朱耀庭 孫 璐 朱浩然 于棋峰

（江西省交通科學(xué)研究院1） 南昌 330038） （東南大學(xué)交通學(xué)院2） 南京 210096）

瀝青混合料是典型的流變材料，對(duì)時(shí)間和溫度有顯著的依賴性質(zhì).為研究瀝青混合料的流變特性，主要采用經(jīng)典粘彈塑性理論和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)應(yīng)力應(yīng)變曲線進(jìn)行描述［1－5］.由于瀝青混合料力學(xué)特性和試驗(yàn)設(shè)備限制等因素，研究瀝青混合料與時(shí)間依賴性行為一般基于蠕變?cè)囼?yàn)方法，但在常低溫或低應(yīng)力條件下破壞階段的出現(xiàn)要經(jīng)過較長(zhǎng)的蠕變時(shí)間，往往需要提高試驗(yàn)溫度或應(yīng)力水平以保證瀝青混合料能夠達(dá)到破壞狀態(tài)，因而在特定條件下準(zhǔn)確闡述瀝青混合料流變行為和獲取力學(xué)模型參數(shù)受到極大限制.本文以三軸等應(yīng)變率壓縮破壞試驗(yàn)為基礎(chǔ)，分析瀝青混合料與時(shí)間依賴性本構(gòu)模型，利用相應(yīng)的優(yōu)化方法獲取模型參數(shù)，并通過數(shù)值計(jì)算得出相應(yīng)的蠕變曲線，為豐富瀝青混合料與時(shí)間依賴模型和評(píng)價(jià)體系提供理論基礎(chǔ).

1 瀝青混合料全過程力學(xué)曲線特性

等應(yīng)變率壓縮試驗(yàn)是確定材料強(qiáng)度的主要手段，試驗(yàn)獲取的應(yīng)力－應(yīng)變?nèi)^程曲線是揭示材料力學(xué)特性的重要方法.對(duì)瀝青混合料等應(yīng)變率壓縮試驗(yàn)曲線［6］研究發(fā)現(xiàn)，壓縮試驗(yàn)曲線與巖石Class I破壞行為描述相一致［7］.圖1為典型的瀝青混合料全過程應(yīng)力－應(yīng)變曲線圖.

圖1 瀝青混合料等應(yīng)變率全過程試驗(yàn)曲線

2 時(shí)間依賴性的可變量本構(gòu)模型

應(yīng)力－應(yīng)變?nèi)^程曲線可通過可變量本構(gòu)方程對(duì)與時(shí)間依賴特性進(jìn)行表述［8－9］，其基本表達(dá)式為

式中：ε為應(yīng)變；σ為應(yīng)力；λ為可變?nèi)岫?，t為時(shí)間.

根據(jù)壓縮試驗(yàn)曲線可將總的應(yīng)變表示為線彈性應(yīng)變?chǔ)?和非線性粘性應(yīng)變?chǔ)?之和，即如圖2所示的非線性Maxwell模型.建立本構(gòu)模型的關(guān)鍵為在材料的破壞進(jìn)行過程中，粘性流動(dòng)呈非線性增加，且增加的速率可以表示為應(yīng)力函數(shù)g（σ）和應(yīng)變函數(shù)f（ε2）的乘積，即

圖2 非線性Maxwell模型

從臨近強(qiáng)度破壞點(diǎn)時(shí)，非線性粘性應(yīng)變?chǔ)?的增加起到主導(dǎo)作用，而在開始階段的線彈性模量起主要作用.因此，要構(gòu)建強(qiáng)度破壞點(diǎn)以后材料力學(xué)行為，必須考慮柔度的增加，假定柔度有如下關(guān)系式

式中：A，n，m為常數(shù).n的變化范圍為n≥1；m為應(yīng)力－應(yīng)變曲線形狀參數(shù).可見，當(dāng)n＝1時(shí)，可變模量的變化率dλ／dt與應(yīng)力σ成正比，則為牛頓流體.

2.1 等應(yīng)變率本構(gòu)方程

在等應(yīng)變率試驗(yàn)過程中，假定應(yīng)變率˙ε＝C，C為常數(shù)，式（1）可寫為

代入式（3），并考慮初值條件t＝0時(shí)，λ＝λ0，當(dāng)m≠n＋1時(shí)，通過積分可推導(dǎo)出

將式（6）進(jìn)行轉(zhuǎn)化可以得出在相同柔度條件下，應(yīng)力和C1／（n＋1）成正比，這可以闡述在應(yīng)變率C值小時(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線被C值大時(shí)所包裹的現(xiàn)象［8］.m＜0為應(yīng)變硬化，m＞0為應(yīng)變軟化；而當(dāng)m＝n＋1時(shí)，則表現(xiàn)為脆性破壞［10］.在m＞0時(shí)，由式（5）在dσ／dε＝0條件下可求解出強(qiáng)度σc的表達(dá)式為

可見，強(qiáng)度σc隨應(yīng)變率C的增加而增加，且與C1／（n＋1）成正比.

2.2 蠕變本構(gòu)方程

在蠕變?cè)囼?yàn)中，應(yīng)力保持一定σ＝σ0，在t＝0時(shí)，σ＝σ0，λ＝λ0，ε＝ε0＝λ0σ0，當(dāng)m≠n＋1時(shí)，代入式（3）推導(dǎo)可得

可見，在m＞1時(shí)，在一定時(shí)間范圍內(nèi)，蠕變方程的1次和2次導(dǎo)數(shù)函數(shù)是時(shí)間t的單調(diào)增加函數(shù).文獻(xiàn)［8］通過試驗(yàn)觀測(cè)假定在進(jìn)入第3階段后，應(yīng)變率和蠕變殘存壽命tc成反比.文獻(xiàn)［10］定義蠕變方程對(duì)時(shí)間的1次導(dǎo)數(shù)為0可推導(dǎo)出蠕變流動(dòng)時(shí)間如式（11）所示.

值得指出的是，式（11）所表示的是蠕變方程在實(shí)數(shù)域內(nèi)的最大值，僅存在數(shù)學(xué)上的意義，若用于實(shí)際蠕變?cè)囼?yàn)描述不符合實(shí)際.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可見，在應(yīng)變達(dá)到2%～3%時(shí)，大多數(shù)瀝青混合料都已達(dá)到破壞狀態(tài)，因此，本文以應(yīng)變2%左右時(shí)為蠕變終止時(shí)刻，探討蠕變曲線的發(fā)展規(guī)律.

3 試驗(yàn)方法與瀝青混合料設(shè)計(jì)

三軸等應(yīng)變率壓縮試驗(yàn)是一種經(jīng)典的試驗(yàn)方法，能夠模擬結(jié)構(gòu)中材料的受力狀態(tài)，與實(shí)際路面的三向受力條件相符合.試驗(yàn)設(shè)備采用萬能材料試驗(yàn)系統(tǒng)（UTM－25），試驗(yàn)中將試件放在三軸壓力室內(nèi)，通過控制高壓氣體對(duì)試件施加圍壓，使得試件處于各向等壓應(yīng)力狀態(tài)；激振器通過活塞施加軸向壓力，在軸向產(chǎn)生偏應(yīng)力（三軸試驗(yàn)見圖3）.試驗(yàn)中以位移為控制條件，按照一定的速率施加軸向荷載，軸向偏應(yīng)力隨時(shí)間先逐漸增大，直至達(dá)到應(yīng)力峰值后逐漸下落，此時(shí)試件已發(fā)生了剪切破壞.

圖3 瀝青混合料三軸試驗(yàn)示意圖

本文選取中面層Sup20瀝青混合料作為研究對(duì)象，集料采用石灰?guī)r，填料采用石灰?guī)r礦粉，膠結(jié)料采用AH－70基質(zhì)瀝青，瀝青用量為4.2%，瀝青膠結(jié)料性質(zhì)和混合料配合比分別見表1和圖4.

表1 瀝青性質(zhì)

圖4 Sup20級(jí)配曲線

瀝青混合料的壓縮強(qiáng)度、應(yīng)力應(yīng)變曲線特性與加載速率有密切關(guān)系，參考國外研究經(jīng)驗(yàn)［11］，加載應(yīng)變速率C＝1.27mm／min（0.05in／min）；為考慮中面層在車輛荷載作用下實(shí)際的側(cè)向受力狀態(tài)，通過路面力學(xué)軟件計(jì)算確定圍壓水平為138kPa（20psi）［12］；同時(shí)為了考慮不同溫度條件的影響，選取了25，40和55℃作為比較.瀝青混合料試件為高150mm、直徑100mm的圓柱體，經(jīng)旋轉(zhuǎn)壓實(shí)成型后鉆心而得.

4 本構(gòu)模型參數(shù)獲取

本構(gòu)模型有A，n，m和λ0等4個(gè)未知參數(shù)，在已知試驗(yàn)數(shù)據(jù)的條件下，可通過本構(gòu)方程獲取模型參數(shù).若通過式（1）和（3）的關(guān)系式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合較為簡(jiǎn)單，但涉及離散試驗(yàn)數(shù)據(jù)的求導(dǎo)問題，在試算的過程中，實(shí)際試驗(yàn)采集的數(shù)據(jù)由于精度和存儲(chǔ)等因素?cái)M合效果較差，無法確定模型參數(shù)；若直接利用式（5）和式（6）對(duì)等應(yīng)變率壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，這一方法遇到的問題是目標(biāo)函數(shù)非常復(fù)雜，難以通過一般的方法獲取參數(shù)，即便采用智能優(yōu)化算法結(jié)果也不理想.因此，本文結(jié)合以上因素，采用2.2計(jì)算思想，先通過試算的方法得出參數(shù)的初值，再利用基于Levenberg－Marquardt（L－M）法的非線性擬合方法得出模型參數(shù)［13］.

σ（t）為試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)，其函數(shù)可由離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)（εi，σ（ti））（i＝1，2，…，r）給出，若要求擬合函數(shù)σ＊（ε，A，m，n，λ0）逼近試驗(yàn)數(shù)據(jù)σ（t），則目標(biāo)函數(shù)表示Φ（A，m，n，λ0）為

L－M法則在迭代過程中對(duì)近似Hessian矩陣的牛頓法引入一個(gè)阻尼系數(shù)，若該系數(shù)值為零時(shí)即為牛頓法，而當(dāng)系數(shù)值很大時(shí)，就成為較小步長(zhǎng)的最速梯度下降法.每次迭代成功后，系數(shù)值要減少，而迭代使目標(biāo)函數(shù)增加時(shí)，系數(shù)值增大，這樣每次迭代后目標(biāo)函數(shù)都是下降的.因此，L－M法具有收斂速度快等優(yōu)點(diǎn).

通過以上計(jì)算方法，本構(gòu)模型的擬合曲線和模型參數(shù)見圖5和表2.

圖5 試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合曲線

由于公式表達(dá)式復(fù)雜，難以直觀地判斷出模型各參數(shù)對(duì)結(jié)果的影響，通過實(shí)際的數(shù)值計(jì)算，可以定性地描述出模型參數(shù)的敏感性.參數(shù)λ0對(duì)破壞前的曲線斜率有決定性作用，只有取值合適才能正確地描述出破壞前材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線；參數(shù)A可以一定程度上決定破壞點(diǎn)的取值，但必須與n，m參數(shù)大小共同作用；對(duì)曲線起至關(guān)重要作用的是參數(shù)n，m，由于這2個(gè)參數(shù)構(gòu)成了指數(shù)方程，表達(dá)方式較為復(fù)雜，即使在微小變化的條件下會(huì)出現(xiàn)曲線突變現(xiàn)象，同時(shí)這兩個(gè)參數(shù)決定了破壞后曲線的斜率和走勢(shì).因此，在獲取參數(shù)時(shí)，對(duì)試驗(yàn)曲線進(jìn)行試算是極為關(guān)鍵的，直接關(guān)系到最終的擬合效果.

表2 本構(gòu)模型參數(shù)

5 計(jì)算蠕變曲線的討論

通過等應(yīng)變率壓縮試驗(yàn)獲取本構(gòu)模型參數(shù)的基礎(chǔ)上，利用式（8）可計(jì)算出在特定應(yīng)力水平下瀝青混合料的蠕變行為，具體的蠕變曲線如圖6所示.

圖6 不同條件下計(jì)算蠕變曲線

由圖6可知，計(jì)算得出的蠕變曲線在開始一段時(shí)期內(nèi)趨于線性，而后斜率逐漸增大，并最終計(jì)算結(jié)果將出現(xiàn)復(fù)數(shù)的情況.曲線不同階段經(jīng)歷的時(shí)間與應(yīng)力、溫度等條件相關(guān)，在高溫度和高應(yīng)力條件時(shí)達(dá)到一定應(yīng)變條件時(shí)所需時(shí)間較短，這與蠕變?cè)囼?yàn)的結(jié)果相一致的.與經(jīng)典的蠕變?cè)囼?yàn)曲線相比，計(jì)算曲線可以很好地描述蠕變的第二和第三階段，即蠕變穩(wěn)定期和破壞期，且穩(wěn)定期所經(jīng)歷的時(shí)間與溫度和應(yīng)力相關(guān)，隨溫度和應(yīng)力的增加穩(wěn)定期所經(jīng)歷的時(shí)間逐漸減少.然而，計(jì)算蠕變曲線對(duì)第一階段即遷移期不能較好地進(jìn)行表述，這是由于式（8）表達(dá)式的數(shù)學(xué)性質(zhì)決定的.式（8）為一個(gè)冪函數(shù)，自變量時(shí)間t位于底數(shù)位置，時(shí)間t從0開始增加時(shí)，一定范圍內(nèi)蠕變斜率趨于常數(shù)，由式（9）可得，其斜率可近似地表示為

只有當(dāng)時(shí)間t增加到一定階段后，蠕變曲線的斜率才會(huì)發(fā)生巨大變化.因此，若要描述第一階段需要對(duì)蠕變方程進(jìn)行修正.

6 結(jié) 論

1）瀝青混合料在等應(yīng)變率壓縮直至破壞的過程中，力學(xué)行為表現(xiàn)出與時(shí)間依賴的特性，同時(shí)破壞形式為Class I型.以粘性流動(dòng)為出發(fā)點(diǎn)，引入等應(yīng)變率非線性粘彈性本構(gòu)模型，通過室內(nèi)三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證表明，該模型可以對(duì)瀝青混合料等應(yīng)變率壓縮行為進(jìn)行描述.

2）可變量本構(gòu)模型對(duì)瀝青混合料破壞后材料力學(xué)行為有較好的描述，并可以通過模型的方程獲取材料的壓縮破壞強(qiáng)度.計(jì)算蠕變曲線能較好地闡述穩(wěn)定第二階段和破壞第三階段蠕變曲線，但需要指出的是，本文的模型對(duì)蠕變第一階段的描述不太明顯，需要進(jìn)一步的改進(jìn)和提高.

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