韓道權(quán)，韓 超，李 強(qiáng)，杜秀華

（1．東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江大慶163318；2．齊齊哈爾大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江齊齊哈爾161006）

橢圓轉(zhuǎn)子采油單螺桿泵線型分析

韓道權(quán)1，韓 超1，李 強(qiáng)2，杜秀華1

（1．東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江大慶163318；2．齊齊哈爾大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江齊齊哈爾161006）

橢圓轉(zhuǎn)子采油單螺桿泵是雙頭單螺桿泵的一種簡化線型，加工方便，但是存在共軛線型不準(zhǔn)確的弊端。結(jié)合雙頭單螺桿泵定子輪廓線的形成理論，利用相關(guān)軟件，得到精確的定子輪廓曲線，并對(duì)1種油田實(shí)際應(yīng)用的橢圓轉(zhuǎn)子采油單螺桿泵進(jìn)行誤差分析。結(jié)果表明，88．9mm（3英寸）油管橢圓轉(zhuǎn)子采油單螺桿泵定子在x＝25．295mm處磨損最嚴(yán)重，線型誤差最大；理論計(jì)算的排量值接近實(shí)際排量。

單螺桿泵；線型分析；排量；數(shù)值法

雙頭單螺桿泵相對(duì)于單頭單螺桿泵具有泵壓高、運(yùn)行穩(wěn)定、壽命長等優(yōu)點(diǎn)，在油田得到廣泛應(yīng)用。其精確的線型成形方法是包絡(luò)法，加工精度較難保證。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常借助于經(jīng)驗(yàn)公式，形成相對(duì)簡單的線型，以方便加工。本文針對(duì)一種簡化公式曲線，分析其與包絡(luò)法線型的誤差，為雙頭單螺桿泵的加工提供理論參考。

1 簡化公式法定－轉(zhuǎn)子輪廓線的形成［1］

1．1 轉(zhuǎn)子輪廓線

轉(zhuǎn)子橫截面設(shè)為一個(gè)橢圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為

式中，a＝1．866 25 r；b＝1．288 75 r；r為等距半徑，mm。

1．2 定子輪廓線

定子骨線是邊長為2r的正三角形，以等距半徑r向外做等距曲線，形成定子線型，如圖1所示。

圖1 經(jīng)驗(yàn)公式定子截面

2 包絡(luò)法定－轉(zhuǎn)子輪廓線的形成

本文以88．9mm（3英寸）油管為例，取定子內(nèi)襯材料允許的最小壁厚d＝8mm。由圖1可以計(jì)算出88．9mm（3英寸）油管中，r＝16．916 508 mm，轉(zhuǎn)子橢圓長半軸a＝31．570 433mm，b＝21．801 1 5mm。將轉(zhuǎn)子橢圓向內(nèi)做半徑r＝16．165 08mm的等距曲線，得到其轉(zhuǎn)子骨線，如圖2所示，可以看出，轉(zhuǎn)子骨線是打扣的。所以，不能通過傳統(tǒng)的包心法線外側(cè)純滾動(dòng)得到［2－4］，即不能以骨線包絡(luò)的方法直接得到理論上精確的線型。

圖2 橢圓轉(zhuǎn)子骨線

本文采用轉(zhuǎn)子輪廓線向外做包絡(luò)曲線的方法直接得到定子輪廓線［5］。將橢圓方程轉(zhuǎn)化為擺線方程，再由這個(gè)擺線方程直接包絡(luò)出定子輪廓線。式

（1）在復(fù)平柱面坐標(biāo)系下的方程為

式中，R（θ）為88．9mm（3英寸）油管橢圓轉(zhuǎn)子在復(fù)平柱面坐標(biāo)系下的線型表達(dá)式，0≤θ≤2π。

直接用轉(zhuǎn)子輪廓線向外做外包絡(luò)共軛曲線得到定子輪廓線方程為

式中，ρ（θ，）為橢圓轉(zhuǎn)子外包絡(luò)共軛曲線方程；0≤θ≤2π；0≤≤2π。

ρ（θ，）的形成過程相當(dāng)于2個(gè)運(yùn)動(dòng)的疊加，即：

1） 發(fā)生線R2（ejθ＋Ke－jθ）繞自身圓心做自轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)角為，方向?yàn)轫槙r(shí)針。

2） 發(fā)生線R2（ejθ＋Ke－jθ）的中心繞定子中心做半徑為E＝RK的圓周運(yùn)動(dòng)，公轉(zhuǎn)角為，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。

在本文中，發(fā)生線R2（ejθ＋Ke－jθ）的方程即為式（2）橢圓轉(zhuǎn)子復(fù)平柱面坐標(biāo)系下的方程，R2＝26．685 792mm，K＝0．183 05。

將R2、K的值代入式（3）得

通過式（4），利用相關(guān)軟件得到橢圓轉(zhuǎn)子包絡(luò)旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)集。如圖3a所示。

圖3 理論定子骨線的形成

建立通過坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）的等步長的一組直線，求出直線與橢圓的交點(diǎn)，并找到距離圓心最遠(yuǎn)的點(diǎn)，得到的點(diǎn)集，即為最外側(cè)點(diǎn)，所有最外側(cè)點(diǎn)構(gòu)成的曲線即為定子輪廓線。

直線組方程表示為

式中，－40≤a≤40；0≤α≤2π。當(dāng)α為定值時(shí)，式（5）為一條直線。

式（5）與式（4）聯(lián)立可得

式（6）除以式（7）并整理得

式中，b＝4．884 83，c＝1．399 6，d＝0．667 4

通過式（4）和式（8），利用Matlab求出圖3a中點(diǎn)集的最外側(cè)點(diǎn)，即為橢圓轉(zhuǎn)子的精確定子輪廓線上的點(diǎn)，如圖3b所示。

3 定子輪廓線誤差分析

3．1 誤差值計(jì)算

定子輪廓線與簡化公式中輪廓線的差別如圖4所示。由于定子輪廓線為對(duì)稱圖形，因此只討論其中1個(gè)對(duì)稱周期內(nèi)的誤差。圖4所示為（0，）內(nèi)的圖形，經(jīng)計(jì)算，定子輪廓線橫坐標(biāo)范圍是（13．341 78，36．449 40）。

圖4 2種定子截面曲線對(duì)比

將包絡(luò)法形成的定子輪廓線命名為線型1，簡化公式形成的定子輪廓線命名為線型2。利用相關(guān)軟件，通過線型1上的點(diǎn)向線型2做法線，從而求出線型1上的點(diǎn)在線型2法線方向到線型2的距離，從而求出兩線型的誤差。

關(guān)鍵點(diǎn)有A、B、C、M、N5個(gè)點(diǎn)，如圖5所示。其中A、C、B三點(diǎn)為線型1與線型2的交點(diǎn)，M、N分別為A－B、B－C段處最大誤差點(diǎn)。各點(diǎn)處的坐標(biāo)、兩條曲線的誤差如表1所示。

表1 線型1和線型2上關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)及誤差

3．2 誤差分析

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，雙頭單螺桿泵定－轉(zhuǎn)子過盈量為0．33～0．66mm。當(dāng)過盈量選取0．33mm時(shí)，在AB段處，最大過盈量為0．330 0＋0．377 9＝0．707 9 mm，大于工程中要求的最大過盈量0．66mm，因超出的量較少，可以工作。當(dāng)過盈量選擇最大0．66 mm時(shí)，在A－B段過盈量就會(huì)增加到0．66＋0．377 9＝1．037 9mm，超出了規(guī)定過盈量0．377 9 mm，磨損會(huì)非常嚴(yán)重。因此，從A－B段誤差考慮，采用橢圓轉(zhuǎn)子簡化公式的單螺桿泵，定轉(zhuǎn)子過盈量應(yīng)該選取0．33mm或略大于0．33mm。

同理B－C段應(yīng)選取過盈量為0．43～0．66mm，因此，如果在必須采用簡化公式的前提下，定轉(zhuǎn)子過盈量選擇0．43mm時(shí)，由于簡化公式不準(zhǔn)確而造成的定子橡膠磨損最小。同時(shí)也可以根據(jù)圖4曲線，直接對(duì)定子橡膠進(jìn)行誤差修正。

4 排量誤差分析

4．1 簡化公式中單螺桿泵排量

式中，S1為定子截面面積，mm2；S2為轉(zhuǎn)子截面面積，mm2；Qr為單螺桿泵每轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)的排量，mm3；T為雙頭單螺桿泵內(nèi)腔螺旋導(dǎo)程，mm。

4．2 包絡(luò)法單螺桿泵排量

包絡(luò)法形成的螺桿泵排量是用定子截面面積減去轉(zhuǎn)子截面面積，再乘以雙頭單螺桿泵內(nèi)腔螺旋導(dǎo)程，得到的數(shù)值即為單螺桿泵每轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)的排量。

4．3 排量誤差分析

如圖5所示，定子輪廓線理論曲線與簡化公式曲線的偏差在A點(diǎn)（x＝13．341 78）處為0；定子輪廓線總面積公式為

式中，SD為定子輪廓線總面積，mm2；SABC為三角形ABC的面積，mm2；Sa的面積如圖5所示。

此公式對(duì)于定子理論曲線和簡化公式曲線截面面積的計(jì)算都適用。

圖5 定子截面面積計(jì)算方法

本文通過數(shù)值積分求出兩條曲線與x軸圍成的面積，進(jìn)而求得面積差。

數(shù)值積分和簡化公式計(jì)算的面積，如表2所示。

兩種方法形成的曲線，總面積誤差為13．491 6 mm2。排量誤差率為

式中，SD為包絡(luò)法定子截面面積，mm2；為簡化公式定子截面面積mm2。

簡化公式針對(duì)排量的計(jì)算誤差較小，僅為0．43%。

表2 兩種方法計(jì)算的定子截面積及誤差

5 結(jié)論

1） 簡化公式曲線與理論曲線的誤差經(jīng)過（0）－（－0．377 9）－（0）－（0．101 5）－（0）的過程，對(duì)過盈量和磨損的影響較嚴(yán)重。

2） 簡化公式曲線中定子在x＝25．295mm處磨損最嚴(yán)重。

3） 簡化公式對(duì)排量計(jì)算的誤差率較小，僅為0．43%。

4） 簡化公式定－轉(zhuǎn)子過盈量選取0．43mm時(shí)，由于公式不準(zhǔn)確而造成的定子橡膠磨損最小。

5） 最合理的簡化方法應(yīng)該將定子或轉(zhuǎn)子其中的一個(gè)簡化，然后用包絡(luò)的方法得到與其共軛的轉(zhuǎn)子或定子曲線，這樣既能降低一定的加工難度，同時(shí)也可以直接避免由于公式不準(zhǔn)確而造成的橡膠磨損。

［1］ 楊永明．雙頭單螺桿泵參數(shù)的確定［J］．石油礦場機(jī)械，2006，35（1）：95－96．

［2］ 杜秀華，任 彬，韓國有．雙頭單螺桿泵的線型設(shè)計(jì)及虛擬建模［J］．石油礦場機(jī)械，2007，36（1）：33－35．

［3］ 蘇義腦．螺桿鉆具研究及應(yīng)用［M］．北京：石油工業(yè)出版社，2001．

［4］ 宋玉杰，溫后珍，孟碧霞．單螺桿式水力機(jī)械變幅系數(shù)的選擇［J］．中國機(jī)械工程，2010，21（18）：69－71．

［5］ 姜 淼．一種特殊螺旋曲面及其共軛曲面的研究［D］．沈陽工業(yè)大學(xué)，2009．

Linear Analysis for Elliptical Rotor Single Oil Progressing Cavity Pump

HAN Dao－quan1，HAN Chao1，LI Qiang2，DU Xiu－h(huán)ua1
（1．College of Mechanical Science and Engineering，Northeast Petroleum University，Daqing163318，China；2．College of Mechanical ＆Electrical Engineering，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China）

Elliptical rotor single oil progressing cavity pump（PCP）is a simplified curves of double oil PCP，with processing convenient，however，it exists its inaccuracy of conjugate curves．According to the forming theory of two－h(huán)eaded single oil PCP，the relevant software was used to get accurate stator contour curve，and then to do error analysis for a kind of oil field practical application ellipse rotor single oil PCP．The results showed that the rubber of the tube with 3and half inches wear was the most serious in the place of x＝25．295mm，as well as the largest curves error．The pump discharge for the ellipse rotor single oil PCP was close to the actual displacement numerically．

single PCP；linear analysis；pump discharge；numerical method

book=19,ebook=19

TE933．3

：A

1001－3482（2012）06－0010－04

2011－12－16

黑龍江省教育廳科技攻關(guān)項(xiàng)目（11551014）資助。

韓道權(quán)（1966－），男，黑龍江大慶人，副教授，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化，E－mail：handq2003＠163．com。