姚紅光 李智忠

（同濟大學交通運輸工程學院1） 上海 201804） （上海工程技術大學航空運輸學院2） 上海 201620）

0 引 言

航空運輸易受外部干擾，因此魯棒性的研究對于從整體上提高航空網(wǎng)絡的可靠性，保證航空運輸安全高效運營有重要意義［1］.姚紅光、朱麗萍提出“最大連通子圖的相對大小”可以作為航空網(wǎng)絡魯棒性的度量的基本指標［2］.張雯雯采用仿真方法分析航空網(wǎng)絡魯棒性，得出航空網(wǎng)絡針對隨機攻擊有較高的魯棒性而對蓄意攻擊則比較脆弱［3］.鄧貴仕等人通過建立基于總費用最低的網(wǎng)絡優(yōu)化數(shù)學模型提出了航線魯棒性的測定方法，并進行了實證研究［4］.何春泉系統(tǒng)地論述了復雜網(wǎng)絡結構對魯棒性的影響［5］.目前，國內(nèi)對與復雜網(wǎng)絡的魯棒性研究主要以對魯棒性進行定量分析為主，但復雜網(wǎng)絡魯棒性的牽制控制最近也激起了研究者的廣泛興趣.譬如，Wang等提出了一個有效的方法使網(wǎng)絡上所有節(jié)點都牽制控制到它的平衡點［6－7］；Chen等利用一個節(jié)點來牽制控制整個網(wǎng)絡［8］；Zhou等利用自適應的方法來牽制整個網(wǎng)絡［9］.趙軍產(chǎn)等提出了通過建立代價函數(shù)達到它的最小值，以實現(xiàn)受控節(jié)點數(shù)與反饋增益相均衡的一種算法［10］.

本文以通過提出了“最大連通子圖的相對大小”作為航線網(wǎng)絡魯棒性的度量標準；建立中國航空網(wǎng)絡節(jié)點的線性耦合常微分方程；求出了最優(yōu)的受控節(jié)點與反饋增益的組合，并據(jù)此確定了進行牽制控制的45座通航城市；最后通過對比，驗證了牽制控制方法在提升航線網(wǎng)絡魯棒性中的效果.

1 中國航空網(wǎng)絡的魯棒性分析

1.1 數(shù)據(jù)的采集

中國航空網(wǎng)絡的數(shù)據(jù)采集自《攜程旅游網(wǎng)－航班時刻表》.截止到2011年5月16日，共采集到通航城市163座，國內(nèi)航線2 198條，航班9 611個.以163座通航城市作為矩陣的行和列，以2城市間航班數(shù)量作為數(shù)值，形成一個163×163的中國航空網(wǎng)絡鄰接矩陣C.

1.2 航空網(wǎng)絡魯棒性的內(nèi)涵

在航空網(wǎng)絡中，如果某個通航城市受到突發(fā)事件影響陷入癱瘓，也就意味著同時取消了與該通航城市相連的所有的航線，從而有可能使得航空網(wǎng)絡中其他通航城市之間的一些運輸路徑中斷.如果在移走部分通航城市后航空網(wǎng)絡中絕大部分節(jié)點仍是連通的，那么就稱該航空網(wǎng)絡對該通航城市的故障具有魯棒性.

1.3 航空網(wǎng)絡魯棒性的度量標準

一般用“最大連通子圖的相對大小s”為度量航空網(wǎng)絡魯棒性的指標.其計算方法如公式（1）.

“最大連通子圖”包含的節(jié)點數(shù)越大表示網(wǎng)絡連通性越好，當其與網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)相等時，表明所有節(jié)點間都可互聯(lián).隨著陷入癱瘓的節(jié)點數(shù)f值增加，s值將不斷變小.在f值一定時，s值越大，表明對網(wǎng)絡連通魯棒性越好.

1.4 牽制控制對提高航空網(wǎng)絡魯棒性的意義分析

提高航空網(wǎng)絡的魯棒性，有助于發(fā)現(xiàn)航空網(wǎng)絡中的重要節(jié)點并進行有效保護，避免其遭受外界干擾造成延誤甚至導致網(wǎng)絡癱瘓，保證航空運輸安全高效的運營.提高航空網(wǎng)絡魯棒性，不僅需要提高節(jié)點城市的天氣應急能力、機場管理水平；更需避免因節(jié)點的耦合關系導致的網(wǎng)絡故障的疊加與擴散.因此，提高航空網(wǎng)絡的魯棒性，往往需要針對網(wǎng)絡中大量的節(jié)點進行控制與管理，代價和成本都比較高.

牽制控制，近年來被廣泛應用到復雜網(wǎng)絡的動力學控制領域，其基本思想是通過僅對網(wǎng)絡中的一部分節(jié)點直接施加常數(shù)輸入控制，而達到有效抑制整個網(wǎng)絡的時空混沌行為的目的.對航空網(wǎng)絡進行牽制控制可以在實現(xiàn)網(wǎng)絡魯棒性提升目標的同時，極大地減少受控節(jié)點數(shù)量，對于降低控制代價具有重要意義.

2 中國航空網(wǎng)絡的牽制控制研究

2.1 網(wǎng)絡節(jié)點的線性耦合常微分方程

線性耦合常微分方程是用來描述連續(xù)動力系統(tǒng)的重要工具.一般可以描述成下列形式：

式中：N＞1，為網(wǎng)絡中節(jié)數(shù)；f為一個連續(xù)的函數(shù)；xi為第i個節(jié)點的狀態(tài)變量；c＞0是網(wǎng)絡的耦合強度；C＝（cij）N×N為耦合矩陣，反應網(wǎng)絡的拓撲結構其中如果節(jié)點i與節(jié)點j（i≠j）存在一個連接，那么cij＝1，否則cij＝0，C不必是對稱的，但是要求其滿足式（3）條件，其中ki為節(jié)點i的度.

2.2 受控節(jié)點的網(wǎng)絡描述

將實現(xiàn)網(wǎng)絡同步時的x值作為控制的平衡點：

為了將航空網(wǎng)絡控制到上述平衡點，需要對占網(wǎng)絡節(jié)點總數(shù)的比例為σ（0＜σ＜1）的小部分節(jié)點實施牽扯控制.假設選擇節(jié)點i1，i2，…，ir作為被牽扯控制的節(jié)點，r表示受牽扯控制的節(jié)點數(shù)量.在線性反饋作用下，節(jié)點的牽制網(wǎng)絡可以被描述如式（4）.

式中：eik為受控的節(jié)點在實現(xiàn)正常機場功能情況下的代價，即機場硬件設施的總投資及運營費用；d＞0為反饋控制增益系數(shù)；de ik為反饋增益.在航空網(wǎng)絡中，反饋控制增益的現(xiàn)實意義是：各節(jié)點機場為在“氣象因素”、“流量突增”、“設施故障”等突發(fā)影響發(fā)生時，仍能保持機場的正常功能而做的額外準備所付出的代價.這種額外準備不僅包括機場在硬件條件、基礎設施上的升級、改進和儲備，也包括管理手段、運作流程的優(yōu)化，由于機場的硬件投入及運營成本巨大，因此這種額外準備代價巨大.

2.3 受控節(jié)點數(shù)r與反饋控制增益系數(shù)的均衡

在傳統(tǒng)的牽制控制研究中，為了使動力網(wǎng)絡穩(wěn)定到事先確定的平衡點上，通常將反饋控制增益系數(shù)d設為足夠大；然而，要求d值足夠大在現(xiàn)實情況下是不可行的；當d＝1時，則為預防突發(fā)影響儲備的運力與機場現(xiàn)有運力相等，即意味著額外運力儲備的成本與整個機場建設的總投資相同，在現(xiàn)實中是不行的；只有將d值控制在一個足夠小的水平上，對航空網(wǎng)絡的牽制控制才有現(xiàn)實意義.

若對于某個ε0＞0，存在一個自然數(shù)r∈［1，N－1］，和一個反饋增益系數(shù)d滿足式（5），則受牽制網(wǎng)絡（式4）可以穩(wěn)定到均衡點上.

式中：λi為矩陣＋）／2的Mi最大特征值；Mi為同時去除矩陣（＾C＋＾CT）／2的第1，2，…，N－1行和列得到的矩陣，并且是矩陣C的主對角元素cii被［λmin（p）／λmax（p）］cii取代后 得到的 矩陣.D，D＝diag（d，…，d），是一個正定11n的對角矩陣.

假設＾λi是矩陣（＋）／2－D／λmax（P）的最大特征值，如果令＾λ1＝λr＋1，則反饋增益d值不得不達到足夠大，這是不切合實際的；因此，引入一個松弛因子ε0，使得對于一個適當?shù)膁，＾λ1≤λr＋1＋ε0成立.牽制節(jié)點越多，滿足上述不等式所需的反饋增益d就越小.對于一個確定的牽制節(jié)點數(shù)目r，反饋增益系數(shù)d存在著一個臨界值，當d大于這個臨界值時，航空網(wǎng)絡中受控節(jié)點的牽制網(wǎng)絡就能達到穩(wěn)定的平衡點.同樣，對于一個給定的反饋增益d，牽制節(jié)點的數(shù)目也存在著一個臨界值，達不到這個值，受控節(jié)點的牽制網(wǎng)絡是不能到達指數(shù)穩(wěn)定的狀態(tài).因此，可以得到一系列可行的組合（r，d），它定義了一個穩(wěn)定的區(qū)域，用它可以劃分牽制節(jié)點數(shù)目r和反饋增益d的穩(wěn)定的參數(shù)空間.

建立代價函數(shù)Q（r，d）＝rαd1－α，可以得到是函數(shù)值取得最小值的（r，d）的可行組合，從而兼顧二者的取值.

2.4 中國航空網(wǎng)絡牽制控制的實證分析

從航空網(wǎng)絡魯棒性分析的角度上看，節(jié)點機場包括“正常”與“癱瘓”2種狀態(tài).以各航班在機場內(nèi)平均等待服務時間為標準，運用排隊論原理，可以得出中國航空網(wǎng)絡節(jié)點的線性耦合常微分方程為

將實現(xiàn)節(jié)點機場的正常功能為控制均衡點，按式（4）建立中國航空網(wǎng)絡節(jié)點的牽制網(wǎng)絡方程.并利用趙軍產(chǎn)等在文獻［10］中提出的算法：先確定網(wǎng)絡的最小耦合強度與最少牽制節(jié)點后，然后不斷增加牽制節(jié)點，最終選擇一個合適的α，使代價函數(shù)Q（r，d）達到它的最小值，進而得到最優(yōu)的（r，d）組合，計算出中國航空網(wǎng)絡的受控點數(shù)量與反饋增益系數(shù)的可行組合情況（r，d），見表1.

表1 部分可行組合表

當α在［0，1］之間取不同值時，對于上述可行組合Q（r，d）＝rαd1－α值，變化情況如圖1所示.

圖1 α＝0，0.1，0.2，…，1時可行組合對應的Q值

通過計算可知，當α＝0.5時同時兼顧了r，d的取值，此時當r＝45時，Q 有最小值min（Qα＝0.5，R＝45）＝20.784 61.即對于中國航空網(wǎng)絡，只要有選擇的控制45個關鍵節(jié)點，就能夠以儲備受控節(jié)點9.6%的服務能力為代價，實現(xiàn)對整個網(wǎng)絡的有效控制.

3 牽制控制對中國航空網(wǎng)絡魯棒性的影響分析

3.1 45個受控節(jié)點分析

由于在中國航空網(wǎng)絡節(jié)點的線性耦合常微分方程中，以“度”的平均值來反映航空網(wǎng)絡的耦合強度，因此從對航空網(wǎng)絡魯棒性影響的角度考慮，應選擇度排序在前45位的城市作為牽制控制的對象.

在網(wǎng)絡中，節(jié)點i的度ki定義為與節(jié)點i相接的邊的總數(shù).在航空網(wǎng)絡，一個通航城市的度越大就意味著與其相連的城市數(shù)越多，其擁有的航線數(shù)也就越多.應用大型網(wǎng)絡分析軟件Ucinet，以及采集到的163×163的中國航空網(wǎng)絡鄰接矩陣C，計算出中國163個通航城市的度，排名前45位的通航城市如表2所列.這45座節(jié)點城市共擁有航線1 767條，占全部航線數(shù)量的80.39%，形成了中國航空網(wǎng)絡的核心.

表3 前45位通航城市度值表

3.2 航空網(wǎng)絡牽制控制與隨機控制的魯棒性對比分析

牽制控制可以以較低的代價保證航空網(wǎng)絡的服務功能，相比隨機控制可以大幅度提高航空網(wǎng)絡的魯棒性.選擇表2所列的45個城市作為受控對象進行牽制控制，與隨機選擇的45座城市進行航空網(wǎng)絡受攻擊狀態(tài)下的魯棒性對比分析.其研究步驟是：（1）確定受控城市及其數(shù)量，使其免于陷入癱瘓狀態(tài)，即保證其擁有航線的有效性；（2）對航空網(wǎng)絡中的非受控城市進行模擬攻擊，中斷其所有航線，即令航空網(wǎng)絡鄰接矩陣C中其對應的行與列中所有元素值為零，并形成新的航空網(wǎng)絡鄰接矩陣R；（3）通過計算新矩陣R的魯棒性s值；（4）在新的航空網(wǎng)絡鄰接矩陣R上重復上述步驟，不斷增加被攻擊的城市數(shù)量，分析其變化 的變化趨勢，直到除受控城市外地所有城市都受到攻擊.

按上述步驟，牽制控制與4次隨機控制的s值對比如圖2所示.

圖2 受攻擊下的牽制控制與4次隨機控制的s值對比圖

從圖2可以看出，在受攻擊節(jié)點在由1向最大值118變化時，牽制控制的s值始終大于隨機控制的s值；在s值相同時，牽制控制的受攻擊節(jié)點數(shù)始終大于隨機控制.表明，相比隨機控制，牽制控制可以有效的提高航空網(wǎng)絡的魯棒性.

4 結 論

1）提高航空網(wǎng)絡的魯棒性，對于保證安全高效的航空運輸有重要意義.牽制控制相比于其他控制方式可以在代價相同的條件下，保證航空網(wǎng)絡較高的魯棒性.

2）針對中國現(xiàn)有的航空網(wǎng)絡，以9.6%的反饋增益，對北京、廣州、上海等45座城市進行牽制控制，是兼顧了受控節(jié)點數(shù)與反饋增益的較為合理的方案.

后續(xù)研究應在“考慮通暢、擁堵、癱瘓等多種網(wǎng)絡狀態(tài)”基礎上完善模型參數(shù)及場微分方程.

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