李映輝，呂海煒，李中華，李 亮

(1.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031;2.中國石油寶雞石油機(jī)械有限責(zé)任公司，陜西寶雞 721002)

很多學(xué)者在黏彈性夾層板和軸向運(yùn)動結(jié)構(gòu)方面做了大量工作。在黏彈性夾層板方面，Cheung和Khatua［1］基于經(jīng)典層合板理論，提出了夾層為正交各向異性材料的夾層板有限元計(jì)算方法，并分析了夾層板的穩(wěn)定性;沈和冷［2］采用 Kelvin-Viogt模型和等參元法，分析了黏彈性夾層板結(jié)構(gòu)的邊界條件、阻尼層位置對結(jié)構(gòu)動力特性的影響;李等［3］將有限元與非線性數(shù)值擬合相結(jié)合，得到了黏彈性阻尼夾層板的諧振頻率、損耗因子的近似表達(dá)式，提出了基于靈敏度分析的黏彈性阻尼夾層板優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。在軸向運(yùn)動結(jié)構(gòu)方面，Chen和Yang［4］利用多重尺度法研究了軸向運(yùn)動黏彈性梁的穩(wěn)定性;Marynowski［5］通過對受時變張緊力作用的軸向運(yùn)動黏彈性梁的數(shù)值仿真，比較了Kelvin模型、Maxwell模型以及Bügers模型的黏彈性梁的非線性;Marynowski［5］通過對受時變張緊力作用的軸向運(yùn)動黏彈性梁的數(shù)值仿真，比較了Kelvin模型、Maxwell模型以及Bügers模型的黏彈性梁的非線性振動。目前，將黏彈性夾層板和軸向運(yùn)動結(jié)構(gòu)結(jié)合起來進(jìn)行的研究較少，周等［6－7］研究了運(yùn)動黏彈性板的橫向振動及穩(wěn)定性，考慮隨從力作用的運(yùn)動黏彈性板的動力穩(wěn)定性;Hatami［8］使用精確有限元條法研究了軸向運(yùn)動黏彈性板的自由振動;李［9－10］利用 Galerkin截?cái)嘌芯苛诵∽冃蜗螺S向運(yùn)動黏彈性夾層板的橫向振動。本文將通過建立大撓度下軸向運(yùn)動黏彈性夾層板橫向振動控制方程，研究其橫向振動特性，討論了軸向運(yùn)動速度對其穩(wěn)定性的影響。

1 軸向運(yùn)動黏彈性夾層板控制方程

圖1為四邊簡支軸向運(yùn)動黏彈性夾層板，其上下為對稱約束層，厚度為h/2，中間層為夾心層，厚度為H，夾層板以速度ve沿x軸運(yùn)動。其中上下約束層為彈性材料，密度為ρc，彈性模量為Ec，泊松比為μc;夾心層為Kelvin-Voigt黏彈性材料，密度為 ρj，彈性模量為 Ej，泊松比為 μj，黏彈性阻尼系數(shù)為 η，其等效密度 ρ=(hρc+Hρj)/(H+h)。

圖1 軸向運(yùn)動黏彈性夾層板模型

文獻(xiàn)［9－10］中考慮幾何非線性，黏彈性夾層板應(yīng)變 εx、εy、γxy與撓度 w 的關(guān)系為:

可得到大撓度下軸向運(yùn)動黏彈性夾層板橫向振動控制方程:

其系數(shù)見附錄。

2 Galerkin離散

對四邊簡支壁板，邊界條件為

設(shè)方程(3)解的形式為

其中:φmn(x，y)是滿足邊界條件的試函數(shù);M、N為截?cái)嚯A數(shù)。在四邊簡支條件下通常取

將式(5)代入方程(3)，得系統(tǒng)的殘差R(x，y，t)(詳細(xì)表達(dá)式見文獻(xiàn)［11］)。使用Galerkin方法

2.1 一階截?cái)喾匠?/h3>

當(dāng)M=1，N=1時，得一階截?cái)喑Ｎ⒎址匠?，令x1=q11(t)，x2=˙x1，將式(3)寫成矢量形式˙x=f( x)，x∈R2

其系數(shù)見附錄。

2.2 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定

由式(7)可得系統(tǒng)平衡點(diǎn)為

2.3 結(jié)果

軸向運(yùn)動黏彈性夾層板的幾何及材料參數(shù)見表1和表2。

表1 黏彈性夾層板幾何參數(shù)

表2 黏彈性夾層板材料參數(shù)

圖2給出了平衡點(diǎn)隨軸向運(yùn)動速度變化，可以看到，平衡點(diǎn)的個數(shù)在軸向運(yùn)動速度ve=68.5 m/s處發(fā)生改變，在此之前只有1個平衡點(diǎn)X1，之后變?yōu)?個平衡點(diǎn)X1、X2和X3。表3給出了不同軸向運(yùn)動速度下系統(tǒng)的平衡點(diǎn)以及特征值，可以看到在軸向運(yùn)動速度ve=68.5 m/s處平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性發(fā)生改變，說明臨界速度為68.5 m/s。

圖2 平衡點(diǎn)隨軸向運(yùn)動速度變化的分叉

圖3為特征值λ1隨軸向運(yùn)動速度變化情況。當(dāng)軸向運(yùn)動速度為零時，特征值λ1的實(shí)部為負(fù)數(shù)。在未到達(dá)臨界速度之前，特征值虛部隨軸向運(yùn)動速度的增大而減小，到達(dá)臨界速度后，特征值的實(shí)部將會分為兩支，虛部變?yōu)榱?，平衡點(diǎn)將由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定。

表3 不同軸向運(yùn)動速度下系統(tǒng)的平衡點(diǎn)特征值及穩(wěn)定性

圖3 特征值λ1對軸向運(yùn)動速度變化情況(X1)

圖4給出了特征值λ2和λ3隨軸向運(yùn)動速度變化情況，其中特征值λ2和λ3變化規(guī)律一樣，特征值虛部都是隨軸向運(yùn)動速度的增大也而增大，特征值的實(shí)部為一定負(fù)值，說明過臨界速度后分叉生成的平衡點(diǎn)X2和X3都是穩(wěn)定的。

圖4 特征值λ2和λ3隨軸向運(yùn)動速度變化情況(X2，X3)

3 結(jié)束語

基于von-Karmen薄板大撓度理論和Kelvin-Voigt黏彈性本構(gòu)方程，建立軸向運(yùn)動黏彈性夾層板橫向振動控制方程。使用一階Galerkin截?cái)喾椒ㄑ芯苛似浞蔷€性方程。其結(jié)論為:對與一階截?cái)?，研究了黏彈性夾層板系統(tǒng)平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性隨軸向運(yùn)動速度變化的情況;當(dāng)軸向運(yùn)動速度小于臨界速度時，系統(tǒng)只有一個穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，平衡點(diǎn)個數(shù)在臨界速度處發(fā)生改變，由1個平衡點(diǎn)分叉為3個平衡點(diǎn)，其中原來的平衡點(diǎn)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，分叉出來的2個平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。

［1］Kathua，Cheung.Bending and vibration of multi－ layer sandwich beams and plates［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1973，6(1):11 －24.

［2］沈順根，冷文浩.粘彈性線性復(fù)合結(jié)構(gòu)動力特性分析［J］.中國造船，1996，133(2):44 －52.

［3］李映輝，林松，高慶.約束阻尼板優(yōu)化設(shè)計(jì)方法［J］.重慶工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，21(1):1－6.

［4］Chen L Q，Yang X D.Vibration and stability of an axially moving viscoelastic beam with hybrid supports［J］.European Journal of Mechanics A/Solids，2006，25(6):996－1008.

［5］Marynowski K.Two-dimensional rheological element in modeling of axially moving viscoelastic web［J］.European of Mechanics-A/Solids，2005，25(5):729 －744.

［6］周銀鋒.運(yùn)動粘彈性板的橫向振動及穩(wěn)定性研究［D］.西安:西安理工大學(xué)，2009.

［7］周銀鋒，王忠民，王硯.考慮隨從力作用的運(yùn)動粘彈性板的動力穩(wěn)定性［J］.工程力學(xué)，2009，26(1):25－29.

［8］Hatami S，Ronagh H R，Azhari M.Exact free vibration analysis of axially moving viscoelastic plates［J］.Computers and Structures，2008，86(17):1738 －1746.

［9］李中華，李映輝.軸向運(yùn)動粘彈性夾層板的振動分析［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào):工程科學(xué)版，2011，43(Z2):147－151.

［10］李中華，李映輝.軸向運(yùn)動粘彈性夾層板的多模態(tài)耦合橫向振動［J］.復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2012，29(3):219－225.

［11］李中華.軸向運(yùn)動粘彈性夾層板振動分析［D］.成都:西南交通大學(xué)，2012.

附錄: