韓 林，張大衛(wèi)

數(shù)控機(jī)床誤差的測(cè)量是對(duì)機(jī)床進(jìn)行誤差補(bǔ)償及進(jìn)一步提高機(jī)床加工精度的關(guān)鍵一步．目前，對(duì)于線性工作臺(tái)幾何誤差的測(cè)量，已經(jīng)做了大量的研究．目前，螺距誤差和偏航角誤差可被基于激光的測(cè)量設(shè)備測(cè)量．由于其角度位移垂直于入射探頭束，滾轉(zhuǎn)角誤差測(cè)量難以實(shí)現(xiàn)[1]．Wu等[2]開(kāi)發(fā)了一種利用激光源和波延遲板測(cè)量滾轉(zhuǎn)角誤差的系統(tǒng)，其精度可達(dá)微弧度級(jí)．文獻(xiàn)[3-5]等均采用光學(xué)方法測(cè)量滾轉(zhuǎn)角．Yin等[6-7]開(kāi)發(fā)了一種橫向塞曼激光器，用以測(cè)量滾轉(zhuǎn)角誤差，后又提出一種改進(jìn)的版本．在 Gao等[8]提出的利用2個(gè)電容傳感器測(cè)量滾轉(zhuǎn)角誤差的裝置中，必須預(yù)先識(shí)別出感應(yīng)物的平面輪廓形狀，增加了測(cè)量步數(shù)，容易引進(jìn)其他誤差．利用球桿儀測(cè)量機(jī)床幾何誤差時(shí)，需要至少 2個(gè)軸的聯(lián)動(dòng)，使用方便，但測(cè)量精度低；光學(xué)測(cè)量裝置需要精確的安裝及校準(zhǔn)，且系統(tǒng)的靈敏度過(guò)大．

為此，筆者提出一種新的測(cè)量線性工作臺(tái)滾轉(zhuǎn)角誤差的方法．本測(cè)量系統(tǒng)利用傳感器融合技術(shù)，從傳感器讀數(shù)中得到滾轉(zhuǎn)角誤差的斜率信息，利用順序兩點(diǎn)法采集數(shù)據(jù)[9]，進(jìn)一步推導(dǎo)出滾轉(zhuǎn)角誤差的估計(jì)算法．文中解釋了系統(tǒng)構(gòu)成及測(cè)量原理；闡釋了其數(shù)學(xué)模型和估計(jì)算法；同時(shí)對(duì)該測(cè)量系統(tǒng)的靈敏度進(jìn)行了分析；仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該測(cè)量方法的可行性．

1 系統(tǒng)構(gòu)成及測(cè)量原理

1.1 系統(tǒng)構(gòu)成

如圖 1所示的測(cè)量系統(tǒng)，其中，感應(yīng)物放置在運(yùn)動(dòng)中的線性工作臺(tái)上，夾具與工作臺(tái)平行放置，4個(gè)傳感器的探頭分別被放置在夾具的加工孔中，且被記為A、B、C、D．參考坐標(biāo)系{R}的原點(diǎn)位于探頭A的中心處，其中x軸方向與工作臺(tái)移動(dòng)方向一致．

圖1 系統(tǒng)構(gòu)成Fig.1 System configuration

1.2 測(cè)量原理

當(dāng)電容傳感器在測(cè)量系統(tǒng)中被使用時(shí)，電容變化量在與傳感器的參考電容比較之后，轉(zhuǎn)換成電壓信號(hào)，且電容的變化量取決于2個(gè)電極之間的距離變化量．其關(guān)系為

式中：0ε為真空介電常數(shù)；rε為介質(zhì)的介電常數(shù)；0A為兩電極之間的有效感應(yīng)面積；0d為兩電極之間的有效距離[10-11]．

工作臺(tái)沿著x方向移動(dòng)過(guò)程中，由于加工和裝配的缺陷，會(huì)產(chǎn)生 6個(gè)方向上的誤差．如圖 2所示，其中 εx( x)(即被測(cè)對(duì)象)、εy( x)、εz( x)分別為繞 x軸、y軸、z軸旋轉(zhuǎn)的角度誤差；而 δx( x)、δy( x)、δz( x)分別為3個(gè)方向上的直線度誤差．

圖2 工作臺(tái)幾何誤差Fig.2 Geometric errors of stage

不考慮工作臺(tái)二階誤差項(xiàng)的影響，且工作臺(tái)在水平 y軸方向上的直線度誤差與電容傳感器電極的面積相比，其對(duì)傳感器讀數(shù)的影響可被忽略．也就是說(shuō)，當(dāng)工作臺(tái)沿著x軸移動(dòng)時(shí)，探頭A和B的電極，在采樣間隔與 A和 B之間的安裝距離相等時(shí)，與 2個(gè)探頭的電極相互作用的是感應(yīng)物上的同一個(gè)等效電極．

如圖 3(a)所示，用一等效平面，而不是實(shí)際的表面，來(lái)分析工作臺(tái)幾何誤差對(duì)傳感器讀數(shù)的影響．參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)在探頭 A的中心處．如圖 3(b)所示，傳感器 A的讀數(shù)包含工作臺(tái)沿著 x軸方向的表面輪廓信息、豎直方向上的直線度誤差 δz( x)信息；類似地，如圖3(c)所示，傳感器B的讀數(shù)包含工作臺(tái)沿著x軸方向的表面輪廓信息、豎直方向上的直線度誤差 δz( x)信息和 y軸方向上的角度誤差 εy( x)信息；C的讀數(shù)包含平行于 x軸，且沿 C-D方向的表面輪廓信息、豎直方向上的直線度誤差 δz( x)信息和滾轉(zhuǎn)角誤差 εx( x)信息；D的讀數(shù)包含沿 C-D方向上的表面輪廓信息、豎直方向上的直線度誤差 δz( x)信息、角度誤差 εy( x)信息和滾轉(zhuǎn)角誤差 εx( x)信息．很明顯，在此測(cè)量系統(tǒng)中，滾轉(zhuǎn)角誤差對(duì)傳感器讀數(shù)的影響被放大．

圖3 傳感器讀數(shù)信息分析Fig.3 Analysis of sensors′ readings

2 數(shù)學(xué)模型及估計(jì)算法

傳感器 A、B、C、D 的讀數(shù)分別被記為 mA(xn)、mB(xn)、mC(xn)、mD(xn)，其中 n為離散采樣序列號(hào)．f1(xn)、f2(xn)分別代表感應(yīng)物 x軸方向和 C-D方向上的表面輪廓．參數(shù) L和 d的意義如圖 3所示．基于以上分析，傳感器的讀數(shù)可被表示為

式中：N為測(cè)量行程；s為采樣間隔．

式(2)和式(4)可分別被寫(xiě)成

式(6)-式(3)、式(7)-式(5)得

式(9)-式(8)并整理得

則有

式 中 ： εx( x0)= 0 ； p (xn+ d ) = { [ mC( xn+ d ) ? mD(xn)]?[mA(xn+ d ) ? mB(xn)]}/L ．式(10)就是滾轉(zhuǎn)角誤差估計(jì)模型．

3 安裝誤差分析

本節(jié)討論探頭的定位誤差、探頭在夾具中的方向誤差和夾具的安裝誤差對(duì)滾轉(zhuǎn)角誤差估算結(jié)果的影響．

3.1 定位誤差分析

每個(gè)探頭的中心在參考坐標(biāo)系{R}中的名義坐標(biāo)為：A(0，0)、B(d，0)、C(0，L)、D(d，L)．由于定位誤差，每個(gè)中心的實(shí)際坐標(biāo)為：A(0，0)、B( d + rB?cosαB，rBs inαB)、C(rCcosαC， L +rCs inαC)、D( d+rDcosαD，L+rDsinαD)，其中，rB、rC、rD(探頭B、C、D 的中心點(diǎn)偏離理想位置的半徑)為孔的公差．圖4是在x-y平面中的視圖．

考慮定位誤差，則傳感器讀數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖4 夾具俯視圖Fig.4 Top view of the fixture

3.2 方向誤差分析

方向誤差包含 2個(gè)因素：一是安裝探頭時(shí)，探頭軸線與夾具平面的不垂直所引起的傾斜誤差；二是安裝夾具時(shí)所引起的方向誤差．由于方向誤差被定義為探頭上的小電極和感應(yīng)物上的大電極之間的非平行度誤差，因此，上述 2個(gè)因素可被綜合到一種情況加以分析．

如圖 5(a)所示，由探頭傾斜所引起的方向誤差可被等效處理，其中傾斜角假設(shè)為α，Dp為傳感器探頭的直徑．參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)置在探頭的中心位置．圖 5(b)所示為 2個(gè)電極的相對(duì)姿態(tài)．圖中所示的小電極可被視為大電極在x-y平面上的投影．

圖5 方向誤差分析Fig.5 Orientation error analysis

忽略由于非平行板所導(dǎo)致的平行電場(chǎng)線的扭曲，實(shí)際電容可被近似[12]為

式中積分曲面es為大電極的表面．兩電極之間的等效距離為

當(dāng)α和0d給不同值時(shí)，eqd的值如表 1所示．豎直方向上的位移和輸出電壓是線性關(guān)系[7]．

表1 d0和deqTab.1 d0 and deq

以ADE公司所生產(chǎn)的2800系列的2812探頭為例，在傳感器輸出電壓為零時(shí)，兩電極之間的距離為200,m，且靈敏度為 0.01,mm/V，探頭電極直徑Dp=(2.49 ± 0.03),mm.

現(xiàn)在假設(shè)初始讀數(shù)是＋5.999,5,V，這意味著兩電極之間的距離變化量為 5.999,5×0.01＝0.059,995,mm ＝ 59.995,μm ，真 實(shí) 的 距 離 為259.995,μm．這存在 2種可能：一是準(zhǔn)確的距離值就是 259.995,μm，沒(méi)有任何方向誤差；二是假設(shè)有 0.1°的方向誤差，其等效距離為 259.995,μm，此時(shí)對(duì)應(yīng)于d0= 2 60,μm．

如果在豎直方向上發(fā)生 10,μm 的位移，該位移可能是由感應(yīng)物的表面輪廓、工作臺(tái)豎直方向上的位移誤差、傾斜誤差或滾轉(zhuǎn)角誤差中的任一或任幾個(gè)引起的．在上面所述的第 1種可能中，傳感器的讀數(shù)將會(huì)變?yōu)?6.999,5,V，但在第 2種可能中，讀數(shù)將變?yōu)?.999,6,V，這將導(dǎo)致電極距離 10.001,μm 的等效變化量，而不是10,μm．

由此可知，傳感器在夾具中的方向誤差將會(huì)引入讀數(shù)誤差，且方向誤差的影響可被等效地處理為讀數(shù)噪聲的引入．從表1可看出，當(dāng)存在0.1°的方向誤差時(shí)，最大讀數(shù)誤差為10,nm．

4 仿真及實(shí)驗(yàn)

采樣長(zhǎng)度為 N＝400,mm，f1(xn)、f2(xn)均為三角函數(shù)多項(xiàng)式形式，即

式中：k＝3；a1i、a2i、b1i、b2i均為(－0.05，0.05)范圍內(nèi)的任意數(shù)；ω1i、ω2i、ω3i、ω4i均為(－5，5)范圍內(nèi)的任意數(shù)；εy( xn)、εx( xn)均為(－10-3，10-3)范圍內(nèi)的任意數(shù)，rad；δz( xn)為(－20，20)μm范圍內(nèi)的任意數(shù)；L＝80,mm；s＝d＝40,mm．

4.1 仿真結(jié)果

1)不考慮定位誤差和方向誤差的仿真結(jié)果

圖 6所示為仿真結(jié)果，很明顯，滾轉(zhuǎn)角誤差的估計(jì)誤差非常小，可忽略不計(jì)．

2)考慮定位誤差和方向誤差的仿真結(jié)果

rB=rC=rD=50,μm，αB＝random(0，2,π)，αC＝random(0，2,π)，Dα＝random(0，2,π)，方向誤差α＝0.1°，傳感器讀數(shù)誤差范圍為(－10，10)nm．仿真結(jié)果如圖 7所示，最大估計(jì)誤差是給定滾轉(zhuǎn)角誤差的1/1,000，表明該算法仍有效．

4.2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

圖 8所示為實(shí)驗(yàn)裝置．所用傳感器分辨率為1,μm，測(cè)量范圍為 1,mm．夾具按如前所述的參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)．使用千分表保證測(cè)量系統(tǒng)的參考坐標(biāo)軸與機(jī)床 x軸工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)方向的一致性．實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，直接以x軸工作臺(tái)表面作為感應(yīng)物，所測(cè)量的x軸工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)范圍為－770～－50,mm，工作臺(tái)每運(yùn)動(dòng)40,mm采樣1次，采樣頻率為20,Hz，共測(cè)得19個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，其中第 1組數(shù)據(jù)點(diǎn)為參考位置．各位移傳感器的讀數(shù)轉(zhuǎn)換成相對(duì)位移后如圖9(a)所示．

圖6 不考慮方向和定位誤差的仿真結(jié)果Fig.6 Simulation without positioning and orientation errors

圖7 考慮方向和定位誤差的仿真結(jié)果Fig.7 Simulation with positioning and orientation errors

圖8 實(shí)驗(yàn)設(shè)備Fig.8 Experimental setup

圖9 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Experimental results

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，觀察水平儀氣泡的變化．氣泡一直向同一個(gè)方向移動(dòng)，且偏移格數(shù)逐漸增多，與本測(cè)量系統(tǒng)所測(cè)結(jié)果保持一致．測(cè)量結(jié)果如圖9(b)所示，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，本文對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了不確定度分析．圖 9(b)中方形曲線為多次測(cè)量后得到的滾轉(zhuǎn)角誤差均值，三角形所示曲線為置信度為 99.73%的置信區(qū)間上界，圓形所示曲線為置信度為 99.73%的置信區(qū)間下界．其中，最大不確定度發(fā)生在 x＝-530,mm處，標(biāo)準(zhǔn)方差為σ=0.000,03,rad．從圖中可以看出，x軸工作臺(tái)最大滾轉(zhuǎn)角誤差發(fā)生在測(cè)量行程的末端，其值落在區(qū)間(0.001,35±0.000,08),rad的概率為0.997,3.

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種測(cè)量線性工作臺(tái)滾轉(zhuǎn)角誤差的新方法，闡釋了其測(cè)量原理并推導(dǎo)了滾轉(zhuǎn)角誤差的估計(jì)算法．與利用 2個(gè)位移傳感器和高平面度的感應(yīng)物的方法相比，本方法所需的感應(yīng)物平面度要求較低，更容易實(shí)現(xiàn)測(cè)量；除此之外，本滾轉(zhuǎn)角誤差測(cè)量系統(tǒng)與光學(xué)測(cè)量系統(tǒng)相比，易于安裝且能夠測(cè)量工作臺(tái)更長(zhǎng)的行程；其測(cè)量范圍可根據(jù)結(jié)構(gòu)參數(shù)加以調(diào)整；仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該方法的可行性，為機(jī)床誤差綜合補(bǔ)償?shù)於艘欢ɑA(chǔ)．

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