亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        關(guān)于GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式的一個注記

        2012-09-18 02:19:32時統(tǒng)業(yè)
        關(guān)鍵詞:常數(shù)單調(diào)區(qū)間

        時統(tǒng)業(yè),吳 涵

        (海軍指揮學(xué)院浦口分院,南京 211800)

        1 引理

        定義 1[1]設(shè) f(x)是定義在區(qū)間 I?(0,+ ∞)上的連續(xù)函數(shù),如果對于任意 a,b∈I和 t∈(0,1),有

        則稱f(x)在區(qū)間I是GA-下凸的。如果式(1)的不等號反向,則稱f(x)在區(qū)間I上是GA-上凸的。

        文獻[2-4]給出關(guān)于GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式,見定理1。

        定理 1[3-4]設(shè) f(x)是[a,b]上的 GA - 下凸函數(shù),則

        如果f(x)是[a,b]上的GA-上凸函數(shù),則式(2)的不等式反向。當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        注1 由定理1的證明過程易知

        引理1[1]設(shè)f(x)是定義在[a,b]?(0,∞)上的函數(shù),則f(x)是[a,b]上的GA -下凸函數(shù)的充要條件為f(ex)為[lna,lnb]上的下凸函數(shù)。

        引理 2[5]設(shè) f(x)是[a,b]上的下凸函數(shù),則對任意 x,y∈[a,b],有

        當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        引理3 設(shè)f(x)是定義在[a,b]?(0,∞)上的GA-下凸函數(shù),則

        1)x f'-(x)和 x f'+(x)在(a,b)單調(diào)不減。

        2)對任意 x,y∈[a,b],有

        當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        證明 令h(x)=f(ex),那么

        因為 f(x)是[a,b]?(0,∞)上的 GA -下凸函數(shù),由引理1知,h(x)是[lna,lnb]上的下凸函數(shù)。根據(jù)下凸函數(shù)的性質(zhì)知h'-(x)與h'+(x)在(a,b)單調(diào)不減,也即 xf'-(x)和xf'+(x)在(a,b)單調(diào)不減。又由引理 2 知,對任意 u,v∈[lna,lnb],有

        在式(3)中取u=lny,v=lnx,則引理3結(jié)論2)得證。

        引理4 設(shè)f(x)是定義在[a,b]?(0,+∞)上的連續(xù)的GA-下凸函數(shù),則有

        當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        證明 對任意 x∈[a,b],有

        由GA-下凸函數(shù)的定義得式(4)。式(4)在[a,b]上取積分得式(5)。

        設(shè) f(x)是定義在(a,b)上的可導(dǎo)的下凸函數(shù),對于任意 x1,x2∈[a,b],x1<x2,文獻[6]證明了下面結(jié)果:

        本研究將仿照文獻[6]的方法,將上述結(jié)果移植到GA-下凸函數(shù)。設(shè)0<x1<x2,λ∈(0,1),引入記號

        本研究的主要結(jié)果:

        定理2 設(shè) f(x)是定義在(a,b)上的可導(dǎo)的 GA -下凸函數(shù),對于任意 x1,x2∈(a,b),x1<x2,有

        當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        2 定理2的證明

        由引理4得

        式(7)、(8)兩式相加得:

        則式(6)的左端部分得證。

        由Cauchy中值定理,存在τ∈(x1,x2),使得

        由引理3 知,對于任意 x∈[x1,x2],有

        式(13)的兩邊對x在[x1,x2]上積分得

        式(6)得證。

        當(dāng)f(x)=c+dlnx(c、d是常數(shù))時,經(jīng)簡單計算可知式(6)中的3項都為零,所以等號成立。反之,若式(6)的等號成立,則由上面的證明過程可知,必有式(14)等號成立,由引理4知,f(x)=c+dlnx(c、d是常數(shù))。

        推論1 設(shè) f(x)是定義在(a,b)上的可導(dǎo)的 GA -下凸函數(shù),對于任意 x1,x2∈(a,b),x1<x2,有

        當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立,c、d是常數(shù)。

        [1]吳善和.GA-凸函數(shù)與琴生不等式[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版 ,2004,22(2):52-55.

        [2]ZHANG X M,CHU Y M.A Double Inequality for the Gamma and Psi Functions[J].International Journal of Modern Mathematics,2008,3(1):23-27.

        [3]華云.關(guān)于 GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2008,24(2):147-149.

        [4]張小明,褚玉明.解析不等式新論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2009:198-203.

        [5]匡繼昌.常用不等式[M].3版.濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004:375-376.

        [6]Zoran D.Mitrovi.A Remark on Hadamard’s Inequality[J].Applied Mathematical Sciences,2008,2(43):2127-2130.

        猜你喜歡
        常數(shù)單調(diào)區(qū)間
        解兩類含參數(shù)的復(fù)合不等式有解與恒成立問題
        你學(xué)會“區(qū)間測速”了嗎
        關(guān)于Landau常數(shù)和Euler-Mascheroni常數(shù)的漸近展開式以及Stirling級數(shù)的系數(shù)
        數(shù)列的單調(diào)性
        數(shù)列的單調(diào)性
        對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用知多少
        幾個常數(shù)項級數(shù)的和
        萬有引力常數(shù)的測量
        區(qū)間對象族的可鎮(zhèn)定性分析
        旋轉(zhuǎn)擺的周期單調(diào)性
        人妻1024手机看片你懂的| 学生妹亚洲一区二区| 综合无码综合网站| 国产91在线免费| 在线免费观看亚洲毛片| 国产手机在线观看一区二区三区| 中文字幕人妻熟在线影院| 國产一二三内射在线看片| 四虎影视久久久免费| 亚洲一区二区三区毛片| 精品人妻伦一二三区久久| 99久久超碰中文字幕伊人| 人禽伦免费交视频播放| 国产精品国产三级在线高清观看 | 免费a级毛片高清在钱| 永久免费观看国产裸体美女| 久久综合亚洲色社区| 美女被躁到高潮嗷嗷免费观看| 极品粉嫩嫩模大尺度无码视频| 在线观看精品视频网站| 91精品国产综合成人| 国产真实伦视频在线视频| 狠狠久久av一区二区三区| 日本xxxx色视频在线观看免费| 一本色道久久99一综合| 国产精品久久久久久久专区| av男人操美女一区二区三区| 日本刺激视频一区二区| 伊人久久大香线蕉av波多野结衣| 国产亚洲精品久久久久婷婷瑜伽| 女同中的p是什么意思| 少妇一级内射精品免费 | 潮喷大喷水系列无码久久精品| 狠狠色狠狠色综合久久第一次| 亚洲AV秘 无码一区二区三| 日产国产亚洲精品系列| 精品偷拍被偷拍在线观看| 日本一区不卡在线| 亚洲最大av免费观看| 中文字幕在线看精品乱码 | 狠狠人妻久久久久久综合蜜桃 |