于長豐，蔣學(xué)芳，成鵬飛，朱長軍

（西安工程大學(xué)理學(xué)院物理系，陜西西安710048）

金屬線膨脹系數(shù)、德拜溫度和楊氏模量之間關(guān)聯(lián)特性

于長豐，蔣學(xué)芳，成鵬飛，朱長軍

（西安工程大學(xué)理學(xué)院物理系，陜西西安710048）

利用解析勢能函數(shù)研究了FCC，HCP及BCC共19種金屬的線膨脹系數(shù)、德拜溫度和楊氏模量等之間的關(guān)聯(lián)性，給出了金屬的德拜溫度和楊氏模量的解析計(jì)算式，其理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值符合較好.

勢能函數(shù)；力常數(shù)；線膨脹系數(shù)；德拜溫度；楊氏模量

1 引 言

金屬的各種物性參量（如晶格常量、線膨脹系數(shù)、德拜溫度、楊氏模量、熔點(diǎn)等）之間存在著一定的內(nèi)在聯(lián)系，從理論上尋找它們之間的關(guān)聯(lián)規(guī)律一直是理論工作者感興趣的問題，其研究不僅有理論價(jià)值而且對材料實(shí)驗(yàn)科學(xué)和材料工程科學(xué)也有一定的指導(dǎo)意義.由于這一工作的重要性，已有不少人開展了這方面的研究工作［1－4］.本工作將文獻(xiàn)［5］提出的一種解析勢能函數(shù)處理成金屬原子之間的等效兩體勢，研究了金屬結(jié)合能、平衡核間距、德拜溫度、線膨脹系數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并且給出了金屬德拜溫度和楊氏模量的解析計(jì)算關(guān)系.

2 金屬物性參量之間的關(guān)聯(lián)性及德拜溫度和楊氏模量的解析計(jì)算

文獻(xiàn)［5］給出了用于研究雙原子分子光譜的解析勢能函數(shù)，研究發(fā)現(xiàn)該勢能函數(shù)同樣適用于研究金屬原子之間的相互作用，進(jìn)而給出金屬的各種物性參量如線膨脹系數(shù)、德拜溫度、楊氏模量之間的關(guān)聯(lián)特性.

文獻(xiàn)［5］給出的解析勢能函數(shù)為

式（1）中a，b，c為待定參量，Re為原子之間的平衡核間距，De為原子的結(jié)合能，n取正整數(shù).對于金屬可選取n＝3作為兩金屬原子之間的等效兩體勢，并對所有金屬選取

這樣式（1）就化成

式（5）即為兩金屬原子之間的等效兩體勢.另外，在平衡核間距Re處，金屬的各階力常量可以由下式計(jì)算：

這樣由式（5）和式（6）可給出如下方程組

計(jì)算表明，對不同類型金屬而言，勢參量a與b之間存在一定經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，即

對于FCC，HCP，BCC金屬，ξ分別為1.09，0.95，1.另外，金屬二階力常量f2與金屬原子諧振頻率ωe還滿足如下關(guān)系

其中：μ為兩金屬原子約化質(zhì)量，c為真空中光速.根據(jù)文獻(xiàn)［1］，金屬的線膨脹系數(shù)可定義為

式中k為玻爾茲曼常量.本工作是根據(jù)金屬的線膨脹系數(shù)和結(jié)合能并結(jié)合勢能函數(shù)式（5），從理論上計(jì)算出金屬的德拜溫度和楊氏模量.由式（3）、式（4）以及式（7）、式（8）和式（10），可以得到如下方程組：

解方程組（11）便可求出勢參量a，b，c.注意到式（7）和式（9）及ωD＝2πωec，金屬的德拜溫度可用下式計(jì)算

式中：ωD為金屬的德拜頻率，ˉh為普朗克常量.利用文獻(xiàn)［1］給出的金屬楊氏模量計(jì)算式

由式（9）和式（12）可得

式中比例系數(shù)ζ與金屬類型有關(guān)，對FCC，HCP，BCC金屬，ζ的取值分別為1／3，0.42和0.38.作為比較，將文獻(xiàn)［1－2］給出的金屬楊氏模量計(jì)算式也引入本文，該計(jì)算式為

其中：γ＝1.787 283（FCC）或γ＝1.429 826（HCP，BCC），k＝1.380 66×10－23J／K（玻爾茲曼常量），η為金屬密度（kg／m3），A為金屬原子質(zhì)量數(shù)，mp為質(zhì)子質(zhì)量，α為金屬的線膨脹系數(shù).

表1是利用式（11）～（15）計(jì)算出的3種類型金屬（表中Al～Pt，Be～Hf，V～Fe分別為FCC，HCP和BCC金屬）的勢參量以及德拜溫度和楊氏模量［2，6－8］.

表1 金屬的勢能參量、力常量、德拜溫度和楊氏模量計(jì)算值

續(xù)表

為了檢驗(yàn)式（12）和式（14）及式（15）的計(jì)算精度，對表1的19種金屬給出相對均方根誤差估計(jì)，相對均方根誤差計(jì)算結(jié)果如下：

由以上計(jì)算結(jié)果可以看出，金屬德拜溫度的相對均方根誤差較小，而楊氏模量的相對均方根誤差較大.引起楊氏模量的相對均方根誤差較大的原因是大部分楊氏模量理論計(jì)算值與實(shí)際值符合較好，而個(gè)別金屬（如Au，Ca，Pd等）其理論值與實(shí)際值偏差很大.事實(shí)上，金屬多晶體的楊氏模量是多個(gè)晶軸方向上的統(tǒng)計(jì)平均值，不同晶軸方向上有不同的楊氏模量值，例如Au在［111］晶軸方向上楊氏模量取得最大值為Y＝11.67× 1010N／m2，而在［100］方向上取得最小值Y＝4.29×1010N／m2［2，9］，表1中Cu，Ag，Au，Ni，F(xiàn)e等其楊氏模量理論計(jì)算值均落在了不同晶軸方向上楊氏模量最大值和最小值之間，即Ymin≤Y≤Ymax

［9］.其余金屬尚未見到單晶體楊氏模量實(shí)驗(yàn)值.文獻(xiàn)［2］和［9］曾給出的一個(gè)FCC金屬楊氏模量計(jì)算式

式中ξ是與金屬結(jié)構(gòu)等有關(guān)的系數(shù)，對于FCC金屬，可取值為2.333.

文獻(xiàn)［10］曾給出FCC金屬Cu的多原子相互作用勢函數(shù)和勢能曲線，其勢函數(shù)為

式中：Ec為金屬元素的結(jié)合能，r0為平衡核間距.文獻(xiàn)［10］給定的參量為Ec＝336.6kJ／mol＝3.49eV，n＝1.343，m＝2.507，r0＝0.254 8nm.為了進(jìn)行比較，圖1和圖2分別是由勢能函數(shù)式（5）和式（20）繪制的FCC金屬Cu的勢能曲線（圖1勢參量取之于表1中的金屬Cu）.

圖1 由式（5）繪制的FCC金屬Cu勢能曲線

圖2 由式（20）繪制的FCC金屬Cu勢能曲線

3 結(jié) 論

用解析勢能函數(shù)作為兩金屬原子之間相互作用的等效兩體勢，用于研究金屬的各種物性參量之間的關(guān)聯(lián)規(guī)律或進(jìn)行相關(guān)參量計(jì)算，取得較好結(jié)果.根據(jù)表1和式（16）及式（17），德拜溫度的理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值比較接近，但楊氏模量的相對均方根誤差較大，表1中個(gè)別楊氏模量的理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值比較如Au其相對誤差達(dá)33%.盡管如此，Au楊氏模量的理論計(jì)算值與Au單晶體的楊氏模量實(shí)驗(yàn)最大值接近（Au單晶體Ymax＝11.67×1010N／m2）［2，9］.其余一些金屬楊氏模量的理論計(jì)算值也均落在金屬單晶體楊氏模量實(shí)驗(yàn)最大值和最小值之間或接近其最大值或最小值.

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Correlations among linear expansion coefficient，Debye temperature and Young modulus of metals

YU Chang－feng，JIANG Xue－fang，CHENG Peng－fei，ZHU Chang－jun
（Department of Physics，College of Science，Xi’an Polytechnic University，Xi’an 710048，China）

The correlations among linear expansion coefficient，Debye temperature and Young modulus of 19kinds of FCC，HCP and BCC metals were studied by using the potential energy function.Then the analytical formulas for calculating Debye temperature and Young modulus of metals were given.The calculated values were consistent with the experimental data.

potential energy function；force constants；linear expansion coefficient；Debye temperature；Young modulus

TG14

A

1005－4642（2012）08－0037－04

［責(zé)任編輯：郭 偉］

2012－01－18；修改日期：2012－03－24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.11004156）

于長豐（1962－），男，河北武邑人，西安工程大學(xué)理學(xué)院物理系副教授，主要從事理論物理及計(jì)算物理研究.