)經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）的思想，我們可以自適應(yīng)地將多分量信號分解成一系列本征模式函數(shù)（IMF）分量之和，然后對各IMF分量進行分析。

基于經(jīng)驗?zāi)Ｊ剑‥MD）分解消除循環(huán)自相關(guān)中的交叉項的算法步驟為：

（1）將信號進行EMD分解，得到一系列的本征模式函數(shù)（IMF）分量。

（2）計算各個IMF分量的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)；

（3）將計算得到的各IMF分量的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的結(jié)果進行累加，就可以避免交叉項的產(chǎn)生，得到原信號的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)。

下面分別對單分量和多分量信號進行仿真分析，驗證循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的解調(diào)能力，考察EMD算法抑制交叉項的能力。

2 信號仿真實例

例1.設(shè)信號x（t）包含有兩個加性調(diào)幅信號，即：

式中，f1a=100Hz，f1b=13Hz，f2a=250Hz，f2b=30Hz。 采樣頻率fs=2000Hz，采樣點數(shù) N=2048。

圖1為信號 x（t）的時域圖，圖 2為 x（t）的時延為 0時的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)。從圖2可以看出，在低頻區(qū)域分離出調(diào)制頻率及其二倍頻，高頻區(qū)域分離出兩個載波頻率的二倍頻及與調(diào)制頻率相關(guān)的邊頻。在圖2中除了分離出的與信號載波頻率和調(diào)制頻率相關(guān)的信息外，還出現(xiàn)了大量的難以解釋的頻率成分，例如出現(xiàn)了150Hz、350Hz為中心的頻帶，顯然是對信號計算循環(huán)自相關(guān)函數(shù)時引入的交叉項，它們的出現(xiàn)對判斷信號的載波頻率和調(diào)制頻率造成了嚴重的干擾。

圖1 信號時域圖

圖2 信號的時延為0時的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)圖

現(xiàn)對例2中的多分量信號進行EMD分解，對各IMF分量進行循環(huán)自相關(guān)分析，求出循環(huán)自相關(guān)函數(shù)累加圖，并進行比較。

信號經(jīng)過EMD分解后可以得到2個IMF分量和1個殘余分量，圖3所示的是第一個IMF分量IMF1的時域圖，圖4顯示的是第二個IMF分量IMF2的時域圖，圖5所示的是分解后的殘余分量的時域波形圖。分別對IMF1、IMF2分量進行循環(huán)自相關(guān)分析，得到IMF1和IMF2的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)值，如圖6、圖7所示，在圖6中循環(huán)頻率包括0Hz、±30Hz、±60Hz、±500Hz、±(500±300)Hz、±(500±600)Hz，低頻部分表示信號 x1（t）的調(diào)制頻率及其 2 倍頻，高頻部分表示 x1（t）的載波頻率的2倍頻以及以此為中心，與調(diào)制頻率相關(guān)的邊頻帶。圖7中循環(huán)頻率包括 0Hz、±13Hz、±26Hz、±200Hz、±(200±13)Hz、±(200±26)Hz，低頻部分表示信號 x2（t）的調(diào)制頻率及其 2 倍頻，高頻部分表示x2（t）的載波頻率的2倍頻以及以此為中心，與調(diào)制頻率相關(guān)的邊頻帶。圖6、圖7表明經(jīng)過信號EMD分解后得到的IMF1分量和IMF2分量就對應(yīng)于信號x1（t）和x2（t）。圖8為IMF1和IMF2分量的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)值的累計值，對比圖2和圖8可以發(fā)現(xiàn)，多分量信號經(jīng)過EMD分解后的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)值沒有出現(xiàn)交叉項，這也就說明EMD分解方法能夠有效地去除循環(huán)自相關(guān)函數(shù)中的交叉項問題。

圖3 IMF1分量的時域圖

圖4 IMF2分量的時域圖

圖5 殘余分量的時域圖

圖6 IMF1分量的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)圖

圖7 IMF2分量的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)圖

圖8 IMF1、IMF2循環(huán)自相關(guān)函數(shù)累加圖

3 結(jié)語

仿真實例表明，基于經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）的方法能夠有效的解決循環(huán)自相關(guān)函數(shù)在多分量信號解調(diào)中的缺陷，從根本上解決了交叉項干擾的問題。

[1]JIANG Ming,Chen Jin.Comparison between Cyclic Statistics and Envelope Demodulation.Journal of Shanghai University(English Edition)，2004，8(2):193-198.

[2]陳進，姜鳴.高階循環(huán)統(tǒng)計量理論在機械故障診斷中的應(yīng)用[J].振動工程學報，2001，（2）.

[3]李力，屈梁生.二階循環(huán)統(tǒng)計量在機械故障診斷中的應(yīng)用[J].西安交通大學學報，2002，（9）.