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        關(guān)于GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式的一個注記

        2012-09-18 02:19:32時統(tǒng)業(yè)
        關(guān)鍵詞:常數(shù)單調(diào)區(qū)間

        時統(tǒng)業(yè),吳 涵

        (海軍指揮學(xué)院浦口分院,南京 211800)

        1 引理

        定義 1[1]設(shè) f(x)是定義在區(qū)間 I?(0,+ ∞)上的連續(xù)函數(shù),如果對于任意 a,b∈I和 t∈(0,1),有

        則稱f(x)在區(qū)間I是GA-下凸的。如果式(1)的不等號反向,則稱f(x)在區(qū)間I上是GA-上凸的。

        文獻[2-4]給出關(guān)于GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式,見定理1。

        定理 1[3-4]設(shè) f(x)是[a,b]上的 GA - 下凸函數(shù),則

        如果f(x)是[a,b]上的GA-上凸函數(shù),則式(2)的不等式反向。當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        注1 由定理1的證明過程易知

        引理1[1]設(shè)f(x)是定義在[a,b]?(0,∞)上的函數(shù),則f(x)是[a,b]上的GA -下凸函數(shù)的充要條件為f(ex)為[lna,lnb]上的下凸函數(shù)。

        引理 2[5]設(shè) f(x)是[a,b]上的下凸函數(shù),則對任意 x,y∈[a,b],有

        當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        引理3 設(shè)f(x)是定義在[a,b]?(0,∞)上的GA-下凸函數(shù),則

        1)x f'-(x)和 x f'+(x)在(a,b)單調(diào)不減。

        2)對任意 x,y∈[a,b],有

        當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        證明 令h(x)=f(ex),那么

        因為 f(x)是[a,b]?(0,∞)上的 GA -下凸函數(shù),由引理1知,h(x)是[lna,lnb]上的下凸函數(shù)。根據(jù)下凸函數(shù)的性質(zhì)知h'-(x)與h'+(x)在(a,b)單調(diào)不減,也即 xf'-(x)和xf'+(x)在(a,b)單調(diào)不減。又由引理 2 知,對任意 u,v∈[lna,lnb],有

        在式(3)中取u=lny,v=lnx,則引理3結(jié)論2)得證。

        引理4 設(shè)f(x)是定義在[a,b]?(0,+∞)上的連續(xù)的GA-下凸函數(shù),則有

        當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        證明 對任意 x∈[a,b],有

        由GA-下凸函數(shù)的定義得式(4)。式(4)在[a,b]上取積分得式(5)。

        設(shè) f(x)是定義在(a,b)上的可導(dǎo)的下凸函數(shù),對于任意 x1,x2∈[a,b],x1<x2,文獻[6]證明了下面結(jié)果:

        本研究將仿照文獻[6]的方法,將上述結(jié)果移植到GA-下凸函數(shù)。設(shè)0<x1<x2,λ∈(0,1),引入記號

        本研究的主要結(jié)果:

        定理2 設(shè) f(x)是定義在(a,b)上的可導(dǎo)的 GA -下凸函數(shù),對于任意 x1,x2∈(a,b),x1<x2,有

        當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        2 定理2的證明

        由引理4得

        式(7)、(8)兩式相加得:

        則式(6)的左端部分得證。

        由Cauchy中值定理,存在τ∈(x1,x2),使得

        由引理3 知,對于任意 x∈[x1,x2],有

        式(13)的兩邊對x在[x1,x2]上積分得

        式(6)得證。

        當(dāng)f(x)=c+dlnx(c、d是常數(shù))時,經(jīng)簡單計算可知式(6)中的3項都為零,所以等號成立。反之,若式(6)的等號成立,則由上面的證明過程可知,必有式(14)等號成立,由引理4知,f(x)=c+dlnx(c、d是常數(shù))。

        推論1 設(shè) f(x)是定義在(a,b)上的可導(dǎo)的 GA -下凸函數(shù),對于任意 x1,x2∈(a,b),x1<x2,有

        當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        [1]吳善和.GA-凸函數(shù)與琴生不等式[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版 ,2004,22(2):52-55.

        [2]ZHANG X M,CHU Y M.A Double Inequality for the Gamma and Psi Functions[J].International Journal of Modern Mathematics,2008,3(1):23-27.

        [3]華云.關(guān)于 GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2008,24(2):147-149.

        [4]張小明,褚玉明.解析不等式新論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2009:198-203.

        [5]匡繼昌.常用不等式[M].3版.濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004:375-376.

        [6]Zoran D.Mitrovi.A Remark on Hadamard’s Inequality[J].Applied Mathematical Sciences,2008,2(43):2127-2130.

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