田曉曉，孟松鶴，矯利闖，易法軍，解維華

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)研究所，哈爾濱 150080;2.巴黎北大學(xué)，LPMTM，巴黎 93430)

0 引言

復(fù)合材料是由2種或多種不同性質(zhì)的材料用物理和化學(xué)方法在宏觀尺度上組成的具有新性能的材料［1］，具有比強(qiáng)度高、比剛度大、抗疲勞性能好、減震性能好和材料性能可設(shè)計等優(yōu)點［2］，應(yīng)用范圍非常廣。由于復(fù)合材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，有效性能就比較難以獲得。很多國內(nèi)外學(xué)者從實驗［3－4］和數(shù)值［5－6］角度進(jìn)行了復(fù)合材料有效性能預(yù)報。這些數(shù)值方法往往只能對簡單結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)性能預(yù)報，而不能應(yīng)用到復(fù)雜結(jié)構(gòu)中去。

快速Fourier變換是計算離散Fourier變換的一種快速算法(簡稱FFT)，主要用于數(shù)字信號處理，計算大整數(shù)乘法，求解偏微分方程等。Moulinec和 Suquet［7－8］首次使用 FFT 方法提出一種數(shù)值迭代方法，用來計算脆性或準(zhǔn)脆性材料的全局響應(yīng)問題。Michel［9］等隨后又用該方法給出了線性和非線性均勻復(fù)合材料的全局響應(yīng)。本文從復(fù)合材料的平衡方程出發(fā)，將復(fù)合材料問題轉(zhuǎn)化為含極化應(yīng)力的各向同性材料問題，結(jié)合Lippmann-Schwinger方程實現(xiàn)其形式解，并通過FFT方法實現(xiàn)其數(shù)值計算，最終實現(xiàn)復(fù)合材料有效性能的預(yù)報，并進(jìn)一步討論了分辨率和尺寸效應(yīng)對FFT方法的影響。

1 復(fù)合材料平衡方程解

考慮一個體積為Ω邊界為?Ω的周期性規(guī)則實體，可以看作是其單胞構(gòu)造，也就是代表性體積單元，簡寫為RVE。用2個不同的空間坐標(biāo)來描述:宏觀尺度參數(shù)x用來描述整個實體的全局應(yīng)力場;微觀尺度參數(shù)y可用來描述局部應(yīng)力場。其關(guān)系可定義為y=(x －)/ε，其中是單胞的坐標(biāo)幾何中心。經(jīng)過多尺度漸進(jìn)分析后，RVE內(nèi)含應(yīng)變梯度的平衡方程可轉(zhuǎn)化為求解如下方程［10］:

式中 cijkl為復(fù)合材料彈性常數(shù);fi為體積力;σij為應(yīng)力;為剪應(yīng)力;εkl為應(yīng)變;#代表為周期性的;－#為反周期的。設(shè)為參考材料模量，為各向同性材料。令τij=(cijkl－)εkl+，則方程可化簡為

這里可考慮更細(xì)致一點的微觀結(jié)構(gòu)，如考慮結(jié)構(gòu)的非均勻性、界面層、纖維束的強(qiáng)度分布、缺陷分布等因素，可將這些性質(zhì)轉(zhuǎn)化為含極化應(yīng)力的均勻參考材料進(jìn)行研究，對研究復(fù)合材料的破壞機(jī)理奠定了良好的基礎(chǔ)。

式(2)的解可通過周期Green算子Γ0在Fourier空間表示［8］:

其衍生問題可解決x處受指定應(yīng)變E時非均勻彈性復(fù)合材料的問題:

其實空間和Fourier空間的解分別為

2 FFT運算法則

初始值:

經(jīng)過多次實驗，當(dāng)參考材料滿足下式時收斂速度最快［8］:

3 實例分析

通過單向玻璃纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料算例來驗證FFT方法的有效性，并討論了分辨率和尺寸效應(yīng)對FFT方法的影響。

單向玻璃纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料二維單胞結(jié)構(gòu)如圖1所示;其組分性能［12］見表1。

表1 單向玻璃纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料組分材料性能Table 1 Properties of components of unidirectional glass fibre/epoxy resin composite

唐邵鋒等［12］曾經(jīng)用多尺度法和Mori-Tanaka法計算過該材料的有效楊氏模量，并和文獻(xiàn)［13］中的實驗值進(jìn)行了對比。本文將FFT的計算結(jié)果與多尺度法和實驗結(jié)果進(jìn)行對比。為了分析尺寸效應(yīng)和分辨率對FFT方法的影響，分別建立2個模型并進(jìn)行計算對比，模型及對比結(jié)果如下:

3.1 分辨率對FFT方法的影響

取1個單胞(圖1)，采用FFT方法分別計算分辨率為100×100和400×400下材料的有效模量，并與其他方法和實驗結(jié)果進(jìn)行對比，如圖2所示。

由圖2可見，當(dāng)纖維百分含量不超過40%時，F(xiàn)FT方法和多尺度方法數(shù)值計算結(jié)果幾乎吻合;當(dāng)纖維百分含量超過40%時，F(xiàn)FT和多尺度數(shù)值計算方法結(jié)果開始微有不同。通過與文獻(xiàn)［13］中的實驗值相比較，可看出FFT方法計算結(jié)果比多尺度方法更接近實驗值;另外，從圖2中可看出，2種分辨率計算結(jié)果隨纖維百分含量的增加差別開始變大，說明分辨率對FFT方法的影響隨著纖維體積分?jǐn)?shù)的增大而增大。但與多尺度等其他方法相比，F(xiàn)FT計算方法可進(jìn)一步考慮更細(xì)致的結(jié)構(gòu)，如加入材料本身缺陷、界面、具有統(tǒng)計概率分布的纖維束強(qiáng)度等因素，引入這些參數(shù)對FFT計算方法來說是非常容易的，其計算結(jié)果更接近真實的實驗值。由于材料固有缺陷、界面性質(zhì)和纖維束的強(qiáng)度分布也是較難確定的，故在本算例中暫不考慮，只研究FFT方法的可行性及有效性。從計算結(jié)果可看出，該方法是可行的和有效的，且后期計算非常簡潔，易于操作。

3.2 尺寸效應(yīng)對FFT方法的影響

為了驗證FFT方法的尺寸效應(yīng)，選取一個包含若干單胞的結(jié)構(gòu)，如圖3所示。選取的是9單胞結(jié)構(gòu)，呈3×3排列，中間單胞完整包含在整體結(jié)構(gòu)內(nèi)。采用FFT方法分別計算分辨率為100×100和400×400的2種情況下的有效模量，并與多尺度方法計算結(jié)果和實驗結(jié)果進(jìn)行對比，如圖4所示，與單胞時規(guī)律相同。

為了驗證FFT方法的尺寸效應(yīng)，將單胞和9單胞結(jié)構(gòu)計算結(jié)果進(jìn)行對比。如圖5所示，可看出在高分辨率下，單胞結(jié)構(gòu)和9單胞結(jié)構(gòu)計算結(jié)果相差很小，幾乎吻合;低分辨率下，單胞結(jié)構(gòu)和9單胞結(jié)構(gòu)計算結(jié)果有差別，但相差很微小，幾乎可忽略。這是因為此結(jié)構(gòu)為周期性結(jié)構(gòu)，沒有考慮材料的非均勻性，從理論上來看，單胞結(jié)構(gòu)和9單胞組合結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果應(yīng)是完全一樣的，這里的微弱差別是由于數(shù)值計算原因造成的。

4 結(jié)論

(1)將復(fù)合材料平衡方程求解問題轉(zhuǎn)化為含極化應(yīng)力的各向同性材料平衡方程求解問題，并結(jié)合FFT方法實現(xiàn)其數(shù)值解。

(2)FFT方法預(yù)報復(fù)合材料有效性能與實驗結(jié)果吻合較好，與其他細(xì)觀力學(xué)方法相比，F(xiàn)FT方法精度較高，且FFT方法可實現(xiàn)程序化的運算，后期計算非常簡潔，易于操作。

(3)FFT數(shù)值計算時，分辨率對計算結(jié)果有影響。分辨率對FFT方法的影響隨著纖維體積分?jǐn)?shù)的增大而增大。

(4)FFT數(shù)值計算時，分別采用1單胞和9單胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算，兩者計算結(jié)果基本一致，說明了FFT方法不受尺寸效應(yīng)影響。因此，可用單胞代替整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算。

［1］沈觀林，胡更開.復(fù)合材料力學(xué)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2006.

［2］羅祖道，王震鳴.復(fù)合材料力學(xué)進(jìn)展［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1992.

［3］楊成鵬，矯桂瓊，王波.2D-C/SiC復(fù)合材料力學(xué)性能的實驗研究［J］.復(fù)合材料:創(chuàng)新與可持續(xù)發(fā)展，2010(8):729.

［4］Macander A B，Crane R M.Fabrication and mechanical properties of multi-dimensionally braided composite materials［C］//Whitney J M.Composite Materials:Testing and Design(7th Conf.)，STPS893，ASTM，1986:422-443.

［5］Naik N K，Ganesh V K.An analytical method of plain weave fabric composites［J］.Composites，1995，26(4):281-289.

［6］顧震隆，呂文濤，孟蘭，等.多向炭/炭復(fù)合材料彈性常數(shù)的理論預(yù)報［J］.復(fù)合材料學(xué)報，1988，5(4).

［7］Moulinec H，Suquet P.A fast numerical method for computing the linear and the nonlinear mechanical properties of composites［J］.CR Acad Sci.Paris Ser II，1994;318:1417-1423.

［8］Moulinec H，Suquet P.A numerical method for computing the overall response of nonlinear composites with complex microstructure［J］.Comput.Methods Appl.Mech.Engrg.，1998，157:69-94.

［9］Michel J C，Moulinec H，Suquet P A.Computational method based on augmented lagrangians and fast Fourier transforms for composites with high contrast［J］.Comput.Modelling Engrg.Sci.，2000，1(2):79-88.

［10］Tian Xiao-xiao，Li J，Meng Song-he，et al.A homogenized method including strain gradients based FFT prediction of the mechanical properties of composites［J］.Polymers ＆Polymer Composites，2011，19(4＆5).

［11］Kroner E.Statistical continuum mechanics［M］.Wien-New York，Springer-Verlag，1972:110.

［12］唐紹鋒.復(fù)合材料熱/力學(xué)性能的雙尺度漸進(jìn)分析［D］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2009.

［13］Tsai S W.Structural behavior of composite materials［R］.NASA CR-71，1964.