徐 寶，姜玉秋，滕 飛

1 預(yù)備知識(shí)

產(chǎn)品可靠性是產(chǎn)品壽命指標(biāo)的總稱，它反映一個(gè)產(chǎn)品在規(guī)定時(shí)間和規(guī)定條件下完成規(guī)定功能的能力。在現(xiàn)代實(shí)際生產(chǎn)中，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，許多產(chǎn)品都要求有很高的可靠性指標(biāo)，產(chǎn)品的可靠性越來(lái)越受到人們的重視。因此，必須對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行可靠性測(cè)試，以此來(lái)弄清楚被試產(chǎn)品的壽命、求出各項(xiàng)可靠性指標(biāo)以及研究產(chǎn)品的失效機(jī)理，從而為提高產(chǎn)品的可靠性提出建議。如果對(duì)產(chǎn)品的測(cè)試手段是成敗型試驗(yàn)(如脈沖、振蕩等沖擊試驗(yàn))，那么該產(chǎn)品的壽命是以成敗次數(shù)來(lái)衡量的。在測(cè)試產(chǎn)品壽命的研究中Pascal分布起著重要的作用，因此對(duì)Pascal分布的可靠性分析具有理論價(jià)值和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在貝努里試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為θ(也稱其為可靠度)，失敗的概率為1-θ，試驗(yàn)進(jìn)行到r次失敗為止，那么所需要的試驗(yàn)總次數(shù)X為服從參數(shù)為r,?θ的 Pascal分布的隨機(jī)變量，其分布律為：

其中，θ為產(chǎn)品的可靠度函數(shù)，簡(jiǎn)稱可靠度，?0＜θ＜1；x=r,r+1,r+2,…。在對(duì)產(chǎn)品可靠性測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，對(duì)產(chǎn)品失效個(gè)數(shù)大于2個(gè)的情形，已經(jīng)有許多成熟的統(tǒng)計(jì)方法對(duì)其進(jìn)行處理，但在現(xiàn)代生產(chǎn)中，產(chǎn)品可靠性的逐漸提高，產(chǎn)品失效機(jī)理也受到某些限制，從而導(dǎo)致試驗(yàn)截止時(shí)無(wú)產(chǎn)品失效或只有一個(gè)產(chǎn)品失效(即單失效)的現(xiàn)象經(jīng)常在小樣本的試驗(yàn)中出現(xiàn).對(duì)無(wú)失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，一些學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了廣泛的研究[1～3]，得到了許多理論與方法，但對(duì)單失效數(shù)據(jù)進(jìn)行研究的統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)卻并不多見。本文將在Bayes框架下，用參數(shù)估計(jì)方法研究單失效數(shù)據(jù)情形出現(xiàn)時(shí)壽命產(chǎn)品可靠度的估計(jì)問(wèn)題。

單失效數(shù)據(jù)模型[4]具體描述如下：假設(shè)對(duì)某壽命產(chǎn)品進(jìn)行定時(shí)截尾試驗(yàn)，試驗(yàn)樣品個(gè)數(shù)為n，測(cè)試時(shí)間分別為0＜t1＜t2＜…＜tk，如果在整個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中只有一個(gè)樣品在區(qū)間(tm-1,tm)內(nèi)失效(這里1≤m≤k)，而其它樣品均未發(fā)生失效，那么就可以得到單失效數(shù)據(jù)模型：(si,ri,ti)，這里si和ri是ti時(shí)刻樣品的參試個(gè)數(shù)和失效個(gè)數(shù)，易知當(dāng)i≤m-1時(shí)有ri=0，當(dāng)i＞m-1時(shí)有ri=1，并且s1＞s2＞…＞sk.

統(tǒng)計(jì)推斷中的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，一般都是在給定損失函數(shù)下進(jìn)行的.對(duì)壽命服從Pascal分布的產(chǎn)品的可靠度，一些學(xué)者在平方損失函數(shù)、熵?fù)p失函數(shù)以及LINEX損失函數(shù)等損失函數(shù)下對(duì)其Bayes估計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究.本文將使用加權(quán)p,q對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)[5]

研究單失效數(shù)據(jù)情形出現(xiàn)時(shí)壽命產(chǎn)品可靠度的Bayes估計(jì)問(wèn)題.這里δ是待估參數(shù)θ的估計(jì)量。

2 單失效數(shù)據(jù)情形下壽命產(chǎn)品可靠度的Bayes估計(jì)

這一部分在Bayes框架下，利用損失函數(shù)(2)來(lái)研究單失效數(shù)據(jù)情形下Pascal分布(1)的可靠度θ的估計(jì)，其中包括Bayes估計(jì)、多層Bayes估計(jì)以及E-Bayes估計(jì)，分別由下面定理給出。

定理1令隨機(jī)變量X服從Pascal分布(1)，在損失函數(shù)(2)下，對(duì)任何先驗(yàn)分布，單失效數(shù)據(jù)情形下可靠度θ的Bayes估計(jì)為

證明：令δ(X)為單失效數(shù)據(jù)情形下可靠度θ的任一估計(jì)量，在損失函數(shù)(2)下，有δ(X)對(duì)應(yīng)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)：上式左端E表示關(guān)于θ與樣本x的聯(lián)合分布取期望。要想得到θ的Bayes解，只須關(guān)于δ極小化 E(θppδp(X)+δq(X)/qθq-2|X)即可，容易知道是其唯一最小值點(diǎn)，從而得到θ的Bayes估計(jì)為

下面考慮在給定先驗(yàn)分布π1(θ)后，單失效數(shù)據(jù)下可靠度θ的Bayes估計(jì)的精確形式及其性質(zhì)。

定理2若可靠度θ的先驗(yàn)分布π1(θ)為貝塔分布，(其中a＞0,?b＞0為超參數(shù)，B(a,b)=∫01ta-1(1-t)b-1d t為Beta函數(shù))，則在單失效數(shù)據(jù)情形下，可靠度θ基于損失函數(shù)(2)的Bayes估計(jì)為：

并且是θ的可容許估計(jì)。

證明：在單失效數(shù)據(jù)情形下，可靠度θ的似然函數(shù)為L(zhǎng)(θ|x)=θx-1(1-θ)，于是θ的后驗(yàn)分布密度為：

由于可靠度θ的Bayes估計(jì)的精確形式中含有貝塔先驗(yàn)分布中的超參數(shù)a和b，若對(duì)超參數(shù)再給出一個(gè)先驗(yàn)，稱之為超先驗(yàn)，由先驗(yàn)和超先驗(yàn)決定的一個(gè)新先驗(yàn)就稱為多層先驗(yàn)。本文應(yīng)用文[6]的結(jié)果，取超參數(shù)a的先驗(yàn)π2(a)為U(1,c)，其中2≤c≤6，超參數(shù)b的先驗(yàn)π2(b)為U(0,1)，并假設(shè)兩個(gè)超參數(shù)a和b獨(dú)立，則θ的多層先驗(yàn)密度為：

定理3在多層先驗(yàn)密度(3.1)下，單失效數(shù)據(jù)下可靠度θ的多層Bayes估計(jì)為：

證明：易知θ的后驗(yàn)密度為：

于是

從而在損失函數(shù)(2)下，單失效數(shù)據(jù)下可靠度θ的多層Bayes估計(jì)為:

可靠度θ的多層Bayes估計(jì)是對(duì)先驗(yàn)分布中的參數(shù)給出超先驗(yàn)分布后得到的多層先驗(yàn)分布下計(jì)算出來(lái)。對(duì)于先驗(yàn)分布中的參數(shù)，一些文獻(xiàn)也把它看成是可靠度θ的Bayes估計(jì)中的參數(shù)，給定它們的先驗(yàn)分布后，可以對(duì)可靠度θ的Bayes估計(jì)計(jì)算在該先驗(yàn)分布下的數(shù)學(xué)期望，即可靠度θ的E-Bayes(expected Bayes estimation)估計(jì)[7]。下面研究在損失函數(shù)(2)下，單失效數(shù)據(jù)下可靠度θ的E-Bayes估計(jì)。

定理4若可靠度θ的貝塔先驗(yàn)密度Beta(a,?b)中的超參數(shù)a和b的先驗(yàn)分別為U(1,c)(其中c是常數(shù))和U(0,1)，并且a和b獨(dú)立，則單失效數(shù)據(jù)下可靠度θ的E-Bayes估計(jì)為：

證明：由于超參數(shù)a的先驗(yàn)π2(a)為U(1,c)，超參數(shù)b的先驗(yàn)π2(b)為U(0,1)，由a和b獨(dú)立，從而有a和b的聯(lián)合先驗(yàn)密度，其定義區(qū)域?yàn)镈=(1,c)×(0,1)。由定理2知單失效數(shù)據(jù)下可靠度θ在貝塔分布Beta(a,?b)下基于損失函數(shù)(1.2)的Bayes估計(jì)為：

于是可靠度θ的E-Bayes估計(jì)為：

3 結(jié)束語(yǔ)

本文基于Pascal分布在加權(quán)p,q對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)研究了單失效數(shù)據(jù)下可靠度θ的Bayes估計(jì)問(wèn)題，在Beta(a,?b)先驗(yàn)分布下得到了θ的Bayes估計(jì)，又在給定超參數(shù)先驗(yàn)分布下分別得到了θ的多層Bayes估計(jì)以及E-Bayes估計(jì)。盡管這些估計(jì)的形式中都含有積分運(yùn)算，但由于本文使用的損失函數(shù)中有兩個(gè)待定常數(shù)p,q，可以通過(guò)選擇合適的p,q的值簡(jiǎn)化計(jì)算以及得到穩(wěn)健性較好的估計(jì)。

[1]韓明,丁元耀.產(chǎn)品無(wú)失效數(shù)據(jù)的可靠性分析[J].運(yùn)籌與管理,2003,12(5).

[2]余文波,任海平.成敗型試驗(yàn)中無(wú)失效數(shù)據(jù)的多層Bayes分析[J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào)(理科版),2009,33(2).

[3]HAN Ming.Estimation of Reliability Based on Zero-failure Data[J].Pureand Applied Mathematics,2002,18(2).

[4]陳文華,崔杰,樊曉燕.單失效數(shù)據(jù)的可靠性統(tǒng)計(jì)分析[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2003,39(9).

[5]徐寶.壽命產(chǎn)品可靠度的貝葉斯估計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2011,(4).

[6]魏玲,師義民.巴斯卡分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),1999,15(2).

[7]韓明.Pascal分布的參數(shù)估計(jì)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2006,22(4).