劉平安，王 革，郜 冶

(哈爾濱工程大學(xué)航天工程系，哈爾濱 150001)

0 引言

旋轉(zhuǎn)過載引起固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)性能的改變，一般有4種潛在的重要影響模式出現(xiàn)［1］:第1種模式是旋轉(zhuǎn)加速過載引起殼體和藥柱變形的力學(xué)模式(machanical mode);第2種為熱力學(xué)模式(thermodynamic mode)，其導(dǎo)致燃燒性能的改變;第3種為應(yīng)力模式(stress mode)，其導(dǎo)致推進(jìn)劑燃速發(fā)生變化;第4種模態(tài)就是氣動(dòng)力模式(gas dynamic mode)，旋轉(zhuǎn)過載將引起燃燒室和噴管的流動(dòng)性能發(fā)生改變［2－8］。文獻(xiàn)［9］研究了無限長圓柱形固體裝藥通道粘性不可壓縮氣體沿橫截面氣流切向速度分布的近似關(guān)系。對(duì)于有分布質(zhì)量進(jìn)入的旋轉(zhuǎn)圓管內(nèi)，切向速度分布類似Rankine渦。國內(nèi)在旋轉(zhuǎn)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)性能和流動(dòng)特征方面也開展了廣泛的研究［10－12］。文獻(xiàn)［13－14］應(yīng)用數(shù)值方法，研究了旋轉(zhuǎn)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)流場(chǎng)，分析了旋轉(zhuǎn)發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)流場(chǎng)的分區(qū)特征和端面近軸區(qū)域的回流效應(yīng)，研究了轉(zhuǎn)數(shù)對(duì)渦核結(jié)構(gòu)及端面流場(chǎng)細(xì)微結(jié)構(gòu)的影響。

本文旨在應(yīng)用解析分析法求解旋轉(zhuǎn)情況下的發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部流場(chǎng)，分析旋轉(zhuǎn)和壁面質(zhì)量注入對(duì)渦核結(jié)構(gòu)的影響。

1 數(shù)學(xué)物理模型

1.1 物理模型

軸對(duì)稱管型裝藥內(nèi)孔燃燒固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室通道空間的簡(jiǎn)化模型如圖1所示，長為L，半徑為a，頭部封堵。燃燒室側(cè)壁面有流體均勻注入，注入速度為Vb，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為ω，則側(cè)面切向速度U=ωa。

1.2 基本假設(shè)

由于發(fā)動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)，內(nèi)流場(chǎng)變化較復(fù)雜，引入以下假設(shè)條件:

(1)流動(dòng)處于穩(wěn)定狀態(tài);

(2)流體等溫不可壓;

(3)忽略體積力;

(4)粘性系數(shù)ν為常數(shù);

(5)忽略頭部壁面摩擦影響。

1.3 控制方程

通用控制方程:

1.4 邊界條件

1.5 參數(shù)無量綱化

為了更簡(jiǎn)潔地描述物理問題，下面將各參數(shù)無量綱化:

2 方程的解析求解

2.1 簡(jiǎn)化方程

將式(3)無量綱化，有

2.2 求解方程

2.2.1 方程的通解

運(yùn)用分離變量法，認(rèn)為:

2.2.2 方程的特解

應(yīng)用式(23)的邊界條件確定常數(shù):

式(26)是滿足全部邊界條件的速度解。

2.3 修正切向動(dòng)量方程

假設(shè)整個(gè)流場(chǎng)只存在自由渦，該假設(shè)雖然對(duì)徑向與軸向速度的分布影響很小，但明顯存在缺陷。完整的假設(shè)應(yīng)包括外部自由渦與核心強(qiáng)制渦，核心強(qiáng)制渦的運(yùn)動(dòng)類似于剛體旋轉(zhuǎn)，由于軸附近粘性力的作用而產(chǎn)生。為了得到準(zhǔn)確的切向速度分布，需修正切向動(dòng)量方程，在式(3)中引入粘性項(xiàng)。修正后的切向動(dòng)量方程無量綱形式為

式中 Re為平均流動(dòng)雷諾數(shù)。

令 uθ=uθ(r)，式(28)化為常微分方程:

引入2個(gè)邊界條件:

為了簡(jiǎn)化方程，令:

2.4 重新求解切向速度

實(shí)際情況中Re＞1 000，因此ε非常小，可作為攝動(dòng)量，運(yùn)用攝動(dòng)法中的漸進(jìn)展開匹配法求解切向速度:

式(34)為切向速度的最終表達(dá)式。當(dāng)ε→0時(shí)，切向速度與全場(chǎng)自由渦假設(shè)條件下得到的結(jié)果一致，即uθ=1/r。對(duì)于固定的 ε，當(dāng) r→0時(shí)，可將式(34)展開為

顯然，uθ與r成正比，說明核心區(qū)流體類似于剛體做繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這是由于集中的粘性力作用。應(yīng)注意到，前面得到的解明顯受參數(shù)ε與k的影響，因此定義有效雷諾數(shù)ReV(注入雷諾數(shù)):

式(34)切向速度的表達(dá)式可寫成ReV的表達(dá)形式:

2.5 粘性渦核厚度

為了確定強(qiáng)制渦的影響區(qū)域，首先要確定渦核半徑r*。對(duì)式(34)求導(dǎo)可得，并令其等于0。

由此可得

不同ReV下切向速度沿徑向分布見圖2;最大切向速度的位置，即渦核核心半徑r*隨ReV的變化見圖3。當(dāng)ReV超過500時(shí)，其渦核半徑減小程度趨于平緩。小于500時(shí)，渦核半徑變化加大。當(dāng)注入速度一定的情況下，湍流比層流的粘性系數(shù)大得多，對(duì)應(yīng)的ReV相應(yīng)減小。因此，湍流的渦核半徑比層流情況下大很多，湍流強(qiáng)度越大，對(duì)應(yīng)的渦核區(qū)也就較大。

2.6 切向速度的近似關(guān)系

式(34)可寫成如下近似關(guān)系:

由r*處的連續(xù)條件ω*(r*2)=1可得

相應(yīng)于式(43)，一般在ReV＞103的情況下，通道內(nèi)不可壓縮燃?xì)獾那邢蛄鲃?dòng)速度在2個(gè)區(qū)域內(nèi)具有不同的特點(diǎn)，在小于r*的圓柱氣流核心區(qū)，切向速度呈“準(zhǔn)固體”特征，其旋轉(zhuǎn)角速度ω*明顯超過通道旋轉(zhuǎn)角速度ω。而大于r*的區(qū)域切向流動(dòng)為自由旋流。由于在旋轉(zhuǎn)角速度很高的情況下，不可壓縮的假設(shè)會(huì)帶來較大的誤差，因此對(duì)高速旋轉(zhuǎn)的通道，應(yīng)考慮可壓縮性的修正。

2.7 切向速度的可壓縮性修正

文獻(xiàn)［9］分析了可壓縮氣體在旋轉(zhuǎn)通道內(nèi)的切向速度橫截面壓力分布，首先定義核心旋轉(zhuǎn)角速度:

即當(dāng)音速c→∞，ω*等于不可壓縮流體的結(jié)果。r*的確定同式(45)。不同馬赫數(shù)下渦核轉(zhuǎn)速ω*隨ReV的變化見圖4。

由圖4可看出，可壓縮性對(duì)渦核結(jié)構(gòu)的影響較大，隨旋轉(zhuǎn)速度增大，可壓縮的影響加劇，渦核轉(zhuǎn)速對(duì)ReV的依賴程度急劇減小，并趨于平緩。而渦核半徑隨轉(zhuǎn)速的增加而增加，尤其對(duì)于較大的ReV，當(dāng)ReV＜200時(shí)，渦核半徑隨ReV的增大急劇減小，見圖5。圖6為渦核切向速度峰值與ReV和旋轉(zhuǎn)馬赫數(shù)(與轉(zhuǎn)數(shù)相對(duì)應(yīng))的關(guān)系。

2.8 求解壓力和渦量

根據(jù)式(2)與式(4)，壓力梯度可表示為

積分式(51)與式(52)，且合并:

由于重新求解了切向速度，因此渦量表達(dá)式(13)也要相應(yīng)地發(fā)生變化，根據(jù)式(39)與式(9)，可得到修正后的渦量表達(dá)式為

3 結(jié)論

(1)通道內(nèi)不可壓縮燃?xì)獾那邢蛄鲃?dòng)速度在2個(gè)區(qū)域內(nèi)具有不同的特點(diǎn)，在小于r*的圓柱氣流核心區(qū)，切向速度呈“準(zhǔn)固體”特征，其旋轉(zhuǎn)角速度ω*明顯超過通道旋轉(zhuǎn)角速度ω;而大于r*的區(qū)域切向流動(dòng)為自由旋流。

(2)由于在旋轉(zhuǎn)角速度很高的情況下，不可壓縮的假設(shè)會(huì)帶來較大誤差，因此對(duì)高速旋轉(zhuǎn)的通道，應(yīng)考慮可壓縮性的修正?？蓧嚎s性對(duì)渦核結(jié)構(gòu)的影響較大，隨著旋轉(zhuǎn)速度的增大，可壓縮的影響加劇，渦核轉(zhuǎn)速對(duì)注入雷諾數(shù)的依賴程度急劇減小，并趨于平緩。而渦核半徑隨轉(zhuǎn)速的增加而增加，尤其對(duì)于較大的ReV。

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