胡 玲

（黃山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 黃山 245041）

非線性偶階常微分方程組邊值問(wèn)題的多重正解

胡 玲

（黃山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 黃山 245041）

對(duì)非線性偶階常微分方程組的邊值問(wèn)題，在一定的條件下，通過(guò)運(yùn)用抽象的不動(dòng)點(diǎn)定理，獲得了正解的存在性和多重性。

邊值問(wèn)題；正解；多重性；格林函數(shù)；錐

一直以來(lái)，常微分方程邊值問(wèn)題的正解存在性受到了數(shù)學(xué)學(xué)科以及工程學(xué)科的廣泛關(guān)注，如［1］［2］。就我們所知，現(xiàn)在的結(jié)論還停留在單個(gè)方程和簡(jiǎn)單的邊值條件上。在［3］中，這樣的問(wèn)題被研究：

應(yīng)用Krasnosel＇skii不動(dòng)點(diǎn)定理，（1）的解的存在性可以得到，在［2］中，考慮了方程組的邊值問(wèn)題：

應(yīng)用度理論，（2）的解也可以得到。注意到，（1）中僅有單個(gè)方程，而（2）中的邊值條件很簡(jiǎn)單。由［2］［3］中研究的啟發(fā)，本文研究如下邊值問(wèn)題的正解存在性和多重性：

其中f，g∈C（［0，1］×R＋，R＋），f（x，0）≡0，g（x，0）≡0，0≤i≤m－1。對(duì)于（3）的解的存在性的研究包括格林函數(shù)的性質(zhì)，這在錐的定義上起了很大作用。Krasnosel＇skii不動(dòng)點(diǎn)定理［4］是最終給出解的存在性的理論基礎(chǔ)，另一個(gè)解的多重性的結(jié)論則需要另一個(gè)關(guān)于多重性的不動(dòng)點(diǎn)定理。

下節(jié)中，我們首先給出一些記號(hào)和引理，主要結(jié)論，關(guān)于邊值問(wèn)題（3）的正解的存在性和多重性，將在第三部分給出。

1 引理

設(shè)G（x，y）是如下邊值問(wèn)題的格林函數(shù)：

容易得到

設(shè)Gk（x，y）是如下線性偶階Lidstone邊值問(wèn)題的格林函數(shù)：

則由［10］我們知道

Gk（x，y）＝∫10Gk－1（x，ξ）G（ξ，y）dξ，2≤k≤ m。

顯然，（u，v）∈C（2m）［0，1］×C（2m）［0，1］是邊值問(wèn)題（3）的解當(dāng)且僅當(dāng)（u，v）∈C［0，1］×C［0，1］是如下積分方程組的解：

積分方程（4）可轉(zhuǎn)化為如下非線性積分方程

引理1Gm（x，y）滿足：

顯然P為E中的一個(gè)正錐。定義

引理2 算子A如上定義，則A：P→P是一個(gè)全連續(xù)算子。

綜上所述我們知道，關(guān)于（3）的正解存在性問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為算子A的不動(dòng)點(diǎn)存在性問(wèn)題。

若以下兩條之一成立：

（i）‖Au‖≤‖u‖，u∈P∩?Ω1，并且‖Au‖≥‖u‖，u∈P∩?Ω2

（ii）‖Au‖≥‖u‖，u∈P∩?Ω1，且‖Au‖≤‖u‖，u∈P∩?Ω2

2 主要結(jié)論

首先提出下列假設(shè)：

3）要從整體上提高競(jìng)技健美操運(yùn)動(dòng)員動(dòng)力性力量難度動(dòng)作的技術(shù)水平，應(yīng)加強(qiáng)女子上肢力量和核心部位的訓(xùn)練，全面提高運(yùn)動(dòng)員的技術(shù)水平與體能，更深層次了解和運(yùn)用難度動(dòng)作的規(guī)格。

（A5）f（x，u），g（x，u）關(guān)于u是單調(diào)上升函數(shù)，且?N′＞0，s.t.

定理1 若（A1）（A2）滿足，那么（3）至少有一個(gè)正解（u，v）∈C（2m）（［0，1］，R＋）×C（2m）（［0，1］，R＋）滿足u（x）＞0，v（x）＞0。

證明 由（A1），?H1∈ （0，1），s.t.?（x，u）∈ ［0，1］×（0，H1），有

另一方面，由（A2），存在四個(gè)正數(shù)μ，μ′，C1，C2使得

其中μ，μ′滿足

通過(guò)直接計(jì)算可得

定理2 若（A3）（A4）滿足，那么（3）至少有一個(gè)正解（u，v）∈C（2m）（［0，1］，R＋）×C（2m）（［0，1］，R＋）滿足 u（x）＞0，v（x）＞0。

證明如定理1的證明。

定理3 若（A2）（A3）（A5）滿足，那么（3）至少有兩個(gè)正解（u1，v1），（u2，v2）∈C（2m）（［0，1］，R＋）×C（2m）（［0，1］，R＋）。

∈E：‖u‖＜N′｝，則由（A5），?u∈?BN′∩P，x∈［0，1］，得

因此

又由（A2）（A3）我們有

例題 下面給出一些例子說(shuō)明上述結(jié)論。當(dāng)m＝2時(shí)，

（i）設(shè)f（x，v）＝v4，g（x，u）＝u5，定理1條件滿足，因此BVP（3）至少有一個(gè)正解。

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Multiple Positive Solutions of BVPs for Nonlinear Even Order Differential Equations

Hu Ling

It is concerned with boundary value problems for systems of nonlinear even order differential equations.Under the suitable conditions，the existence and multiplicity of positive solutions are established by using abstract fixed－point theorems.

Boundary value problems；positive solutions；multiplicity；Green＇s functions；Cones

O175

A

1673-1794（2012）05-0007-03

胡 玲（1981－）女，安徽黃山人，碩士研究生，講師，主要從事微分方程研究。

2012-07-12