閆 莎

(安康學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西安康 725000)

討論3種群食物鏈模型［1］

解的一致有界性和正平衡點的穩(wěn)定性。式(1)中:P1、P2、P3分別表示食餌、捕食者和最高捕食者種群的密度;是Holling II型功能反應(yīng)函數(shù);P2自身具有密度制約;B1、B2是捕食者P3、P2的轉(zhuǎn)化率;h是捕食者P3的消化系數(shù);D1、D2是捕食者P3、P2的死亡率;D3是捕食者P2的密度制約系數(shù);C1、C2是捕食者P3、P2的捕食率;r和k分別是食餌 N的內(nèi)稟增長率和環(huán)境容納量。詳細的生態(tài)意義見文獻［1－3］。

本文主要采用文獻［4］的思想，應(yīng)用線性化方法和Lyapunov函數(shù)方法討論模型(2)的正平衡點的穩(wěn)定性。

1 一致有界性

經(jīng)簡單計算知，式(2)至少有平凡平衡點(0，0，0)和半平凡平衡點(1，0，0);至多有一個正平衡點，其存在的充要條件是

定理1 設(shè)(u1(t)，u2(t)，u3(t))是系統(tǒng)(2)取正初值 $(u1(0)，u2(0)，u3(0))時的解，其中［0，T)是解最大存在區(qū)間，則存在依賴于式(2)的系數(shù)以及初值ui(0)(i=1，2，3)的正常數(shù)M，使得0≤ui(t)≤M(i=1，2，3)，進一步有 T=+ ∞。

證明 設(shè)(u1(t)，u2(t)，u3(t))是問題(2)在初值 ui(0)≥0(i=1，2，3)時的解，由比較原理［5］易知，當(dāng) t∈［0，T)時，(u1(t)，u2(t)，u3(t))≥0。

下面證明(u1(t)，u2(t)，u3(t))在［0，T)上是有界的。對式(2)的第1個方程應(yīng)用比較原理得

因此，對?t∈［0，∞)，有 ui(t)≤M(i=1，2，3)。由延拓定理得 T=+∞。

2 局部漸近穩(wěn)定

系統(tǒng)(2)在E*處的線性化矩陣為

要使 φ(λ)的3 個根 λ1、λ2、λ3均有負實部，必有A ＞0，C ＞0，H ＞0，即 a11、a22均為負。注意到 a11＜0成立，而a22＜0的充要條件是

于是，由文獻［6］定理5.5.1可得如下結(jié)論:

定理2 若條件(H1)、(H2)成立，則問題(2)的正平衡點局部漸近穩(wěn)定。

3 全局漸近穩(wěn)定性

由Lyapunov-Lasalle不變原理［7］，再結(jié)合E*得局部漸近性，從而可得E*是全局漸近穩(wěn)定的，即:

定理3 若條件(H1)、(H2)、(H3)成立，則問題(2)的正平衡點E*全局漸近穩(wěn)定。

［1］Armstrong R A，McGehee R.Competitive exclution［J］.Am Nature，1980，115:151-170.

［2］陳蘭蓀.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)模型與研究方法［M］.北京:科學(xué)出版社，1988.

［3］Abrams A，Brassil E，Holt D.Dynamics and responses to mortality rates of competing predators undergoing predator-prey cycles［J］.Theoretical Population Biology，2003，64:163-176.

［4］Xin-an Zhang，Lansun Chen，Avidan U N.The stage-structured predator-prey model and optimal harvesting policy［J］.Mathematial biosciences，2000，168:201-210.

［5］葉其孝，李正元.反應(yīng)擴散方程引論［M］.北京:科學(xué)出版社，1999.

［6］May R M.Stability and Complexity in Model Ecosystems［M］.［S.l.］:Princeton University Press N J，1974.

［7］Hale J K.Ordinary Differential Equations［M］.［S.l.］:Krieger Malabar F L，1980.