鄭文禮， 楊 巍

（河北民族師范學院 物理系，河北 承德 067000）

從一維半無限高方勢阱的能級過渡到一維無限深方勢阱的能級

鄭文禮， 楊 巍

（河北民族師范學院 物理系，河北 承德 067000）

先從定態(tài)薛定諤方程求解出一維無限深方勢阱的能級公式及波函數(shù)，再從一維半無限高方勢阱的能級圖解圖導出一維無限深方勢阱的能級公式，說明一維無限深方勢阱的能級確實是一維半無限高方勢阱的能級在特定條件下的極限。最后還對一維半無限高方勢阱的能級數(shù)目進行了討論，并給出了相應的判別公式。

一維方勢阱；能級；判別公式

引言

求解量子束縛體系的能級是量子力學的重要任務。本文先從定態(tài)薛定諤方程求解出一維無限深方勢阱的能級及波函數(shù)，然后用圖解的方法求解出一維半無限高方勢阱的能級，采用取極限的方法將一維半無限高方勢阱的能級過渡到一維無限深方勢阱的能級。這種方法對求解其它形式勢阱的能級具有指導作用。

1 一維無限深方勢阱的能級[1][2][3][4]

在一維空間中運動的粒子，它的勢能在一定的區(qū)域內(nèi)（-a

圖1 一維無限深方勢阱

這種勢稱為一維無限深方勢阱。在Ι區(qū)勢能為0，根據(jù)定態(tài)薛定諤方程可得出Ι區(qū)的定態(tài)薛定諤方程為又因為體系在一維空間中，所以Ⅰ區(qū)的定態(tài)薛定諤方程為

而在阱外的Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)的定態(tài)薛定諤方程為

（3）式中U0=∞。根據(jù)波函數(shù)應滿足的連續(xù)性條件，得出ψI(a)=ψⅡ(a)，ψI(-a)=ψⅢ(-a)。

同理（3）式可改寫成

（6）式為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解是

其中A，B為常量。（7）式的通解為

其中C，D為常量。分區(qū)間寫成

其中B′，A′，B″，A″均為常量。

由于波函數(shù)滿足有限性，當x→∞時，ψⅡ應有限，于是B′=0；同理當x→-∞時，A″=0。所以（9）式改寫為

（10）式改寫為

由于波函數(shù)滿足連續(xù)性，得到ψI(a)=ψⅡ(a)=0，ψI(-a)=ψⅢ(-a)=0。

這是一個二元一次方程組，系數(shù)A，B不能全為零的充分必要條件為

即ei2αa-e-i2αa=0，根據(jù)歐拉公式，將它展開得則則當n=0時，滿足Aeiαa+Be-iαa=0，得到A+ B=0。因為ψ(x)=Aeiαx+Be-iαx，當n=0時，ψ(x)=A+B=0。即當n=0時，對應于ψ恒為零的解，這是平凡解，是無意義的。當n=-1,-2,-3……的解與n等于相應正整數(shù)的解線性相關（差一負號），不給出新的解，所以n等于負整數(shù)時都不取新的解。將代入

得到

將A=(-1)n+1B代入ψI(x)=Aeiαx+Be-iαx中，當n= 1,3,5,…時，有A=B，于是ψI(x)=A(eiax+e-iax)=2Acosαx=當n=2,4,6…時，A=-B，則

又因為波函數(shù)滿足歸一化條件，而且ψⅡ(x)=ψⅢ(x)=0，則有

一維無限深方勢阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)為

圖2 一維無限深方勢阱能級圖

2 一維半無限高方勢阱的能級[5]

一維半無限高方勢阱的勢阱圖為圖3。

圖3 一維半無限高方勢阱

一維半無限高方勢阱的表達式為

因為（16）式與一維無限深方勢阱Ι區(qū)的方程相同，故在0

對于Ⅱ區(qū)，E>U0的散射情況在此不作討論，僅討論0E>0時，令λ=方程通解為ψⅡ=B′eλx+A′e-λx。又由于波函數(shù)的有限性，當x→∞時，B′= 0。

由于波函數(shù)的連續(xù)性，ψ(x)在x=0處應保持連續(xù)，即ψⅢ(0)=ψI(0)，得到A+B=0。由于ψ(x)在x=a處作有限跳躍，故ψ(x)在x=a處仍應保持連續(xù)，即ψI(a)=ψⅡ(a)，Aeiαa+Be-iαa=A′e-λa，由于A+B=0，上述方程化簡為

解之，得i2Asinαa=A′e-λa，即

這是一個典型的超越方程，一般只能用圖解法給出數(shù)值解，而不能用一般的函數(shù)關系式表示其解。又因為，同理得則

當α0→∞時，則U0→∞，則半無限高方勢阱變?yōu)闊o限深方勢阱，P1,P2,P3……分別與……重合，即可推知，pn與重合，相應的

由于這里的勢阱寬度為a，如果將a變?yōu)?a,即與一維無限深方勢阱的寬度相同，則能級公式變?yōu)?/p>

于是一維半無限高方勢阱的能級公式便過渡到了一維無限深方勢阱的能級公式。說明一維無限深方勢阱是一維半無限高勢阱在兩邊勢壁無限高，阱寬相同情況下的特例。

3 討論

由半無限高方勢阱能級圖解圖可以看出，半無限高方勢阱至少存在一個束縛態(tài)的條件是α1=α0所以

4 總結(jié)

本文先從定態(tài)薛定諤方程求解出一維無限深方勢阱的能級公式及波函數(shù)，再從一維半無限高方勢阱的能級圖解圖導出一維無限深方勢阱的能級公式，說明一維無限深方勢阱的能級確實是一維半無限高方勢阱的能級在特定條件下的特例。從對一維半無限高方勢阱的能級數(shù)目討論的過程中，總結(jié)出了相應的能級判別公式。采用本方法可以研究二維甚至是三維勢阱的能級。

[1]周世勛,陳灝.量子力學基礎[M].高等教育出版社,2009.

[2]關洪.量子力學基礎[M].高等教育出版社，1999.

[3]周世勛.量子力學簡明教程[M].高等教育出版社,1979.

[4]張慈.量子力學簡明教程[M].高等教育出版社,1979.

[5]唐啟祥.從一維半無限高方勢阱的能級過渡到一維無限深方勢阱的能級[J].文山師范高等?？茖W校學報,2002,14(5)：69-72.

O413.1

A

2095-3763（2012）02-0056-04

2012-02-20

鄭文禮（1968-），男，滿族，河北平泉人，河北民族師范學院物理系副教授，研究方向為低維半導體結(jié)構(gòu)中電子、激子態(tài)。